非线性回归模型建立及案例
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于是原模型可化为标准线性模型
y* 0 1x* (4.18)
半对数模型通常用于测度许多经济变量和非经济变 量的增长率，所以半对数模型又称为增长模型。 在实际工作中，双对数模型应用的非常广泛，其原 因在于，由于回归线是一条直线（y和x都是对数形
式），所以它的斜率（ ）1 为一常数。对于这个模型
1994 178700
1400
1987 62900
700
1995 203100
1500
1988 86300
900
根据成本理论，成本函数可用产量的三次多项式 近似表示
c 0 1x 2 x2 3x3
令 z1 x， z2 x2 ， z3 x3
则
c 0 1z1 2 z2 3z3
Q f (X , P1, P0 )
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q f (X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
其斜率等于其弹性，因为
1
dy* dx*
d （ln y) d (ln x)
y / x /
y x
E
所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质，双对 数模型又称为不变弹性模型。
4、非线性回归模型的直接代换的应用举例
例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
109.3
1993 2110.8 1058.2
116.1
116.5
1694.7
943.1
124.6
112.2
1994 2851.3 1422.5
125.0
s：税收； r：税率
设 z1 = r， z2 = r2， 则原方程变换为
s = a + b z1+ c z2
c<0
例4.1.1 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和 总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其 成本函数。
表4.1.1
年份 总成本 y（元） 产量 x（件） 年份 总成本 y（元） 产量 x（件）
本章要点：
一、可化为线性模型的非线性回归模型 二、不可化为线性模型的非线性回归模型 三、案例：非线性模型的应用
第一节 可化为线性模型的非线性回归模型
对于变量之间是非线性的，但参数之间是线 性的模型，可以利用变量代换的方法将模型线性 化。下面列举在讨论经济问题时常遇到的几种非 线性函数模型，进行变量的代换化为线性模型。
首先,确定具体的函数形式
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
对数变换:
Q
AX
P 1 2 1
P 3 0
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***)
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
1981 456.8 420.4
102.5
102.7
646.1
318.3
70.7
132.1
1982 471.0 432.1
102.0
102.1
659.1
325.0
71.5
132.9
1983 505.9 464.0
102.0
103.7
672.2
337.0
75.3
137.7
1984 559.4 514.3
Variable
Coefficient
Z1
85.70278
Z2
-0.028405
Z3
4.05E-05
C
2434.652
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation.结果如下：
输出结果4.1.1
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 03/29/03 Time: 09:13 Sample: 1981 1995 Included observations: 15
102.7
104.0
690.4
350.5
81.0
146.7
1985 673.2 351.4
111.9
116.5
772.6
408.4
87.1
86.1
1986 799.0 418.9
107.0
107.2
826.6
437.8
96.7
95.7
1987 884.4 472.9
108.8
112.0
899.4
490.3
（4.1.4
即可利用一元线性回归分析的方法处理了。 例4.1.2 表4.1.2给出了美国1958-1969年间小时收 入指数（Y）与城市失业率（X）的数据，试用回归分 析法解释二者之间的关系。
表 4.1.2 美国小时工资指数年变化的百分比与失业率（%）
年份
y
x
年份
y
x
1958 4.2
6.8
1964
第四章 非线性 回归模型
前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经 济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关 系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里 所说的线性是指：（1）解释变量线性。（2）参数线 性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间 的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析， 所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模 型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。 非线性模型的参数如何进行估计，如何进行分析，是 本章所要讨论的问题。
