高考数学一轮复习第十章圆锥曲线第63课椭圆的几何性质(1)文(含解析)

第63课 椭圆的几何性质（1）
【例1】（1）求椭圆2
2
21x y +=的焦点坐标及离心率
【解析】椭圆的标准方程为22112
x y +=，21a =，212b =，
1a ∴=，22b =
，22
22
c a b =-=， ∴焦点坐标为12
(0,)2
F -
、22(0,)2F ，离心率为22c e a == （2）已知椭圆
221(0)44x y k k +=<+的离心率为1
2
，求k 的值 【解析】当0k <时，44k +>，24a ∴=，2
4b k =+，2a ∴=，4b k =
+，
22c a b k =-=-，1
2
e =Q ，122k -=，解得1k =- 【变式】已知椭圆
221(0)44x y k k +=>+的离心率为1
2
，求k 的值 焦点位置
焦点在x 上
焦点在y 上
图 形
标准方程 22
22
1x y a b += 22
22
1y x a b += 范围 a x a -≤≤,b y b -≤≤ b x b -≤≤,a y a -≤≤
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点
轴 长轴122A A a =；短轴122B B b =
焦距 122F F c =
离心率 c
e a
=
e ∈(0,1)
e 越大，椭圆越扁；e 越小，椭圆越圆 焦半径 我们把椭圆上的点P 到椭圆的焦点的线段长1||PF 、2||PF 叫做焦半径 焦半径范围
1||a c PF a c -≤≤+，2||a c PF a c -≤≤+
【解析】当0k >时，44k +>，2
4a k ∴=+，24b =，4a k ∴=
+，2b =，
22c a b k =-，12e =Q 12
4k k =+，解得4
3k =
【例2】已知椭圆的两焦点为1F 、2F ，长轴为12A A ，短轴为12B B 若11||A F 、12||F B 、12||A B 成等差数列，求此椭圆的离心率 【解析】11||A F Q 、12||F B 、12||A B ，22()2a c a b a ∴-+=， 2
2
2a c a c -=+，两边平方，整理得22220c ac a +-= 两边同除以2a ，得22210e e --=，解得13
2
e -±=
01e <<Q ，∴此椭圆的离心率13
2
e -+=
【变式】（1）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A ．
45 B ．35 C ． 25 D ．1
5
【答案】B
【解析】∵2222b a c ⨯=+，∴2
2
4()b a c =+，∴2
2
2
4()()a c a c -=+， ∴4()a c a c -=+，3
5
e =
． （2）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，
212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．
36 B ．13 C ．1
2
D ．33 【答案】D
【解析】∵212PF F F ⊥，1230PF F ∠=︒，∴2
1212
tan PF PF F F F ∠=
， 即2123233PF F =
=．∴12121
cos F F PF F PF ∠=，即1122343
3PF F ==，
∵122PF PF a +==，∴c e a =
= 【例3】若P 是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求 △21PF F 的面积.
【解析】在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 记.||,||2211r PF r PF == Θ点P 在椭圆上，∴ 12220r r a +==，2212122400r r r r ++⋅= ①
在△21PF F 中，由余弦定理得
22212122cos (2)r r r r c θ+-=，即 221212144r r r r +-= ②
由①－②，得 123256r r =，即12256
3
r r =
.3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 【变式】椭圆
124
492
2=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12F PF ∆ 的面积为（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
【解析】由已知，得7a =，b =
=5c ∴==
12||||214PF PF a +==221212||||2||||196PF PF PF PF ⇒++⋅=
22221212||||||10100PF PF F F +===，所以 121002||||196PF PF ⇒+⋅=
即12||||48PF PF ⋅=，12121
||||242
F PF S PF PF ∆==，选A
第63课 椭圆的几何性质的课后作业（1）
1. 椭圆2
2
816128x y +=的离心率为（ ）
A ．
13 B ．1
2
C
【答案】D
2. 一个椭圆的半焦距为2，离心率2
3
e =
，那么它的短轴长是（ ）
A ．3
B ．5
C ． 25
D ．6
【答案】C
【解析】∵2c =，23
e =，∴3a =，∴22
2225b a c =-=． 3. 已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于1
2
，则椭圆C 的方程是
( )
A ．22134x y +=
B ．22143
x += C ．22
142x y +=
D ．22
143
x y +=
【答案】D
【解析】依题意1c =，1
2
e =
，∴2a =，∴24a =，2223b a c =-= 4．已知椭圆22221x y a b
+=(0)a b >>的一个焦点是圆22
680x y x +-=+的圆心，且短轴
长为8，则椭圆的左顶点为( )
A ．(－3，0)
B ．(－4，0)
C ．(－10，0)
D ．(－5，0)
【解析】∵圆的标准方程为(x －3)2＋y 2
＝1，∴圆心坐标为(3，0)，∴c ＝3.又b ＝4，∴a ＝b 2＋c 2＝5.∵椭圆的焦点在x 轴上，∴椭圆的左顶点为(－5，0)．选D
5．椭圆2214x y k +=的离心率为12
则实数k 的值是( ) A ．3
B.
