2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷(理科)

绝密★启用前
2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（理科）
注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．25m <<
B ．25m <
C ．25m <
D ．25m
2．下面关于复数1z i =-+（其中i 为虚数单位）的结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．|||1|z z <+ C ．z 的虚部为i
D ．0z z +<
3．如图所示，给出了样本容量均为7的A ，B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则( )
A ．12r r =
B ．12r r <
C ．12r r >
D ．无法判定
4．已知数列{}n a 为等差数列，且34a =，58a =，则该数列的前10项之和10(S = ) A ．80
B ．90
C ．100
D ．110
5．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )
A ．若//m α，//m β，则//αβ
B ．若//m α，//n α，则//m n
C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβ
6．设1x ，2x ，3x 均为实数，且312123,(1),x x x e lnx e ln x e lgx ---==+=，则( ) A ．123x x x <<
B ．132x x x <<
C ．231x x x <<
D ．213x x x <<
7．已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，且||3AB =，||2AC =，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，
则实数λ的值为( ) A ．
37
B ．
73
C ．
712
D ．
127
8．瑞士数学家欧拉()1765LeonharEuler 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知ABC ∆的顶点(4,0)A -，(0,4)B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是( ) A ．(1,3)
B ．(3,1)
C ．(2,0)-
D ．(0,2)-
9．若函数())cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图象关于(2
π
，0)对称，则函数()
f x 在[4π
-
，]6
π
上的最小值是( )
A ．1-
B ．
C ．1
2
-
D ．10．抛物线2
8y x =的焦点F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点，(A m ，)(0)n n >为
抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为(
)
A
B C ．2
D
11．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( ) A ．男医生
B ．男护士
C ．女医生
D ．女护士
12．已知三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，CA CB ==，AB =PC 三棱锥有以下结论：
①三棱锥P ABC -的表面积为
②三棱锥P ABC -的内切球的半径r =
③点P 到平面ABC ；
④若侧面PAB 内的动点M 到平面ABC 的距离为d ，且MP ，则动点M 的轨迹为抛物线的一部分．
其中正确结论的序号为( ) A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设x ，y 满足约束条件212x y x y +⎧⎪
⎨⎪⎩
，则目标函数2z x y =-+的取值范围为 ．
14
．若曲线y =()x f x ae =在公共点处有相同的切线，则实数a 的值为 ． 15．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，对任意的*n N ∈，都有316n n S a =+．若
*12,n n b a a a n N =⋯∈，则数列{}n a 的通项公式n a = ；数列{}n b 的最大项为 ． 16．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()1f x x =-，有以下4个结论：①2是()y f x =的一个周期；②f （1）0=；③函数(1)y f x =-是奇函数；④若函数(1)y f x =+在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（--）必考题：共60分．
17．（12分）已知ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；
（2）若6b c +=，ABC ∆
的面积为，求a ．
18．（12分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，2AB =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，3DE =，3BF =，平面