(****)
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) (1990年价) (1990年价) (1990=100) (1990=100)
2.8
5.2
1959 3.5
5.5
1965
3.6
4.5
1960 3.4
5.5
1966
4.3
3.8
1961 3.0
6.7
1967
5.0
3.8
1962 3.4
5.5
1968
6.1
3.6
1963 2.8
5.7
1969
6.7
3.5
解：根据经济理论，二者之间的关系可以用双曲线模 型来表示
y
0
1
1 x
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
1989 1211.0 62.5
702.2
95.9
94.0
1990 1278.9 693.8
101.3
98.8
1278.9
693.8
100.0
100.0
1991 1453.8 782.5
即
s (1368.92)(7.17)(0.01)(0.000)
t (1.79)(11.95**)(2.77*)(9.59**)
2、双曲线模型(Double-curve Model)
对于形如
y
0
1
1 x
（4.1.3）
的模型，称为双曲线模型，令
z1 则 x
原模型可化为线性形式
y 0 1z
3、半对数模型和双对数模型
把函数形式为
ln y 0 1x
（4.1.5）
y ln x (4.16)
称为半对数模型。 把函数形式为
ln y ln 0 1 ln x
称为双对数函数模型。
(4.17)
对于这两类函数可作如下代换，令
y* ln y, x* ln x
100.1
2775.5
1689.6
150.8
115.0
1998 4331.6 1926.9
1981 10000
100
1989 74100
800
1982 28600
300
1990 100000
1000
1983 19500
200
1991 133900
1200
1984 32900
400
1992 115700
1100
1985 52400
600
1993 154800
1300
1986 42400
500
Std. Error t-Statistic
4.679482 4.399607 1.008640 -0.257214
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000 0.0181 0.0000 0.1029
86353.33 60016.44 16.89509 17.08390 16497.11 0.000000
回归方程为
c 2434 85.7z1 0.03z2 0.00004z3
c 2434 85.7x 0.03x2 0.00004x3
的模型为多项式模型。令
z1 x1, z2 x22 ,L , zk xkk
原模型可化为线性形式
y 0 1z1 2 z2 L k zk u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2
c<0
134.2
2118.4
1265.6
134.6
112.4
1995 3537.6 1766.0
116.8
123.6
2474.3
1564.3
143.0
112.9
1996 3919.5 1904.7
108.8
107.9
2692.0
1687.9
145.6
112.8
1997 4185.6 1942.6
103.1
一、非线性回归模型的直接代换
当解释变量是非线性的，但参数之间是线性的时， 可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。
下面列举在讨论经济问题时，经常遇到的几种非线 性函数模型，进行变量的直接代换化为线性模型。
1、多项式函数模型 对于形如
y=0 +1x1 +2 x22 +...+k xkk +
令
z1
x
则 y 0 1z
运用Eviews进行回归, 操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation, 输出结果如下： 输出结果如下4.1.2
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 03/29/03 Time: 09:23 Sample: 1958 1969 Included observations: 12
Prob.
0.0013 0.8022
4.066667 1.271601 2.487823 2.568640 19.35654 0.001336
所以回归方程为
y 0.2594 20.5879z
1
y 0.2594 20.5879
即
x s (1.0086)（4.6794)
t (0.2572)（4.3996**)
Variable
Coefficient
Z
20.58788
C
-0.259437
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.659360 0.625296 0.778386 6.058842 -12.92694 0.639368
0.999778 0.999717 1009.303 11205609 -122.7131 2.275841
Std. Error t-Statistic
7.170616 0.010242 4.22E-06 1368.921
11.95194 -2.773303 9.593420 1.778519