163 C ．3或16
3
D ．2
【解析】当4k >时，a k =，2b =，4c k =-所以
412k k
-=解得16
3k =；
当04k <<时，2a =，b k =，4c k =-所以
41
22
k -=解得3k =故选C. 答案：C
6. 已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两
点，连接,AF BF .若10AB =，8BF =，4
cos 5
ABF ∠=，则C 的离心率为( )
A.35
B.57
C.45
D.67
【解析】在△ABF 中，由余弦定理得|AF |2＝|AB |2＋|BF |2
－2|AB |·|BF |cos∠ABF ，
∴|AF |2＝100＋64－128＝36，∴|AF |＝6，从而|AB |2＝|AF |2＋|BF |2
，则AF ⊥BF .
∴c ＝|OF |＝1
2
|AB |＝5，利用椭圆的对称性，设F ′为右焦点，则|BF ′|＝|AF |＝6，
∴2a ＝|BF |＋|BF ′|＝14，解得a ＝7.因此椭圆的离心率e ＝c a ＝5
7
.
答案：B
7. 已知1()10F -，
、20(1)F ， ，动点P 满足：12||F F 是1||PF 和2||PF 的等差中项． （1）判断动点P 的轨迹是什么图形？（2）求动点P 的轨迹方程 【解析】（1）由已知，得12||2F F =，
12||F F Q 是1||PF 和2||PF 的等差中项， 1212||||2||4PF PF F F ∴+==，而 124||F F >
所以，动点P 的轨迹是以1F 、2F 为焦点，以4为长轴的椭圆
（2）设其方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>， 则
24a =，22c =，2a ∴=，1c =
，b =∴动点P 的轨迹方程为22
143x y += 8．已知1F 、2F 是椭圆C ： 22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且
12PF PF ⊥，并且12PF F ∆ 的面积为9，求b 的值
【解析】设11||PF r =，22||PF r =，则222
12112222222
2
121222444r r a r r r r a
r r c r r c +=⎧+⋅+=⎧⎪⇒⎨⎨+=+=⎪⎩⎩ ∴2212424c r r a +⋅=，即222
122()2r r a c b ⋅=-=
122121
92
PF F r r b S ∆=
⋅∴==，即3b = 9．已知椭圆E ：()2
2
2210x y a b a b
+=>>
（1）求椭圆E 的方程；
（2
）问是否存在直线y x m =-+，使直线与椭圆交于A ，B 两点，满足，若存在求m 值，若不存在说明理由．
【解析】（1）由题意：且，又
解得：，即：椭圆E 的方程为 （2）设 （*）
所以 由 得 e =
1)2P OA OB
⊥c e a =231a =22b -22
4,1a b ==214y +=1122(,),(,)A x y B x y 22222214()40584404x y x m x x mx m y x m ⎧+=⎪⇒+--=⇒-+-=⎨⎪=+⎩21212844,55m m x x x x -+==222212*********
()()()5m y y m x m x m m x x x x m m -=--=-++=-+245m -=0OA OB OA OB ⊥⇒⋅=u u u r u u u r 2211221212444(,)(,)0,0,
0,5
5
5
m m x y x y x x y y m --=+=+
==±
g
又方程（*）要有两个不等实根， m 的值符合上面条件，所以 22)45(44)0,m m m -⨯-><<
m =。