关于非线性矩阵方程X^s+A^＊X^(-t)A+B^＊X^(-t)B=Q的若干结果
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该 矩 阵方 程解 的 存 在 区 间 ．
关键词 ： 非线性矩阵方程 ； Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ正 定 解 ； 特 征 值
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ５ １ ． １ 文献 标 志 码 ： Ａ
Ｏ 引 吾
非 线 性矩 阵方 程是 非线 性理 论 的一 个重要 分
一
ｒ
支． 它在控 制理论、 运输 理论 、 动态规划 、 量 子 力 学、 统 计学 和工 程 计算 等多 个领 域口 中都有 着 广 泛 的应 用 ． 它 的求 解 问题 也 是 近 年 来数 值 代 数 和 非 线性 分 析理 论 中 研 究 和探 讨 的 主要 内容 之 一． 早 在二 十 世纪 九 十 年 代初 ， 人 们 就 开 始对 矩 阵方 程 ｘ＋Ａ Ａ — Ｑ 进 行研 究 ， 并 且 随后 许 多 学
件， 以及 其 正定解 的一些 性质 ． 对 于更 一般 形式 的
非线 性 矩阵 方程
Ｘ ＋ Ａ Ａ＋ Ｂ Ｂ — Ｑ， （ １ ）
（ 一 ｏ ．
从而 ， 。一 ０ 且 Ｂ ｘ 。 一０ ， 由此 ， ０有 非零 公共解 ｚ 。 ． 充分性 得证 ．
引理 ２ ［ ” 对 于 × Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｖ 和
（ 商 丘 学 院应 用科 技 学 院 理 学 系 ， 河 南 开封 ４ ７ ５ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 主 要 研 究 非 线 性 矩 阵方 程 ＋Ａ ｘ Ａ＋ Ｂ ｘ Ｂ—Ｑ 的正 定 解 ， 其 中 Ａ、 Ｂ 为 阶 复 矩 阵 ， Ｓ ， ｔ 为正整数 ， Ｑ为 阶 正 定 矩 阵 ． 首先 ， 基于线性方程组理论 ， 研 究 了该 矩 阵 方 程 正 定 解 的性 质 ． 其次 ， 在 特殊条件 下 ， 研 究 了
证 明 设 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ａｘ ＝ ０ － ｂＢ ｘ
一 ０有 非零公 共解 。 ， 即 。一 ０ ， Ｂ ｘ 。一 ０ ， 因此
（ 一 ｏ ．
即 ｎ 元 齐 次 线 性 方 程 组 （ 三 ） 一 。 有 非 零 解 ， 从 而
（ ） ＜ ， 必 要 性 得 证 ．
（ Ｖ）＋ （ Ｗ） ｝≤
作者简介 ： 裴伟娟（ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女， 河 南 濮 阳人 ， 助教 ， 硕士， 主 要 从 事 矩 阵方 程 研 究 ． Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ９ ４ ３ ２ ９ ６ ６ ７ １ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ．
２ ６
兰 州文 理 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
反 之 ， 由 ｒ （ 会 ） ＜ 得 线 性 方 程 组 （ ） ｚ 一 。 有
非 零解 ， 设 为 。 ， 即
（ Ａ Ａ）＝ ＝ ＝ ０和
该矩 阵 方程 在 Ｑ为单 位矩 阵 时其解 的存在 区 间及
求 其极 大解 的不 动 点 迭 代 法 ， 并 讨 论 了其 极 大 解 Ｘ 的扰 动 ． 之后 ， 廖 安平 等［ １ 。 。 继 续 讨论 了该 矩 阵方 程 ， 给 出 了其 正 定 解存 在 的一 些 充 分 必 要 条
第３ １卷
，
（ Ｖ＋ Ｗ ）≤
ｍｉ ｎ｛ （ ）＋ （ Ｗ） ｝ ，
综上 ， 上述 不 等式 成立 ．
考 虑 下 面 的两 个 方 程 ：
ｚ 一 （ Ｑ） ＋ 】 （ Ａ Ａ）＋
ｌ