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
y* 0 1x* (4.18)
半对数模型通常用于测度许多经济变量和非经济变 量的增长率，所以半对数模型又称为增长模型。 在实际工作中，双对数模型应用的非常广泛，其原 因在于，由于回归线是一条直线（y和x都是对数形
式），所以它的斜率（ ）1 为一常数。对于这个模型
1994 178700
1400
1987 62900
700
1995 203100
1500
1988 86300
900
根据成本理论，成本函数可用产量的三次多项式 近似表示
c 0 1x 2 x2 3x3
令 z1 x， z2 x2 ， z3 x3
则
c 0 1z1 2 z2 3z3
Q f (X , P1, P0 )
(*)
Q:居民对食品的需求量，X：消费者的消费支出总额
P1：食品价格指数，P0：居民消费价格总指数。
零阶齐次性，当所有商品和消费者货币支出总额按同 一比例变动时，需求量保持不变
Q f (X / P0 , P1 / P0 )
(**)
为了进行比较，将同时估计（*）式与（**）式。
其斜率等于其弹性，因为
1
dy* dx*
d （ln y) d (ln x)
y / x /
y x
E
所以弹性为一常数。由于这个特殊的性质，双对 数模型又称为不变弹性模型。
4、非线性回归模型的直接代换的应用举例
例3.5.1 建立中国城镇居民食品消费需求函数模型。
根据需求理论，居民对食品的消费需求函数大致为
105.1
105.4
1344.1
731.3
108.2
107.0
1992 1671.7 884.8
108.6
110.7
1459.7
809.5
114.5
109.3
1993 2110.8 1058.2
116.1
116.5
1694.7
943.1
124.6
112.2
1994 2851.3 1422.5
125.0
s：税收； r：税率
设 z1 = r， z2 = r2， 则原方程变换为
s = a + b z1+ c z2
c<0
例4.1.1 某生产企业在1981-1995年间每年的产量和 总成本如下表（表4.1.1），试用回归分析法确定其 成本函数。
表4.1.1
年份 总成本 y（元） 产量 x（件） 年份 总成本 y（元） 产量 x（件）
本章要点：
一、可化为线性模型的非线性回归模型 二、不可化为线性模型的非线性回归模型 三、案例：非线性模型的应用
第一节 可化为线性模型的非线性回归模型
对于变量之间是非线性的，但参数之间是线 性的模型，可以利用变量代换的方法将模型线性 化。下面列举在讨论经济问题时常遇到的几种非 线性函数模型，进行变量的代换化为线性模型。
首先,确定具体的函数形式
根据恩格尔定律，居民对食品的消费支出与居 民的总支出间呈幂函数的变化关系:
对数变换:
Q
AX
P 1 2 1
P 3 0
ln(Q) 0 1 ln X 2 ln P1 3 ln P0
(***)
考虑到零阶齐次性时
ln(Q) 0 1 ln( X / P0 ) 2 ln(P1 / P0 )
1981 456.8 420.4
102.5
102.7
646.1
318.3
70.7
132.1
1982 471.0 432.1
102.0
102.1
659.1
325.0
71.5
132.9
1983 505.9 464.0
102.0
103.7
672.2
337.0
75.3
137.7
1984 559.4 514.3
Variable
Coefficient
Z1
85.70278
Z2
-0.028405
Z3
4.05E-05
C
2434.652
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
运用Eviews进行回归,操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation.结果如下：
输出结果4.1.1
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 03/29/03 Time: 09:13 Sample: 1981 1995 Included observations: 15
102.7
104.0
690.4
350.5
81.0
146.7
1985 673.2 351.4
111.9
116.5
772.6
408.4
87.1
86.1
1986 799.0 418.9
107.0
107.2
826.6
437.8
96.7
95.7
1987 884.4 472.9
108.8
112.0
899.4
490.3
（4.1.4
即可利用一元线性回归分析的方法处理了。 例4.1.2 表4.1.2给出了美国1958-1969年间小时收 入指数（Y）与城市失业率（X）的数据，试用回归分 析法解释二者之间的关系。
表 4.1.2 美国小时工资指数年变化的百分比与失业率（%）
年份
y
x
年份
y
x
1958 4.2
6.8
1964
第四章 非线性 回归模型
前面我们讨论的经济问题，都是假定作为因变量的经 济变量与作为解释变量的经济变量之间存在着线性关 系。由此建立线性回归模型进行线性回归分析。这里 所说的线性是指：（1）解释变量线性。（2）参数线 性。但是，在众多的经济现象中，分析经济变量之间 的关系，根据某种经济理论和对实际经济问题的分析， 所建立的经济模型往往不符合上面的线性要求，即模 型是非线性的，称为非线性模型(Non-linear Model)。 非线性模型的参数如何进行估计，如何进行分析，是 本章所要讨论的问题。
(****)
(****)式也可看成是对（***）式施加如下约束而得
1 2 3 0
因此，对（****）式进行回归，就意味着原需 求函数满足零阶齐次性条件。