BDEF ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值？
19．（12分）已知椭圆222:1(3)3x y E a a +=>的离心率1
2
e =．直线(0)x t t =>与曲线E 交于
不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求ABC ∆的面积的最大值．
20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）． 阶梯级别 第一阶梯 第二阶梯 第三阶梯 月用电范围（度)
[0，210]
(210，400]
(400,)+∞
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下： 居民用电户编号 1
2
3
4
5
6
7
8 9
10
用电量（度)
53 86 90 124 132 200 215 225
300 410
（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值． 21．（12分）已知3
x e
=
是函数()n f x x lnx =的极值点．
（1）求()f x 的最小值； （2）设函数()x
mx
g x e =，若对任意1(0,)x ∈+∞，存在2x R ∈，使得12()()f x g x >，求实数m 的取值范围．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=．若过点(5,3)P -，倾斜角为α，且3
cos 5
α=-的直线交曲线C 于1P 、2P 两点． （1）求12||||PP PP 的值； （2）求12P P 的中点M 的坐标． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．对a R ∀∈，|1||1|a a ++-的最小值为M ．
（1）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，证明：2222x y z y z x
++
；
（2）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，且2221
(2)(1)()3
x y z m -+-++恒成立，求实数m 的取值范围．
2020年陕西省榆林市高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉，则实数m 的取值范围是( ) A ．25m <<
B ．25m <
C ．25m <
D ．25m
解：因为集合{|31}A x x m =-<，若1A ∈且2A ∉， 311m ∴⨯-<且321m ⨯-；解得25m <；
故选：C ．
点评：本题主要考查描述法表示一个集合以及元素与集合的关系、不等式的解法，属于基础题目．
2．下面关于复数1z i =-+（其中i 为虚数单位）的结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．|||1|z z <+ C ．z 的虚部为i D ．0z z +<
解：
1z i =-+，z ∴对应的点的坐标为(1,1)-，在第二象限，故A 错；
|1|||1z i +==，22||(1)12z =-+=，故B 错误； z 的虚部为1；故C 错误；
(1)(1)20z z i i +=-++--=-<，故D 正确．
故选：D ．
点评：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
3．如图所示，给出了样本容量均为7的A ，B 两组样本数据的散点图，已知A 组样本数据的相关系数为1r ，B 组数据的相关系数为2r ，则( )
A ．12r r =
B ．12r r <
C ．12r r >
D ．无法判定
解：根据A 、B 两组样本数据的散点图知，
A 组样本数据几乎在一条直线上，且成正相关，
∴相关系数为1r 应最接近1，
B 组数据分散在一条直线附近，也成正相关，
∴相关系数为2r 满足21r r <，
即12r r >． 故选：C ．
点评：本题考查了散点图与相关系数的应用问题，是基础题．
4．已知数列{}n a 为等差数列，且34a =，58a =，则该数列的前10项之和10(S = ) A ．80
B ．90
C ．100
D ．110
解：设等差数列{}n a 的公差为d ，34a =，58a =，124a d ∴+=，148a d +=， 联立解得：10a =，2d =， 则该数列的前10项之和10109
02902
S ⨯=+⨯=． 故选：B ．
点评：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．已知m 、n 是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，下列命题中，是真命题的是( )
A ．若//m α，//m β，则//αβ
B ．若//m α，//n α，则//m n
C ．若m α⊥，n α⊥，则//m n
D ．若αγ⊥，αβ⊥，则//γβ
解：对于A ，若n α
β=，//m n ，则//m α，//m β，所以A 错误；
对于B ，若//m α，//n α，则m 与n 可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线，所以B 错误；
