向量数量积专题(总)

平面向量的数量积
【知识点精讲】
一、平面向量的数量积
（1）已知两个非零向量a 和b ，记为OA a OB b ==，
，则)0(πθθ≤≤=∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>，并规定[],0,a b π<>∈。

如果a 与b 的夹角是2
π
，就称a 与b 垂直，记为.a b ⊥
（2）cos ,a b a b <>叫做向量a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即b a ⋅
cos ,a b a b <>.
规定：零向量与任一向量的数量积为0. 两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是0.a b ⋅= 两个非零向量a 与b 平行的充要条件是.a b a b ⋅=± 二、平面向量数量积的几何意义
数量积a b ⋅等于a 的长度a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，即cos a b a b θ⋅=（b 在a 方向上的投影为cos a b b a
θ⋅=）；a 在b 方向上的投影为cos .a b a b
θ⋅=
三、平面向量数量积的重要性质 性质1 cos .e a a e a θ⋅=⋅= 性质2 0.a b a b ⊥⇔⋅=
性质3 当a 与b 同向时，a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2
a a a a ⋅==或
2
.a a =
性质4 cos (00)a b a b a b
θ⋅=
≠≠且
性质5 a b a b ⋅≤
注：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性
质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题。

四、平面向量数量积满足的运算律 （1）a b b a ⋅=⋅（交换律）；
（2）()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅（λ为实数）；
（3）()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).
数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律()()
a b c a b c ⋅≠⋅，不可约分
a b a c ⋅=⋅不能得到b c =。

五、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量()()1122,,,,a x y b x y =则1212a b x x y y ⋅=+，由此得到：
（1）若(),,a x y =则2
2
22
a a x y ==+或2a x y =+
（2）设()(),,,,2211
y x B y x A 则B A ,()();221212y y x x -+-=
（3）设
()()1122,,,,a x y b x y ==θ是
a
与
b
的
夹
角
，
则
.cos 2
2
222
1
212
121y x y x y y x x +++=
θ
①非零向量,a b ，a b ⊥的充要条件是.02121=+y y x x ②由1cos 2
2
222
1
2
12121≤+++=
y x y x y y x x θ得()()()
.2
22
22
12
12
2121y x y x y y x x ++≤+
六、向量中的易错点
（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且.b a b a ≤⋅
（2）当0a ≠时，由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量，这是因为任一与a 垂直的非零向量
b 都有0=⋅b a 。

当0a ≠且a b a c ⋅=⋅时，也不能推出一定有b c =，当b 是与a 垂直的非零向量，c 是另一与a 垂直的非零向量时，有a b a c ⋅=⋅，但.b c ≠
（3）数量积不满足结合律，即()()
a b c b c a ⋅≠⋅，这是因为()
a b c ⋅是一个与c 共线的向量，而()b c a ⋅是一个与a 共线的向量，而a 与c 不一定共线，所以()
a b c ⋅不一定等于
()b c a ⋅。

即凡有数量积的结合律形成的选项，一般都是错误选项。

（4）非零向量夹角为锐角（或钝角），当且仅当0a b ⋅>且()0a b λλ≠>（或0a b ⋅<且()0a b λλ≠<）.
【题型归纳】
一、平面向量的数量积
【例1】（1）在ABC Rt ∆中，，，4900
==∠AC C 则=⋅AC AB ( ).
16.-A 8.-B 8.C 16.D
（2）（2012北京理13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则CB DE ⋅的值为 ；DC DE ⋅的最大值为 。

（3）在ABC ∆中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上且满足PM AP 2=，则
()
PC PB PA +⋅等于（ ）.
94.-A 3
4
.-B 8.C 16.D
【变式1】如图5-27所示，在平行四边形ABCD 中，BD AP ⊥，垂足为P ，且3=AP ,则
=⋅AC AP .
【变式2】在ABC ∆中，321===AC BC AB ，，，若G 为ABC ∆的重心，则
=⋅AC AG .
【例2】如图528-所示，在矩形ABCD 中，AB =，2BC =，点E 为BC 的中点，点
F 在边CD 上，若2AB AF ⋅=AE BF ⋅的值是 .
【变式1】如图530-所示，在ABC ∆中，°
120BAC ∠=，2AB =，1AC =，D 是边BC 上一点，2DC BD =，则AD BC ⋅= .
【变式2】如图531-所示，在ABC ∆中，AD AB ⊥，3BC BD =，1AD =，则
AC AD ⋅= .
【变式3】已知ABC ∆为等边三角形，2AB =，设点,P Q 满足AP AB λ=，
(1)AQ AC λ=-，R λ∈，若3
2
BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）。

1
.2
A 1.2
B ± 1.2
C ± 3.2
D -±
【例3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，1,2,2a b c ===
，则
a b b c a c ⋅+⋅+⋅= .
【变式1】在ABC ∆中，若3,4,6AB BC AC ===，则
AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅= .
【变式2】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且a b ⊥，1,2a b ==，则c = .
【变式3】已知向量,,a b c 满足0a b c ++=，且(),a b c a b -⊥⊥若1a =，则
222
a b c ++= .
【例4】设,,a b c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为（ ）
.2A - 2B .1C - .1D
【变式1】已知,a b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,则c 的最大值是（ ）.
.1A .2B C 2
D 【变式2】（2012安徽理14）若平面向量,a b 满足23a b -≤，则,a b 的最小值是 .
【例5】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3,10AM BC ==，则AB AC ⋅= .
二、平面向量的夹角
求夹角，用数量积，由cos a b a b θ⋅=⋅，得
21
cos a b a b
x θ⋅=
=
，进而求得向量,a b 夹角.
【例1】已知向量(1,3),(2,0)a b ==-,则a 与b 则的夹角是 .
【例2】已知,a b 是非零向量且满足(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥，则a 与b 则的夹角是（ ）. .6
A π
.
3
B π
2.
3C π 5.6
D π
【例3】已知向量,,a b c 满足1,2,,a b c a b c a ===+⊥，则a 与b 则的夹角等于（ ）.
.30A ︒ .60B ︒ .120C ︒ .90D ︒
【变式1】若,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则a 与a b +则的夹角为 .
【变式2】若平面向量,αβ满足1,1αβ=≤，且以向量,αβ为邻边的平行四边形的面积为1
2
，则α与β的夹角θ的取值范围是 .
【例4】已知2,1a b =
=，a 与b 的夹角为45︒，求使向量a b λ+与a b λ+的夹角为
锐角的λ的取值范围.
【变式1】设两个向量12,e e ，满足122,1e e ==，1e 与2e 的夹角为
3
π
，若向量1227te e +与12e te +的夹角为钝角，求实数t 的范围.
【变式2】已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ,有下列四个命题：
12:10,3p a b θπ⎡⎫
+>⇔∈⎪⎢⎣⎭；
22:1,3p a b θππ⎛⎤
+>⇔∈ ⎥⎝⎦；
3:10,3p a b πθ⎡⎫
->⇔∈⎪⎢⎣⎭；
4:1,3p a b πθπ⎛⎤
->⇔∈ ⎥⎝⎦
.
其中的真命题是（ ）.
12.,A p p 13
.,B p p
23
C.,p p
24
D.,p p
【变式3】若向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且()a a
c a b a b
⋅=-⋅⋅，则向量a 与c 的夹角为（ ）.
.0A .
6B π
C.
3π
D.
2π
三、平面向量的模长
求模长，用平方，2
.a a =
【例1】已知5a b ==，向量a 与b 的夹角为3
π
，求,a b a b +-.
【变式1】已知向量,a b 满足1,2a b ==，a 与b 的夹角为60︒，则
_________a b -=.
【变式2】已知向量,a b 满足1,2a b ==，2a b -=，则a b +等于（ ）.
.1A
【变式3】在ABC ∆中，已知3,4,60AB BC ABC ==∠=︒，求AC .
【例2】已知，向量a 与b 的夹角为120︒，3,13a a b =+=,则b 等于（ ）.
.5A .4B C.3 D.1
【变式1】已知向量,a b 的夹角为45︒，且1,210a a b =-=，则_________b =.
【变式2】已知2a b ==，()()
22a b a b +⋅-=-则a 与b 的夹角为_________，
【变式3】设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，2
16BC =，
AB AC AB AC +=-则AM =（ ）
.8A .4B C.2 D.1
【例3】已知平面向量()
,0,αβααβ≠≠，满足1β=，且β与βα-的夹角为120︒，则α的取值范围是_________.
【变式1】若,,a b c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()
0a c b c -⋅-≤，则a b c +-的最大值为（ ）.
1 .1
B
D.2
【变式2】已知,a b 是单位向量，0a b ⋅=，若向量c 满足1c a b --=，则c 的取值范围是（ ）.
.1A ⎤⎦
.2B ⎤⎦
C.1⎡⎤⎣⎦
D.2⎡⎤+⎣⎦
【例4】在平面上，12,AB AB ⊥121OB OB ==，12AP AB AB =+.若1
2
OP <
，则OA 的取值范围是（
）.
.0,2A ⎛
⎝⎦
.22B ⎛
⎝⎦
C.2⎛
⎝
D.2⎛ ⎝
【变式1】在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则
22
2
PA PB PC
+=（ ）
.2A .4B C.5 D.10
加强练习：
例1：在ABC 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=，则OA = _____
例2：若,,a b c 均为单位向量，且()()
0,0a b a c b c ⋅=-⋅-≤，则a b c +-的最大值为（
） A. 1 B. 1
C. D. 2
例3：平面上的向量,MA MB 满足2
4MA MB +=，且0MA MB ⋅=，若
12
33
MC MA MB =+，则MC 的最小值为___________
例4：已知平面向量,αβ满足23αβ-=，且αβ+与2αβ-的夹角为150，则
()
()3
2
t t R αββ+-∈的最小值是（ ）
A.
34 B. 33 C. 32
D. 3 例5：已知平面向量,OA OB 的夹角2,33ππθ⎡⎤
∈⎢
⎥⎣⎦
，且3OA OB ==，若12
33
OP OA OB =+，则OP 的取值范围是__________
例6：已知()
2,6,2a b a b a ==⋅-=，R λ∈，则a b λ-的最小值是（ ） A. 4 B. 23 C. 2 D.
3
例7：已知直角梯形ABCD 中，AD ∥,90,2,1BC ADC AD BC ∠===，P 为腰CD 上的动点，则23PA PB +的最小值为__________
例8：如图，在边长为1的正三角形ABC 中，,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足
,AE mAB AF n AC ==，其中(),0,1,1m n m n ∈+=，,M N 分别是,EF BC 的中点，则
MN 的最小值为（ ）
A. 24
B. 33
C. 34
D. 53
N
M
A
B
C
E
F
例9：已知OA 与OB 的夹角为θ，=2OA ，=1OB ，且OP tOA =，
1OQ t OB =-（）, PQ 在0t 时取到最小值。