表 3.5.1 中国城镇居民消费支出（元）及价格指数
X
X1
GP
FP
XC
Q
P0
P1
(当年价) (当年价) (上年=100) (上年=100) (1990年价) (1990年价) (1990=100) (1990=100)
2.8
5.2
1959 3.5
5.5
1965
3.6
4.5
1960 3.4
5.5
1966
4.3
3.8
1961 3.0
6.7
1967
5.0
3.8
1962 3.4
5.5
1968
6.1
3.6
1963 2.8
5.7
1969
6.7
3.5
解：根据经济理论，二者之间的关系可以用双曲线模 型来表示
y
0
1
1 x
98.3
96.5
1988 1104.0 567.0
120.7
125.2
1085.5
613.8
101.7
92.4
1989 1211.0 62.5
702.2
95.9
94.0
1990 1278.9 693.8
101.3
98.8
1278.9
693.8
100.0
100.0
1991 1453.8 782.5
即
s (1368.92)(7.17)(0.01)(0.000)
t (1.79)(11.95**)(2.77*)(9.59**)
2、双曲线模型(Double-curve Model)
对于形如
y
0
1
1 x
（4.1.3）
的模型，称为双曲线模型，令
z1 则 x
原模型可化为线性形式
y 0 1z
3、半对数模型和双对数模型
把函数形式为
ln y 0 1x
（4.1.5）
y ln x (4.16)
称为半对数模型。 把函数形式为
ln y ln 0 1 ln x
称为双对数函数模型。
(4.17)
对于这两类函数可作如下代换，令
y* ln y, x* ln x
100.1
2775.5
1689.6
150.8
115.0
1998 4331.6 1926.9
1981 10000
100
1989 74100
800
1982 28600
300
1990 100000
1000
1983 19500
200
1991 133900
1200
1984 32900
400
1992 115700
1100
1985 52400
600
1993 154800
1300
1986 42400
500
Std. Error t-Statistic
4.679482 4.399607 1.008640 -0.257214
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000 0.0181 0.0000 0.1029
86353.33 60016.44 16.89509 17.08390 16497.11 0.000000
回归方程为
c 2434 85.7z1 0.03z2 0.00004z3
c 2434 85.7x 0.03x2 0.00004x3
的模型为多项式模型。令
z1 x1, z2 x22 ,L , zk xkk
原模型可化为线性形式
y 0 1z1 2 z2 L k zk u
即可利用多元线性回归分析的方法处理了。
例如，描述税收与税率关系的拉弗曲线：抛物线
s = a + b r + c r2
c<0
134.2
2118.4
1265.6
134.6
112.4
1995 3537.6 1766.0
116.8
123.6
2474.3
1564.3
143.0
112.9
1996 3919.5 1904.7
108.8
107.9
2692.0
1687.9
145.6
112.8
1997 4185.6 1942.6
103.1
一、非线性回归模型的直接代换
当解释变量是非线性的，但参数之间是线性的时， 可以利用变量直接代换的方法将模型线性化。
下面列举在讨论经济问题时，经常遇到的几种非线 性函数模型，进行变量的直接代换化为线性模型。
1、多项式函数模型 对于形如
y=0 +1x1 +2 x22 +...+k xkk +
令
z1
x
则 y 0 1z
运用Eviews进行回归, 操作步骤为：quickempty groupprocsmake equation, 输出结果如下： 输出结果如下4.1.2
Dependent Variable: Y Method: Least Squares Date: 03/29/03 Time: 09:23 Sample: 1958 1969 Included observations: 12
Prob.
0.0013 0.8022
4.066667 1.271601 2.487823 2.568640 19.35654 0.001336
所以回归方程为
y 0.2594 20.5879z
1
y 0.2594 20.5879
即
x s (1.0086)（4.6794)
t (0.2572)（4.3996**)
Variable
Coefficient
Z
20.58788
C
-0.259437
R-squared Adjusted R-squared S.E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat
0.659360 0.625296 0.778386 6.058842 -12.92694 0.639368
0.999778 0.999717 1009.303 11205609 -122.7131 2.275841
Std. Error t-Statistic
7.170616 0.010242 4.22E-06 1368.921
11.95194 -2.773303 9.593420 1.778519
Mean dependent var S.D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic)