2024-2025学年青海省西宁市西宁十四中高三(上)期中数学试卷(含答案)

2024-2025学年青海省西宁十四中高三（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z =2+3i ，则|z−1|=( )A. 10 B. 13 C. 2 D. 4
2.设集合A ={x|−x 2+8x >0}，B ={x|x =3k−1,k ∈N}，则A ∩B =( )
A. {−1,2,5}
B. {2,5,8}
C. {2,5}
D. {1,3,5}3.已知向量a ，b 满足|a |=2，|a−2b |=2，且(a−b )⊥a ，则|b |=( )A. 2
2 B. 2 C. 1 D. 2
4.某学校对100名学生的身高进行统计，得到各身高段的人数并整理如下表： 身高(cm)[150,155)[155,160)[160,165)[165,170)[170,175)[175,180]
频数10203025105
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A. 100名学生身高的中位数小于160cm
B. 100名学生中身高低于165cm 的学生所占比例超过70%
C. 100名学生身高的极差介于20cm 至30cm 之间
D. 100名学生身高的平均值介于160cm 至165cm 之间
5.已知函数f(x)=cosx−ax 在区间[0,π6]单调递增，则实数a 的取值范围是( )
A. (−∞,−12]
B. (−∞, 32]
C. [12,+∞)
D. [− 32
,+∞)6.已知抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为l ，过F 的直线与抛物线交于点A 、B ，与直线l 交于点D ，若AF =λFB(λ>1)且|BD |=4，则λ=( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法・商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关，如图是一个三角垛，最顶层有1个小球，第二层有3个，第三层有6个，第四层有10个，⋯，设第n 层有a n 个球，则1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1
a 2021的值为( )
A. 40442023
B. 20231012
C. 20222023
D. 202110118.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(1+x)=f(1−x)，且当x ∈[0,1]时，f(x)=1−e x ，若关于x 的方程f(x)=m(x +1)(m <0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为( )
A. (0,e−1)
B. (1−e 5,1−e 6)
C. (e−18,e−16)
D. (1−e 4,1−e 6)二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列结论正确的是( )
A. 已知1<a <3，−1<b <1，则−1<a +2b <5
B. 若a >0，b >0，则b a +a b ≥2
C. 函数y =x 2−mx−2，m ∈R ，只有一个零点
D. 不等式2x− x >1的解集为(1,+∞)
10.已知直线l 的一个方向向量为n =(1,− 3)，且l 经过点(−2,0)，则下列结论中正确的是( )
A. l 与直线 3x−3y +1=0垂直
B. l 的倾斜角等于150°
C. l 在y 轴上的截距为2 3
D. 圆x 2+y 2=1上存在两个点到直线l 的距离等于1
11.已知命题p ：∃x ∈R ，x−|x|>x 2；命题q ：∀α∈(π2,π),cos(π4−α)=sin(π
4+α)，则( )
A. p 是真命题
B. ￢p 是真命题
C. q 是真命题
D. ￢q 是真命题三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 4=5，且a 2，a 3，a 6成等比数列，则数列{a n }的通项公式为a n = ______．
13.对于随机事件A ，B ，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=1
4，则P(A|B)= ______．
14.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角△ABC 中，AD 为斜边BC 上的高，AB =3，AC =4，现将△ABD 沿AD 翻折成△AB′D ，使得四面体AB′CD 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+(2a+c)cosB=0．
(1)求角B的大小；
(2)若a=3，△ABC的面积为33，求边b的大小．
16.(本小题15分)
如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB//CD，PQ//CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，点E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点．
(1)求证：EF//平面CPM；
(2)求平面QPM与直线PC所成角的正弦值．
17.(本小题15分)
，记点P的轨迹为曲线C．已知动点P(x,y)与定点F(1,0)的距离和P到定直线l：x=2的距离的比是常数2
2
(1)求曲线C的标准方程；
2，求直线FM的斜(2)设点F′(−1,0)，若曲线C上两点M，N均在x轴上方，且FM//F′N，|FM|+|F′N|=8
7
率．
18.(本小题17分)
在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获利第四名，紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获利第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为p(0<p<1)，且不同对阵的结果相互独立．
(1)若p=0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①求甲获得第四名的概率；
②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=x−alnx．
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求f(x)的单调区间；
(Ⅲ)若关于x的方程x−alnx=0有两个不相等的实数根，记较小的实数根为x0，求证：(a−1)x0>a．
参考答案
1.A
2.C
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.D
9.ABD
10.AD
11.BC
12.2n−3
13.16
14.16π
15.解：(1)bcosC +(2a +c)cosB =0，根据正弦定理可得sinBcosC +(2sinA +sinC)cosB =0．∴sinBcosC +sinCcosB +2sinAcosB =0，∴sin (B +C)+2sinAcosB =0．
∵A +B +C =π，∴sinA +2sinAcosB =0，又sinA ≠0，∴cosB =−12，
又B ∈(0,π)，∴B =2π3．
(2)∵a =3,B =2π3,△ABC 的面积为3 3，∴12acsinB =3 3，即12×3csin 2π3=3 3，解得c =4．
由余弦定理，得b 2=a 2+c 2−2accosB =9+16−2×3×4×(−12)=37，∴b = 37． 16.解：(1)证明：连接EM ，因为AB//CD ，PQ//CD ，
所以AB//PQ.又因为PQ =AB ，所以四边形PQBA 为平行四边形，
又因为点E ，M 分别为AP ，BQ 的中点，所以AB//EM 且AB =EM ，
因为CD =2AB ，AB//CD ，所以CD//EM 且EM =12
CD ，
又因为点F 分别为CD 的中点，
所以CF//EM 且EM =CF ，
所以四边形MEFC 为平行四边形，
所以MC//EF ，
又因为EF⊄平面CPM ，MC ⊂平面CPM ，
所以EF//平面CPM ．
(2)因为PD ⊥平面ABCD ，AD ，CD ⊂平面ABCD ，
所以PD ⊥CD ，PD ⊥AD ，
又AD ⊥CD ，故以点D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
因为AD =CD =DP =2PQ =2AB =2，
所以D(0,0,0)，P(0,0,2)，C(0,2,0)，B(2,1,0)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)，则PQ =(0,1,0)，PM =(1,1,−1)，PC =(0,2,−2)，
设平面QPM 的法向量为m =(x,y,z)，
则{m ⊥PQ m ⊥PM ，则{m ⋅PQ =0m ⋅PM =0，即{
y =0x +y−z =0，取x =1，则y =0，z =1，所以m =(1,0,1)．
设平面QPM 与直线PC 所成角θ，
则sinθ=|cos 〈m ,PC 〉||m PC |
|m ||PC |=|1×0+0×2+1×(−2)| 12+12× 22+(−2)2=12
，所以QPM 与直线PC 所成角的正弦值为1
2．
17.解：(1)由题意，
(x−1)2+y 2|x−2|= 22，整理化简得，x 22
+y 2=1，所以曲线C 的标准方程为x 2
2+y 2=1．(2)由题意，直线FM ，F′N 的斜率都存在，设k FM =k F ′N =k ，
则直线F′N 的方程为y =k(x +1)，
分别延长NF′，MF 交曲线C 于点N′，M′，
设N(x 1,y 1)，N′(x 2,y 2)，
联立{
y =k(x +1)x 22+y 2=1，消去y 整理得(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2−2=0，则x 1+x 2=−4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2−21+2k 2
，根据对称性，可得|FM|=|F′N′|，
则|FM|+|F′N|=|NN′|= 1+k 2⋅ (x 1+x 2)2−4x 1x 2
= 1+k 2⋅ (−4k
21+2k 2)2−4×2k 2−21+2k 2=2 2(1+k 2)1+2k
2，即2 2(1+k 2)1+2k 2=87 2，解得k =± 3，
所以直线FM 的斜率为± 3．
18.解：(1)若p =0.6，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁；
①记“甲获得第四名”为事件A ，则P(A)=(1−0.6)2=0.16；
②记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X ，
则X 的所有可能取值为2，3，4，
连败两局：P(X =2)=(1−0.6)2=0.16，
X =3可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负；
P(X =3)=0.62+(1−0.6)×0.6×(1−0.6)+0.6×(1−0.6)×(1−0.6)=0.552，
P(X =4)=(1−0.6)×0.6×0.6+0.6×(1−0.6)×0.6=0.288，
故X 的分布列如下：
X
234P 0.160.5520.288故数学期望E(X)=2×0.16+3×0.552+4×0.288=3.128，
则甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望为3.128；
(2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军，
“双败淘汰制”下，甲获胜的概率P=p3+p(1−p)p2+(1−p)p3=(3−2p)p3，
在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为p2，
由(3−2p)p3−p2=p2(3p−2p2−1)=p2(2p−1)(1−p)，且0<p<1，
所以p∈(1
2
,1)时，(3−2p)p3>p2，“双败淘汰制”对甲夺冠有利；
p∈(0,1
2
)时，(3−2p)p3<p2，“单败淘汰制”对甲夺冠有利；
p=1
2
时，两种赛制甲夺冠的概率一样．
19.(Ⅰ)解：由f(x)=x−alnx，可得f′(x)=1−a
x
，
则f′(1)=1−a，又f(1)=1，
所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y−1=(1−a)(x−1)，
即y=(1−a)x+a．
(Ⅱ)解：f(x)=x−alnx的定义域为(0,+∞)，f′(x)=1−a
x =x−a
x
，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)>0，可得x>a，令f′(x)<0，可得0<x<a，
所以f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+∞)上单调递增．
(Ⅲ)证明：由(Ⅱ)可知，当a>0时，f(x)=x−alnx=0才有两个不相等的实根，且x0>0，
则要证(a−1)x0>a，即证a−1
a >1
x0
，即证1−1
a
>1
x0
，
而x0−alnx0=0，则a=
x0
lnx0
(x0≠1，否则方程不成立)，
所以即证1−lnx0
x0>1
x0
，化简得x0−lnx0−1>0，
令g(x0)=x0−lnx0−1，则g′(x0)=1−1x
0=x0−1
x0
，
当0<x0<1时，g′(x0)<0，g(x0)单调递减，当x0>1时，g′(x0)>0，g(x0)单调递增，
所以g(x0)≥g(1)=0，而x0≠1，
所以g(x0)>0，
所以(a−1)x0>a，得证．。