2020-2021学年广西壮族自治区贵港市桂平兴桂中学高三数学文联考试卷含解析

2020-2021学年广西壮族自治区贵港市桂平兴桂中学高三数学文联考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知实数满足，则的最大值为（）
A．9 B．17
C．5 D．15
参考答案：
B
试题分析：由题意得，画出不等式组表示的平面区域，如图所示，由，解得，
由，解得，当时，此时目标函数经过点时取得最大值，此时最大值为；当时，此时目标函数经过点时取得最大值，此时最大值为，所以的最大值为，故选B．
考点：简单的线性规划．
2. 复平面内表示复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i的点位于第一象限，则实数m=（）A．（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）B．（﹣∞，）∪（3，+∞）
C．（﹣∞，﹣1）∪（，）∪（3，+∞）D．（﹣∞，）∪（，+∞）
参考答案：C
【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i对应的点位于第一象限，得3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0，求解不等式组求得实数m的范围．
【解答】解：∵复数z=（3m2+m﹣2）+（4m2﹣15m+9）i对应的点位于第一象限，
∴3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0，解得m＜﹣1或或m＞3．
故选：C．
【点评】本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式3m2+m﹣2＞0且4m2﹣15m+9＞0是解题的关键，是基础题．
3. 已知，，记，则( )
A. M的最小值为
B. M的最小值为
C. M的最小值为
D. M的最小值为
参考答案：
B
【分析】
根据题意，要求的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，利用导数计算即可求解.
【详解】由题意，的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方.
，得，
与直线平行的直线斜率为，
令，解得，所以切点的坐标为
切点到直线的距离
即的最小值为.
故选：B
【点睛】本题考查导数的几何意义为切线的斜率，利用平行关系解决点到直线距离的最小值问题，考查转化与化归思想，考查计算能力，属于中等题型.
4. 已知a=21.2，b=（）﹣0.8，c=2log52，则a，b，c的大小关系为（）
A．c＜b＜a B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a
参考答案：
A
【考点】不等式比较大小．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】由函数y=2x在R上是增函数可得a＞b＞20=1，再由c=2log52=log54＜log55=1，从而得到a，b，c的大小关系
【解答】解：由于函数y=2x在R上是增函数，a=21.2，b=（）﹣0.8 =20.8，1.2＞0.8＞0，
∴a＞b＞20=1．
再由c=2log52=log54＜log55=1，
可得 a＞b＞c，
故选A．
【点评】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．
5. 5名上海世博会形象大使到香港、澳门、台湾进行世博会宣传,每个地方至少去一名形象大使，则不同的分派方法共有（）种
A．25 B．50 C．150 D．300
参考答案：
C
略
6. 设函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则
（）
A. B.
C. D.
参考答案：A
考点：函数的周期性、奇偶性.
7. 设函数（x）=，g（x）=ax2+bx。

若y=f(x)的图像与y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点A（x1,y1）,B(x2,y2),则下列判断正确的是（）
A.当a<0时，x1+x2<0,y1+y2>0
B. 当a<0时, x1+x2>0, y1+y2<0
C.当a>0时，x1+x2<0, y1+y2<0
D. 当a>0时，x1+x2>0, y1+y2>0
参考答案：
B
8. 在等差数列中，，其前项和为，若，则
的值等
于
A.2011
B. -2012
C.2014
D. -2013
参考答案：
C
9. 对于平面和直线，命题若则；命题若则. 则下列命题为真命题的
是（
）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
C
由题意得，在空间中若，则是正确的，所以命题p为真命题，所以为假命题，而若，则直线a,b相交、平行或异面，所以命题q为假命题，所以为真命题，所以
为真命
题，故选C.
10. 已知双曲线E：（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且双曲线E的离心率是2．直线AC的斜率为k．则|k|等于（）
A．2 B．C．D．3
参考答案：
B
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】可令x=c，代入双曲线的方程，求得y=±，再由题意设出A，B，C，D的坐标，由离心率公式，可得a，b，c的关系，运用直线的斜率公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b=±，
由题意可设A（﹣c，），B（﹣c，﹣），
C（c，﹣），D（c，），
由双曲线E的离心率是2，可得e==2，
即c=2a，b==a，
直线AC的斜率为k==﹣=﹣=﹣．
即有|k|=．
故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知命题“”，命题“”，若命题均是真命题，则实数的取值范围是________．
参考答案：
略
12. 已知是第二象限的角，且，则___________.
参考答案：
略
13. 已知,满足=＿＿＿＿。

参考答案：
略
14. 中，，则
的最大值为
参考答案：
15. 在等比数列中，，则公比
；
．
参考答案：
在等比数列中，所以，即。

所以，所
以，即数列是一个公比为2的等比数列，所以。

16. 的展开式中第4项的值是-40，则。

参考答案：
17. 设集合M={1,2,3，…,n} (n∈),对M的任意非空子集A，定义f(A)为A中的最大元素，
当A取遍M的所有非空子集时，对应的f(A)的和为，则：①= . ②= .
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （09 年聊城一模理）（12分）
设.
（Ⅰ）确定的值，使的极小值为0；
（II）证明：当且仅当时，的极大值为3.
参考答案：
解析：（Ⅰ）由于所以
………2分
令,
当a=2时，
所以2－a≠0.
①当2－a>0，即a<2时，的变化情况如下表1：
－
此时应有f(0)=0，所以a=0<2；
②当2－a<0，即a>2时，的变化情况如下表2：
x
－
此时应有
而
综上可知，当a=0或4时，的极小值为0. ………6分
（II）若a<2，则由表1可知，应有也就是
设
由于a<2得
所以方程无解. ………8分
若a>2，则由表2可知，应有f(0)=3，即a=3. ………10分综上可知，当且仅当a=3时，f(x)的极大值为3. ………12分
19. （本小题满分12分）
已知函数
（I）化简函数f（x）的解析式，并求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，若，求△ABC的面积．
参考答案：
20. 如图，已知四边形ABCD是正方形，EA⊥平面ABCD，PD∥EA，AD=PD=2EA=2，F，G，H分别为BP，BE，PC的中点．
（1）求证：GH∥平面ADPE；
（2）M是线段PC上一点，且PM=，求二面角C﹣EF﹣M的余弦值．参考答案：
【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．
【分析】（1）利用中位线定理证明GF∥PE，FH∥BC，得出平面FGH∥平面ADPE，从而GH∥平面ADPE；
（2）建立坐标系，求出平面EFC和平面EFM的法向量，计算法向量的夹角即可得出二面角的大小．【解答】（1）证明：∵F，G，H分别为BP，BE，PC的中点，
∴GF∥PE，FH∥BC，
又四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD，
∴FH∥AD，又PE与AD为相交直线，GF与FH为相交直线，
∴平面FGH∥平面ADPE，
∵GH?平面FGH，
∴GH∥平面ADPE．
（2）解：以D为原点，以DA，DC，DP为坐标轴建立空间直角坐标系如图：
则B（2，2，0），C（0，2，0），D（0，0，0），E（2，0，1），P（0，0，2），F（1，1，1），∴=（﹣1，1，0），=（﹣2，2，﹣1），=（﹣2，0，1），=（0，2，﹣2），
∵PC=2，PM=，∴ ==（0，，﹣），
∴==（﹣2，，﹣），
设平面EFC的法向量为=（x1，y1，z1），平面EFM的法向量的=（x2，y2，z2），
则，，
∴，，
令x1=x2=1得=（1，1，0），=（1，1，﹣1），
∴cos＜，＞===．
∴二面角C﹣EF﹣M的余弦值为．
21. 在数列中,, 且对任意的,成等比数列, 其公比为.
（1）若, 求；
（2）若对任意的,成等差数列, 其公差为, 设.
① 求证:成等差数列, 并指出其公差；
② 若, 试求数列的前项和.
参考答案：
（1）因为,所以,故是首项为1,公比为4的等比数列,
所以…………………………………………………… 4分（注: 讲评时可说明, 此时数列也是等比数列, 且公比为2）
（2）①因为成等差数列,所以,
而,所以,则………………………… 7分得,所以,即,
所以是等差数列,且公差为1………………………………………………………………………9分②因为,所以,则由,解得或………………10分（ⅰ）当时, ,所以,则,即,得,所以,则……12分
所以,则,故……………14分（ⅱ）当时, ,所以,则,即,
得,所以,则,所以,从而.
综上所述,或…………………………………………………………………16分22. （满分13分）如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P，
（I）求证：AD∥EC；
（Ⅱ）若AD是⊙O2的切线，且PA=6，PC=2，BD=9，求AD的长.
参考答案：
解：（Ⅰ）连接AB，是⊙O1的切线，，
又，…………………4分（Ⅱ）是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，
……………………………………7分又⊙O2中由相交弦定理，得
………………………………………………………10分是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，
，
. ……………………………………………………13分。