高中数学 1.2.1绝对值三角不等式同步检测试题 新人教A版选修45

【金版学案】2014-2015学年高中数学 1．2.1绝对值三角不等式同
步检测试题新人教A版选修4-5
一层练习
1．若|x－a|<m，|y－a|<n，则下列不等式一定成立的是( )
A．|x－y|<2m B．|x－y|<2n
C．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m
答案：D
2．设ab>0，下面四个不等式：
①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；
③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|.
其中正确的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
答案：C
3．若a ，b ∈R，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．
答案：5 0
4．已知p ，q ，x ∈R，pq ≥0，x ≠0，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪px ＋q x ______2pq (填“≥”，“≤”，“>”或“<”)．
答案：≥
5．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是(
) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞)
C ．(3,4)
D ．[3，＋∞)
答案：A
6．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________．
答案：{x |x >1}
二层练习
7．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．
答案：4 －4
8．|x －A |<ε2，|y －A |<ε
2是|x －y |<ε的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．即不充分也不必要条件
答案：A
9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．
解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5. 答案：5
三层练习
10．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若点C (x ，y )是平面xOy 上的点， 试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )．
证明：由绝对值不等式知，
ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )＝|x －x 1|＋|x 2－x |＋|y －y 1|＋|y 2－y |
≥|(x －x 1)＋(x 2－x )|＋|(y －y 1)＋(y 2－y )|＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|
＝ρ(A ，B )．
当且仅当(x －x 1)·(x 2－x )≥0且(y －y 1)·(y 2－y )≥0时等号成立．
11．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518
.
证明：∵3|y |＝|3y |＝|2(x ＋y )＋(y －2x )|≤2|x ＋y |＋|2x －y |，
由题意设|x ＋y |<13，|2x －y |<16
， ∴3|y |<2×13＋16＝56
. ∴|y |<518
.
12．求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |
2.
证明：(1)当|a |≤|b |时，由|a 2－b 2
|2|a |≥0，
|a |2－|b
|
2≤0，知不等式成立
(2)当|a |>|b |时．
|a 2－b 2|2|a |－⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |2－|b |2＝|a |2－|b |22|a |－|a |－|b |2＝|a |－|b |2×⎝ ⎛⎭
⎪⎫|a |＋|b |
|a |－1 ＝|a |－|b |
2×b
a ≥0.
所以|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b
|
2.
1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：
设a ∈R，则|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a ≥0，－a ，a ＜0.
|a |≥0，－|a |≤a ≤|a |，|a |2＝a 2.
2．绝对值不等式的性质定理的推广：
|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；
|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；
|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.
3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件：|a＋b|＝|a|＋|b|(ab≥0)；
|a－b|＝|a|＋|b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a＋b|(ab≤0)；
||a|－|b||＝|a－b|(ab≥0)．。