对于C ，若m α⊥，n α⊥，由线面垂直的性质定理知//m n ，所以C 正确； 对于D ，若αγ⊥，αβ⊥，则γ与β可能相交，也可能平行，所以D 错误． 故选：C ．
点评：本题考查了空间中的直线、平面之间的位置关系应用问题，是基础题．
6．设1x ，2x ，3x 均为实数，且312123,(1),x x x e lnx e ln x e lgx ---==+=，则( ) A ．123x x x <<
B ．132x x x <<
C ．231x x x <<
D ．213x x x <<
解：画出函数1
()x y e
=，y lnx =，(1)y ln x =+，y lgx =，3个函数的函数图象，如图所示：
，
由图象可知：213x x x <<， 故选：D ．
点评：本题主要考查了指数函数与对数函数的图象，以及数形结合法的运用，是中档题． 7．已知向量AB 与AC 的夹角为120︒，且||3AB =，||2AC =，若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，
则实数λ的值为( ) A ．
3
7
B ．
73
C ．
712
D ．
127
解：向量AB 与AC 的夹角为120︒，且||3AB =，||2AC =， 可得32cos1203AB AC =⨯⨯︒=-， 若AP AB AC λ=+且AP BC ⊥，
则2
2
()()(1)AP BC AB AC AC AB AC AB AB AC λλλ=+-=-+- 493(1)0λλ=---=，
解得712
λ=
． 故选：C ．
点评：本题考查向量的数量积的定义和性质，主要是向量垂直的条件：数量积为0，向量平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．
8．瑞士数学家欧拉()1765LeonharEuler 年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．若已知ABC ∆的顶点(4,0)A -，(0,4)B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是( ) A ．(1,3) B ．(3,1)
C ．(2,0)-
D ．(0,2)-
解：
(4,0)A -，(0,4)B ，AB ∴的垂直平分线方程为0x y +=，
又外心在欧拉线20x y -+=上，
联立020x y x y +=⎧⎨-+=⎩
，解得三角形ABC 的外心(1,1)G -，
又||r GA =， ABC ∴∆外接圆的方程为22(1)(1)10x y ++-=．
设(,)C x y ，则三角形ABC 的重心44(,)33x y -+在欧拉线上，即44
2033
x y -+-+=． 整理得20x y --=．
联立22(1)(1)1020x y x y ⎧++-=⎨--=⎩
，解得02x y =⎧⎨=-⎩或2
0x y =⎧⎨=⎩．
∴顶点C 的坐标可以是(0,2)-．
故选：D ．
点评：本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．
9．若函数())cos(2)(0)f x x x θθθπ=+++<<的图象关于(2
π
，0)对称，则函数()
f x 在[4π
-
，]6
π
上的最小值是( )
A ．1-
B ．
C ．1
2
-
D ．
解：函数())cos(2)2sin(2)(0)6f x x x x πθθθθπ=+++=++<<的图象关于(2
π
，0)
对称， 22
6
k π
π
θπ∴⨯
++
=，
k Z ∈，即76k πθπ=-，56πθ∴=，5()2sin(2)2sin 266
f x x x ππ
=++=-，
在[4π
-
，]6π上，2[2
x π∈-，]3π，故当23x π
=时，函数()f x 取得最小值为 故选：B ．
点评：本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．
10．抛物线2
8y x =的焦点F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一个焦点，(A m ，)(0)n n >为
抛物线上一点，直线AF 与双曲线有且只有一个交点，若||8AF =，则该双曲线的离心率为(
)
A
B C ．2
D
解：抛物线28y x =的焦点(2,0)F ，即双曲线的右焦点为(2,0)，
双曲线22
221x y a b
-=的渐近线方程分别为0bx ay -=，0bx ay +=，
抛物线的准线方程为2x =-，
由(A m ，)(0)n n >为抛物线上一点，可得0m >，且||28AF m =+=，
解得6m =，n =，
即(6A ，，由直线AF 与双曲线有且只有一个交点，可得直线AF 与渐近线0bx ay -=平行，
可得AF b
k a
=
==，
则双曲线的离心率为2c e a ====．
故选：C ．
点评：本题考查抛物线和双曲线的定义、方程和性质，考查渐近线方程的运用，以及离心率的求法，化简运算能力，属于中档题．
11．新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，广大医务工作者积极响应党中央号召，舍小家，为大家，不顾个人安危，生动诠释了敬佑生命、救死扶伤、甘于奉献、大爱无疆的崇高精神．某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名．无论是否把我算在内，下面说法都是对的．在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士．”请你推断说话的人的性别与职业是( ) A ．男医生
B ．男护士
C ．女医生
D ．女护士
解：设男医生人数为a ，女医生人数为b ，女护士人数为c ，男护士人数为d ，则有： ①a b c d ++， ②c a >，
③a b >， ④2d ，
得出：2c a b d >>>， 假设：2d =，
仅有：5a =，4b =，6c =，2d =时符合条件，
又因为使a 、b 、c 、d 中一个数减一人符合条件，只有1b -符合，即女医生． 假设：2d >，则没有能满足条件的情况． 综上，这位说话的人是女医生， 故选：C ．
点评：本题考查的知识点是逻辑推理，难度中档．
12．已知三棱锥P ABC -中，2PA PB ==，CA CB ==，AB =PC 三棱锥有以下结论：
①三棱锥P ABC -的表面积为
②三棱锥P ABC -的内切球的半径r =
③点P 到平面ABC ；
④若侧面PAB 内的动点M 到平面ABC 的距离为d ，且MP ，则动点M 的轨迹为抛物线的一部分．
其中正确结论的序号为( ) A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②③④
解：对于①，取AB 的中点D ，连接PD 、CD ，则AB CD ⊥，AB PD ⊥，
又2PA PB ==，CA CB ==，AB =PC
所以三棱锥P ABC -
对于②，三棱锥P ABC -的体积为11
33
P ABC V -==⨯三棱锥，
解得三棱锥内切球的半径为r =
对于③，AB ⊥平面CDP ，AB ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面CDP ； 所以点P 到平面ABC 的距离即为点P 到CD 的距离，
计算点P到CD的距离为
133
⨯
=，所以③正确；
对于④，侧面PAB内的动点M到平面ABC的距离为d，则动点M到直线AB的距离为
23
d，
由
23
MP d
=，所以在平面PAB内的动点M到定点P的距离与到直线AB的距离相等，且
P AB
∉，
所以动点M的轨迹为抛物线的一部分，④正确；
综上知，其中正确结论的序号为①②③④．
故选：D．
点评：本题考查了空间中直线与平面的位置关系应用问题，也考查了运算求解与逻辑推理能力，是综合题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设x，y满足约束条件
2
1
2
x y
x
y
+
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
，则目标函数2
z x y
=-+的取值范围为[1
-，2]．
解：x，y满足约束条件
2
1
2
x y
x
y
+
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
的可行域如图：
作直线20
x y
-+=的平行线，
当目标函数经过可行域的(0,2)
A时，目标函数2
z x y
=-+取得最大值2，目标函数经过(1,1)
B时，目标函数取得最小值：1
-．
目标函数2
z x y
=-+的取值范围为[1
-，2]．
故答案为：[1
-，2]．
点评：本题考查线性规划的简单应用，画出可行域是解题的关键，是基本知识的考查，基础题．
14．若曲线2y x =()x f x ae =在公共点处有相同的切线，则实数a 的值为 2e
． 解：由已知得y x
'=
，()x f x ae '=．
再设两曲线的公共点为(,)x y ，则x
x ae x x ae =⎪
⎨=⎩
，
解得2e a =
． 2e 点评：本题考查导数的几何意义和切线的求法，利用切点满足的两个条件列出方程组是本题的思路．属于基础题．
15．已知数列{}n a 的前n 项之和为n S ，对任意的*n N ∈，都有316n n S a =+．若
*12,n n b a a a n N =⋯∈，则数列{}n a 的通项公式n a = 1(1)2n --4n
- ；数列{}n b 的最大项
为 ．
解：316n n S a =+，
2n ∴时，11316n n S a --=+，
两式相减可得，12n n a a -=-， 1n =时，18a =，
∴数列{}n a 是以8为首项，1
2
-
为公比的等比数列，
所以111
8()(1)2
2
n n n a --=-=-4n
-．
4511
8()22
a ∴=⨯-=，18a =，24a =-，32a =，41a =-，4n >时，||1n a <，
*12,n n b a a a n N =⋯∈，所以4b 最大，最大值为64． 故答案为：1(1)2
n --4n
-；64．
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的判定与通项，考查数列中各项乘积的最值，考查学生的计算能力，属于中档题．
16．定义在R 上的偶函数()y f x =满足(2)()f x f x +=-，当[0x ∈，1)时，2()1f x x =-，有以下4个结论：①2是()y f x =的一个周期；②f （1）0=；③函数(1)y f x =-是奇函数；④若函数(1)y f x =+在(1,2)上递增．则这4个结论中正确的是 ②③④ ． 解：
(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，4∴是函数()y f x =的一个周期，
()y f x =是偶函数，(2)()()f x f x f x ∴+=-=--，∴函数()y f x =关于点(1,0)对称，
由于当[0x ∈，1)时，2()1f x x =-，于是可作出如下的函数图象，
由图可知，①错误，②③④正确． 故答案为：②③④．