而且 ， 若 Ｖ≥ ０ ， Ｗ≥ ０ ， 贝 ０
＋ ｌ
（
）≤
（ ’ ， ） （ Ｗ ），
者 对该 矩 阵方 程正 定解 的存 在性 、 正 定解 的性 质 、 求 正 定 解 的 迭 代 算 法 等 理 论 进 行 了 系 统 地 研
ｒ
。 有 非 零 公 共 解 的 充 要 条 件 为 ｌ ｒ （ 会 ） ＜ ． 其 中 （ 三 ） 表 示 矩 阵 （ 三 ） 的 秩 ．
Ｖ０ １ ． ３ １ Ｎｏ ． １ Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ７
文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ — ６ ９ ９ １ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ ０ ２ ５ — ０ ４
关 于 非 线 性 矩 阵方 程 Ｘ ＋Ａ＊ Ｘ一 ＋Ｂ＊ Ｘ Ｂ—Ｑ
的 若 干 结 果
裴伟 娟
多， 还有 许 多问题 需要 进一 步 研究 ．
∑ 汁 （ Ｖ ＋ ｗ ） ≥ ∑ 一 （ Ｖ ） ＋∑ 一 汁 （ ｗ ） ，
ｍ ａ ｘ
一
，
１ 主 要 结 论
引理 １ ７ ｚ 元 齐 次线 性 方 程 组 Ａｘ 一 ０与 Ｂ ｘ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ８ — ２ ６
＝ ＝ ＝ ０与 Ｂ ｘ一
Ｗ， １ ≤ｉ ， Ｊ ， 尼≤ ， 下面 不等式 成 立 ：
近年 来刘 爱 晶等 ￣ １ ４ － １ ６ 进 行 了一 定 研 究 ， 但 对 于
∑ （ Ｖ ＋ ｗ ） ≤∑ｉ ｔ （ Ｖ ） ＋∑ （ ｗ） ，
这种 类 型 的非线 性矩 阵方 程研 究 的文 献还 不是 很
究［ ６ ］ ． ２ ０ ０ ３年刘 新 国 和 高 华 ［ ｇ 在 这 些 基 础 上 将
该 矩 阵方 程 进 行 了 推 广 ， 讨 论 了 矩 阵 方 程 ＋
Ａ
１
ｃ Ａ — Ｑ， 并通过求 解数 量方程 ｚ 一 十
一 ＋ｉ ｔ （ Ａ Ａ）一 ０ ， 给出了
ｉ ＋ ≤ ＋ １ ；
汁 一
（ Ｂ Ｂ）一 ０，
第 ３ １ 卷 第 １期 ２ ０ １ ７年 １月
兰 州 文理 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｒ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）
关键词 ： 非线性矩阵方程 ； Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ正 定 解 ； 特 征 值
中 图分 类 号 ： Ｏ１ ５ １ ． １ 文献 标 志 码 ： Ａ
Ｏ 引 吾
非 线 性矩 阵方 程是 非线 性理 论 的一 个重要 分
一
ｒ
支． 它在控 制理论、 运输 理论 、 动态规划 、 量 子 力 学、 统 计学 和工 程 计算 等多 个领 域口 中都有 着 广 泛 的应 用 ． 它 的求 解 问题 也 是 近 年 来数 值 代 数 和 非 线性 分 析理 论 中 研 究 和探 讨 的 主要 内容 之 一． 早 在二 十 世纪 九 十 年 代初 ， 人 们 就 开 始对 矩 阵方 程 ｘ＋Ａ Ａ — Ｑ 进 行研 究 ， 并 且 随后 许 多 学
件， 以及 其 正定解 的一些 性质 ． 对 于更 一般 形式 的
非线 性 矩阵 方程
Ｘ ＋ Ａ Ａ＋ Ｂ Ｂ — Ｑ， （ １ ）
（ 一 ｏ ．
从而 ， 。一 ０ 且 Ｂ ｘ 。 一０ ， 由此 ， ０有 非零 公共解 ｚ 。 ． 充分性 得证 ．
引理 ２ ［ ” 对 于 × Ｈｅ ｒ ｍｉ ｔ ｉ ａ ｎ矩 阵 Ｖ 和
（ 商 丘 学 院应 用科 技 学 院 理 学 系 ， 河 南 开封 ４ ７ ５ ０ ０ ０ ）
摘要 ： 主 要 研 究 非 线 性 矩 阵方 程 ＋Ａ ｘ Ａ＋ Ｂ ｘ Ｂ—Ｑ 的正 定 解 ， 其 中 Ａ、 Ｂ 为 阶 复 矩 阵 ， Ｓ ， ｔ 为正整数 ， Ｑ为 阶 正 定 矩 阵 ． 首先 ， 基于线性方程组理论 ， 研 究 了该 矩 阵 方 程 正 定 解 的性 质 ． 其次 ， 在 特殊条件 下 ， 研 究 了
证 明 设 元 齐 次 线 性 方 程 组 Ａｘ ＝ ０ － ｂＢ ｘ
一 ０有 非零公 共解 。 ， 即 。一 ０ ， Ｂ ｘ 。一 ０ ， 因此
（ 一 ｏ ．
即 ｎ 元 齐 次 线 性 方 程 组 （ 三 ） 一 。 有 非 零 解 ， 从 而
（ ） ＜ ， 必 要 性 得 证 ．
（ Ｖ）＋ （ Ｗ） ｝≤
作者简介 ： 裴伟娟（ １ ９ ８ ９ 一 ） ， 女， 河 南 濮 阳人 ， 助教 ， 硕士， 主 要 从 事 矩 阵方 程 研 究 ． Ｅ — ｍａ ｉ ｌ ： ９ ４ ３ ２ ９ ６ ６ ７ １ ＠ｑ ｑ ． ｃ ｏ ｍ．
２ ６
兰 州文 理 学 院 学报 （ 自然 科 学版 ）
反 之 ， 由 ｒ （ 会 ） ＜ 得 线 性 方 程 组 （ ） ｚ 一 。 有
非 零解 ， 设 为 。 ， 即
（ Ａ Ａ）＝ ＝ ＝ ０和
该矩 阵 方程 在 Ｑ为单 位矩 阵 时其解 的存在 区 间及
求 其极 大解 的不 动 点 迭 代 法 ， 并 讨 论 了其 极 大 解 Ｘ 的扰 动 ． 之后 ， 廖 安平 等［ １ 。 。 继 续 讨论 了该 矩 阵方 程 ， 给 出 了其 正 定 解存 在 的一 些 充 分 必 要 条
第３ １卷
，
（ Ｖ＋ Ｗ ）≤
ｍｉ ｎ｛ （ ）＋ （ Ｗ） ｝ ，
综上 ， 上述 不 等式 成立 ．
考 虑 下 面 的两 个 方 程 ：
ｚ 一 （ Ｑ） ＋ 】 （ Ａ Ａ）＋
ｌ
而且 ， 若 Ｖ≥ ０ ， Ｗ≥ ０ ， 贝 ０
＋ ｌ
（
）≤
（ ’ ， ） （ Ｗ ），
者 对该 矩 阵方 程正 定解 的存 在性 、 正 定解 的性 质 、 求 正 定 解 的 迭 代 算 法 等 理 论 进 行 了 系 统 地 研
ｒ
。 有 非 零 公 共 解 的 充 要 条 件 为 ｌ ｒ （ 会 ） ＜ ． 其 中 （ 三 ） 表 示 矩 阵 （ 三 ） 的 秩 ．
Ｖ０ １ ． ３ １ Ｎｏ ． １ Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ７
文 章 编 号 ：２ ０ ９ ５ — ６ ９ ９ １ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ ０ ２ ５ — ０ ４
关 于 非 线 性 矩 阵方 程 Ｘ ＋Ａ＊ Ｘ一 ＋Ｂ＊ Ｘ Ｂ—Ｑ
的 若 干 结 果
裴伟 娟
多， 还有 许 多问题 需要 进一 步 研究 ．
∑ 汁 （ Ｖ ＋ ｗ ） ≥ ∑ 一 （ Ｖ ） ＋∑ 一 汁 （ ｗ ） ，
ｍ ａ ｘ
一
，
１ 主 要 结 论
引理 １ ７ ｚ 元 齐 次线 性 方 程 组 Ａｘ 一 ０与 Ｂ ｘ
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ６ － ０ ８ — ２ ６
＝ ＝ ＝ ０与 Ｂ ｘ一
Ｗ， １ ≤ｉ ， Ｊ ， 尼≤ ， 下面 不等式 成 立 ：
近年 来刘 爱 晶等 ￣ １ ４ － １ ６ 进 行 了一 定 研 究 ， 但 对 于
∑ （ Ｖ ＋ ｗ ） ≤∑ｉ ｔ （ Ｖ ） ＋∑ （ ｗ） ，
这种 类 型 的非线 性矩 阵方 程研 究 的文 献还 不是 很
究［ ６ ］ ． ２ ０ ０ ３年刘 新 国 和 高 华 ［ ｇ 在 这 些 基 础 上 将
该 矩 阵方 程 进 行 了 推 广 ， 讨 论 了 矩 阵 方 程 ＋
Ａ
１
ｃ Ａ — Ｑ， 并通过求 解数 量方程 ｚ 一 十
一 ＋ｉ ｔ （ Ａ Ａ）一 ０ ， 给出了
ｉ ＋ ≤ ＋ １ ；
汁 一
（ Ｂ Ｂ）一 ０，
第 ３ １ 卷 第 １期 ２ ０ １ ７年 １月
兰 州 文理 学 院 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｌ ａ ｎ ｚ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ａｒ ｔ ｓ ａ ｎ ｄ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ）