宁夏高二高中数学期中考试带答案解析

宁夏高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}
2.下列命题正确的是（）
A．很大的实数可以构成集合
B．自然数集N中最小的数是1
C．集合与集合是同一个集合
D．空集是任何集合的子集．
3.“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4.下列各函数中，表示同一函数的是（）
A．与y=x+1B．y=x与（a＞0且a≠1）
C．与y=x﹣1D．y=lgx与
5.有下列四个命题：
（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题；
（2）“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；
（4）“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
6.下列函数中既是奇函数，又是定义域内的减函数的是（）
A．f(x)＝xlg 2B．f(x)＝sinx C．f(x)＝－x|x|D．f(x)＝
（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题7.命题p：函数y=log
2
是真命题的为（）
A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q
8.已知函数f (x)定义域是[1，3]，则的定义域是（）
A．B．C．D．
9.已知函数，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
10.函数的图象是（）
11.设函数,则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
12.设函数的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
二、填空题
1.命题，使的否定是 .
2.已知函数，则等于_________．
3.若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．
4.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是．
三、解答题
1.命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：函数是增函数，若
为真，为假，求实数a的取值范围．
2.已知集合，集合，集合．
(A∪B)；
（1）求∁
R
（2）若，求实数m的取值范围．
3.已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．
4.已知函数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若，求函数的单调递增区间．
5.已知：函数对一切实数都有成立，且．
（1）求的值及的解析式；
（2）已知，设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，
是单调函数．如果满足使P成立的的集合记为，满足使Q成立的的集合记为，求∩（为全集）．
6.已知函数，．
（I）若有且仅有两个不同的解，求的值；
（II）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）若时，求在上的最大值．
宁夏高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.集合{x∈N|x﹣3＜2}，用列举法表示是（）
A．{1，2，3，4}B．{1，2，3，4，5}
C．{0，1，2，3，4，5}D．{0，1，2，3，4}
【答案】D
【解析】由题意得，，故选D．
【考点】集合的表示．
2.下列命题正确的是（）
A．很大的实数可以构成集合
B．自然数集N中最小的数是1
C．集合与集合是同一个集合
D．空集是任何集合的子集．
【答案】D
【解析】根据空集的特征，空集是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集，所以D是真确的，故选D．【考点】集合的概念与集合的关系．
3.“x=2”是“（x﹣2）•（x+5）=0”的（）
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由，解得或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故选B．
【考点】充分不必要条件的判定．
4.下列各函数中，表示同一函数的是（）
A．与y=x+1B．y=x与（a＞0且a≠1）
C．与y=x﹣1D．y=lgx与
【答案】B
【解析】根据同一函数的定义可知，只有两个函数的定义域与对应法则完全相同时，两个函数才是同一个函数，A 中：两函数的定义域不同；C中：两函数的对应法则不同；D中：两个函数的定义域不同，只有B中，两个函数的定义域与对应法则完全相同，是同一个函数，故选B．
【考点】函数的概念．
5.有下列四个命题：
（1）“若x2+y2=0，则xy=0”的否命题；
（2）“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；
（3）“若x≤3，则x2﹣x﹣6＞0”的否命题；
（4）“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【解析】由题意得，（1）中，“若则”的否命题为“若则”是假命题；（2）中，“若，则”是假命题，则它的逆否命题也为假命题；（3）中，因为，解得或，所原命题的逆命题为假命题，则原命题的否命题也为假命题；（4）中，“对顶角相等”的逆命题为“相等的角为对顶角”是假命题，故选A．
【考点】四种命题的关系及命题的真假判定．
6.下列函数中既是奇函数，又是定义域内的减函数的是（）
A．f(x)＝xlg 2B．f(x)＝sinx C．f(x)＝－x|x|D．f(x)＝
【答案】C
【解析】由题意得，，图象如图所示，结合图象可知，图象关于原点对称，所以函数为奇函数；且在定义域是单调递减函数，故选C．
【考点】函数的单调性与奇偶性．
（x2﹣2x）的单调增区间是[1，+∞），命题q：函数y=的值域为（0，1），下列命题7.命题p：函数y=log
2
是真命题的为（）
A．p∧q B．p∨q C．p∧（￢q）D．￢q
【答案】B
【解析】由题意得，函数满足，解得或，则函数在为单调递增函数，所以命题为假命题；因为，所以的值域为，所以命
题为真命题，根据复合命题的真值表可知，命题为真命题，故选B．
【考点】命题的真假判定．
8.已知函数f (x)定义域是[1，3]，则的定义域是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，解得，即函数的定义域为，故选A．
【考点】函数定义域的求解．
9.已知函数，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】当时，令，解得；当时，令，解得，及，所以不等式的解集为，故选C．
【考点】分段函数的应用．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用及对数函数的图象与性质、一元二次不等式的求解等知识的应用，其中正确把握分段函数的分段条件，恰当求解不等式是解答此类问题的关键，着重考查了的学生的推理与运算能力，属于基础题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，分别列出不等式，求的解集，最后取并集得到结论．
10.函数的图象是（）
【答案】A
【解析】由题意得，，所以函数为偶函数；又时，，
所以，故选A．
【考点】函数的奇偶性的应用及函数的图象．
11.设函数,则使得成立的的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由题意得，函数，所以函数为定义域上的
偶函数，且在区间为单调递增函数，所以使得，则，解得，故选A．
【考点】函数的奇偶性与单调性的应用．
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及函数的单调性的应用、函数不等式的求解，期中正确判定函数的的奇偶性，利用函数的奇偶性判定出函数在为单调递增函数，结合函数的图象列出不等式关系式是解答
本题的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及转化与化归思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题．
12.设函数的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由题意得，若，则，因为时，，所以
，则若关于轴对称，则
，即，设，作出函数的图象，要使得与的图象至少有个交点，则且满足，即，
即，则，解得，故选B．
【考点】分段函数的应用；函数的图象．
【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用及三角函数和对数函数的图象，其中解答时作出相应函数关于轴对称的图象，利用数形结合法的思想是解答的本题的关键，试题综合性强，有一定的难度，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力及数形结合思想的应用，对于此类问题的解答，平时要注意总结和积累．
二、填空题
1.命题，使的否定是 .
【答案】
【解析】由题意得，根据存在性命题的否定为全称命题，所以命题的否定为“”．
【考点】命题的否定．
2.已知函数，则等于_________．
【答案】
【解析】由题意得．
【考点】分段函数的应用．
3.若函数是幂函数，则函数（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为．【答案】
【解析】由题意得额，因为函数是幂函数，所以，所以函数，令，即，所以过定点．
【考点】幂函数的概念及对数函数的性质．
【方法点晴】本题主要考查了幂函数的概念及对数函数的图象与性质，其中正确把握幂函数的概念和对数函数的图象是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力和函数图象的应用，属于基础题，本题的解答中，根据幂函数的概念，可求得，得到函数的图象，再利用对数函数的图象与性质，即可判定过定点．
4.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且在[﹣1，0]上是增函数，给出下列关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）关于直线x=1对称；
③f（x）在[0，1]上是增函数；
④f（x）在[1，2]上是减函数；
⑤f（2）=f（0），
其中正确的序号是．
【答案】①②⑤
【解析】由题意得，因为定义域上的偶函数满足，所以
，所以函数是周期为的函数，所以①是正确的；又因为
，所以的图象关于对称，所以是正确的；又因为是偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为函数的对称轴为，所以在上为增
函数，，所以③④是错误的，⑤是正确的，故选①②⑤．
【考点】函数的周期性；函数的单调性及单调区间．
【方法点晴】本题主要考查了函数的奇偶性的应用、函数的周期性的判定及函数的单调性及其单调区间，其中涉及到函数的单调性的应用，特别是对于偶函数和周期函数是非常重要的考点，需要理解和记忆，着重考查了学生的推理与运算能力，本题的解答中，首先根据关系式推得，得到函数的周期性，在单
调性和奇偶性得到函数的相应性质，即可得到结论．
三、解答题
1.命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0，对一切x∈R恒成立，命题q：函数是增函数，若
为真，为假，求实数a的取值范围．
【答案】或．
【解析】根据不等式的恒成立的等价条件及秘书的单调性粉笔求得命题为真时的取值范围，在利用复合命题
真值表判断得中一真一假，分类讨论，即可得到结果．
试题解析：设，由于关于x的不等式对一切恒成立，所以函数g(x)的图象
开口向上且与x轴没有交点，
故Δ＝，∴
又∵函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，∴，∴．
由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假．
若P真q假，则∴；
若p假q真，则∴；
综上可知，所求实数a的取值范围为或．
【考点】复合命题的真假及其应用．
2.已知集合，集合，集合．
(A∪B)；
（1）求∁
R
（2）若，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）根据不等式的求解，先求出集合，再根据集合的运算，即可求解结果；（2）根据，分两类讨论，分别求解实数的取值范围，最后取并集．
试题解析：（1）
∴又
（2）∵∴．
①,,∴．
②,则或．∴．
综上，或
【考点】不等式的求解；集合的运算．
3.已知二次函数y=f（x），当x=2时，函数f（x）取最小值﹣1，且f（1）+f（4）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）﹣kx在区间（1，4）上无最小值，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意可以得到该二次函数的图象的顶点坐标为，设出函数的解析式，集合，即可求解的解析式；（2）若在区间上不单调，则函数的图象的对称轴，满足，即可求解的取值范围．
试题解析：（1）解法1：∵二次函数y=f（x），当x=2时函数取最小值﹣1，
∴二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），
设解析式为y=a（x﹣2）2﹣1，（a＞0），
∵f（1）+f（4）=a﹣1+4a﹣1=5a﹣2=3，
解得：a=1，
故y=（x﹣2）2﹣1=y=x2﹣4x+3；
解法2：:由题意可设二次函数的解析式为
则
（2）∵g（x）=f（x）﹣kx=x2﹣（k+4）x+3在区间（1，4）上无最小值，
故对称轴x=≥4或≤1，
解得：x≥4或x≤﹣2，
即实数k的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[4，+∞）．
【考点】二次函数的性质；函数的单调性的判定与证明．
4.已知函数．
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若，求函数的单调递增区间．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用函数为偶函数的定义，列出等式，即可求解的值；（2）当时，可化简得到分段函数的
解析式，即可求解函数的单调递增区间．
试题解析：（1）任取，则有恒成立，
即恒成立
恒成立，恒成立
说明：若用特殊值求解也给满分．如
（2）当时，
由函数的图像可知，函数的单调递增区间为．
说明：函数的单调递增区间写成，
【考点】函数的奇偶性及函数的单调性的判定与应用．
5.已知：函数对一切实数都有成立，且．
（1）求的值及的解析式；
（2）已知，设P：当时，不等式恒成立；Q：当时，
是单调函数．如果满足使P成立的的集合记为，满足使Q成立的的集合记为，求∩（为全集）．
【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）对于抽象函数满足的函数值关系的立即和把握是解答该问题的关键，对自变量适当的赋值就可以求
解此类问题，结合条件可以分别赋，即可求出的值；在此基础上，赋值，即可求解函数的
解析式；（2）利用（1）中求得的函数解析式，集合恒成立的求解，转化为相应二次函数的最值问题求出集合，利用二次函数的单调性求解出集合，即可得到运算结果．
试题解析：（1）令
令
（2）由恒成立对任意恒成立，而的最
小值为1 ，
由为时的单调函数，
或
【考点】抽象函数及其应用，集合的运算．
【方法点晴】本题主要考查了抽象函数的函数值的求解、函数的解析式的求法，以及集合的运算，其中抽象函数恰当赋值思想和熟练掌握恒成立问题的求解方法是解答本题的关键，着重考查了学生转化与化归思想和推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中利用函数解析式，集合恒成立的求解，转化为相应二次函数的最值问题求出集合，利用二次函数的单调性求解出集合是解得本题的一个难点．
6.已知函数，．
（I）若有且仅有两个不同的解，求的值；
（II）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（III）若时，求在上的最大值．
【答案】（I）或；（II）；（III）．
【解析】（I）根据绝对值的意义，列出方程，解方程即可求解结果；（II）若不等式恒成立，利用参
数分离法进行转化为求函数的最值即可求解；（III）求出函数的解析式，讨论对称性以及的取值范围，进
行求解即可．
试题解析：（I），∴或
∴或
（II）
①若，；
②若，则
，
∴
（III）
①若，即，则
所以，在上递增，上递增，上递减，
所以，
②若，即，则
所以，在递减，递增，递增，递减，递增
又，，
所以，当时，
当时，
③若，即，则
所以，在上递增，上递增，上递减，上递减，
又，，
由于，所以
综上，
【考点】函数图象与性质及其应用；函数的恒成立问题．
【方法点晴】本题主要考查了函数的图象与性质及其应用、函数的恒成立问题的求解，其中利用参数分离法进行转化求解函数的最值解得恒成立问题是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想和转化与化归思想的应用，本题（3）的解答中求出函数的解析式，讨论对称性以及的取值范围是解答本题的一个难点．。