点评：本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性，函数的平移变换等，熟练掌握函数性质的概念是解题的关键，考查学生的推理论证能力，属于基础题．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（--）必考题：共60分．
17．（12分）已知ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足
22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+． （1）求A ；
（2）若6b c +=，ABC ∆的面积为23，求a ． 解：（1）22(sin sin )sin sin sin B C A B C +=+．
由正弦定理得22()b c a bc +=+，即222b c a bc +-=-，
∴1
cos 2
A =-
，∴23A π=．
（2）
13
sin 232ABC S bc A bc ∆===，
8bc ∴=，结合6b c +=，22()b c a bc +=+，228a ∴=．
∴27a =．
点评：本题考查正、余弦定理、面积公式以及三角形中的边角互化．同时考查学生利用转化思想解决问题的意识和计算能力、逻辑推理能力．属于中档题．
18．（12分）如图，在几何体中，四边形ABCD 为菱形，2AB =，120ABC ∠=︒，AC 与BD 相交于点O ，四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，3DE =，3BF =，平面
BDEF ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面AEF ⊥平面AFC ； （2）求二面角E AC F --的余弦值？
解：（1）证明：连接OE ，OF ， 四边形ABCD 为菱形， AC BD ∴⊥，
平面BDEF ⊥平面ABCD ，平面BDEF ⋂平面ABCD BD =， AC ∴⊥平面BDEF ， AC EF ∴⊥，
四边形BDEF 为直角梯形，//DE BF ，BD DE ⊥，33DE BF ==，1OA OB ==，
∴10,2,22OE OF EF ==，
222OE OF EF ∴=+， EF OF ∴⊥，
AC ，OF 在平面AFC 内，AC OF O =，
EF ∴⊥平面AEF ，
∴平面AEF ⊥平面AFC ；
（2）AF CF =，AE CE =，
OE AC ∴⊥，OF AC ⊥，
EOF ∴∠为二面角E AC F --的平面角，
由（1）可知，2
5
cos 10
OF EOF OE ∠=
==．
点评：本题考查面面垂直的判定以及二面角的求解，考查推理论证能力及运算求解能力，属于中档题．
19．（12分）已知椭圆222:1(3)3x y E a a +=>的离心率1
2
e =．直线(0)x t t =>与曲线E 交于
不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆C ，圆心为C ． （1）求椭圆E 的方程；
（2）若圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，求ABC ∆的面积的最大值．
（1）解：椭圆222:1(3)3x y E a a +=>的离心率1
2
e =，
∴
231
2
a -=．（2分） 解得2a =．
∴椭圆E 的方程为22
143
x y +=．
（4分） （2）解：依题意，圆心为(,0)C t ，(02)t <<． 由2214
3x t
x y
=⎧⎪⎨+=⎪
⎩得221234t y -=．
∴圆C 的半径为r =（6分）
圆C 与y 轴相交于不同的两点A ，B ，且圆心C 到y 轴的距离d t =，
∴0t <<，即0t <．
∴弦长||AB ===．（8分） ABC ∴∆的面积21
1272
S t t =
-（9分）
2
()127
27t
=
-⨯=（12分）
t =时，等号成立．
ABC ∴∆（14分） 点评：本题考查椭圆的方程和三解开有的面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．
某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：
（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A 居民用电户用电410度时应交电费多少元？ （2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望； （3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k 户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k 的值．
解：（1）2100.5(400210)0.6(410400)0.8227⨯+-⨯+-⨯=元⋯（2分）
（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，
2，32112377373333331010101072171
3(0)(1)(2)(3)244040120
C C C C C C p p p p C C C C ξξξξ============
故ξ的分布列是
所以721719()012324404012010
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯=⋯（7分） （3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足3
(10,)5
X B ∽，
可知101032()()()(055
k k k
p X k C k -===，1，2，3⋯，10)
101110(1)1010101110(1)
10103232()()()()5555
3232()()()()5555k
k k k k k k k k k k k C C C C -++-+-----⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
，解得283355k ，*k N ∈ 所以当6k =时，概率最大，所以6k =⋯（12分）
点评：本题考查独立重复试验概率的求法，分布列以及期望的期望的求法，考查分析问题解决问题的能力． 21．（12分）已知x =
是函数()n f x x lnx =的极值点．
（1）求()f x 的最小值； （2
）设函数()x
mx
g x e =，若对任意1(0,)x ∈+∞，存在2x R ∈，使得1
2()()f x g x >，求实数m 的取值范围．
解：（1）()n f x x lnx =，(0,)x ∈+∞．11()n
n f x nx lnx x --'=+． x =
是函数()
n f x x lnx =的极值点．
∴13
1
(1)03
n f e
n --'=-⨯+=，解得3n =．
可得x =
时函数()f x 取得进极小值即最小值．
3()f x x lnx ∴=，111
()33f e e =⨯-=-．
()f x ∴的最小值为：13e
-
． （2）对任意1(0,)x ∈+∞，存在2x R ∈，使得12()()f x g x >⇔对12()()min min f x g x >，1(0,)x ∈+∞，
2x R ∈．
由（1）可得：11()3min f x e
=-． ①0m =时，()0g x =，1
03e
-
<，不适合题意，舍去． ②若0m >，1
1()1m
g e m -=-<-，满足113e ->-，适合题意．
③若0m <，(1)
()x
m x g x e -'=，可得(,1)x ∈-∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减；(1,)
x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增．
1x ∴=时，函数()g x 取得极小值即最小值，g （1）m
e
=． 13m
e e
∴-
>，解得13m <-．
综上可得实数m 的取值范围是(-∞，1
)(03
-⋃，)+∞．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，得曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=．若过点(5,3)P -，倾斜角为α，且3
cos 5
α=-的直线交曲线C 于1P 、2P 两点． （1）求12||||PP PP 的值； （2）求12P P 的中点M 的坐标．
解：（1）曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=．转换为直角坐标方程为228x y y +=， 点(5,3)P -，倾斜角为α，且3cos 5α=-，则直线的参数方程为355
(435x t t y t
⎧
=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
为参数），
把直线的参数方程代入圆的方程为286
5805
t t -+=， 所以1212||||||58PP PP t t ==．
（2）由（1）知：1286
5
t t +=， 所以1243
25
M t t t +=
=
， 代入355
435x t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=-+⎪⎩
得到497
(,)2525
M -
． 点评：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．对a R ∀∈，|1||1|a a ++-的最小值为M ．
（1）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，证明：2222x y z y z x
++
；
（2）若三个正数x ，y ，z 满足x y z M ++=，且2221
(2)(1)()3
x y z m -+-++恒成立，求实数m 的取值范围．
解：（1）证明：由a R ∀∈，|1||1|
|11|2a a a a ++-+-+=，
当且仅当11a -时取得等号，可得2x y z ++=， 又x ，y ，0z >，22
2
2x x y y x y y
+=， 同理可得22y z y z
+，2
2z x z x +，
三式相加可得，222
2x y z x y z y z x
++++=，
当且仅当2
3
x y z ===时，取得等号， 则222
2x y z y z x
++
；
（2）222
1(2)(1)()3x y z m -+-++恒成立，等价为2221
[(2)(1)()]3
min x y z m -+-++， 由22222222(111)[(2)(1)()](21)(1)x y z m x y z m m ++-+-++-+-++=-， 当且仅当21x y z m -=-=+可取得等号． 则
211
(1)33
m -，即|1|1m -，解得2m 或0m ， 即m 的取值范围是(-∞，0][2，)+∞．
点评：本题考查绝对值不等式的性质和基本不等式、柯西不等式的运用，考查化简运算能力
和推理能力，属于中档题．
21。