当01
05
t <<时，θ的取值范围是（ ） A.0,
3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 2,
23ππ
⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 20,3
π
⎛⎫
⎪⎝⎭
类型四 平面向量与三角函数结合题
1.已知向量(2sin ,cos )4
2
x x m =
，(cos 4
x n =，设函数()f x m n =⋅ ⑴求函数()f x 的解析式 （2）求()f x 的最小正周期； （3）若0x ≤≤π，求()f x 的最大值和最小值． 2. 已知
32
2
π
π
α<<
，A 、B 、C 在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为 (3,0)A 、(0,3)B 、(cos ,sin )C αα. (1)若||||AC BC =，求角α的值；
(2)当1AC BC ⋅=-时，求22sin sin(2)
1tan ααα
++的值.
3. 已知的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别是a 、b 、c ，平面向量
，平面向量 （1）如果求a 的值；
（2）若请判断的形状.
ABC ∆))sin(,1(A B m -=).1),2sin((sin A C n -=,3,3
,2=∆=
=S ABC C c 的面积且π
,n m ⊥ABC ∆
4. 已知向量)cos 2,(sin ),sin ,2(2x x b x a ==,函数b a x f ⋅=)(
(1)求)(x f 的周期和单调增区间；
(2)若在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别是c b a ,,，C b B c a cos cos )2(=-，求)(A f 的取值范围。

有效训练题
1.下列命题中真命题的个数为（ ）.
①若0a b ⋅=,则a b ⊥；
②若a b b c ⋅=⋅且0b ≠，则a c =；
③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；
④()222a b a b ⋅=⋅.
.1A .2B C.3 D.4
2.已知向量(1,1),2(4,2)a a b =+=，则向量,a b 的夹角为（ ）.
.6A π .4B π C.3π D.2π
3.已知向量(1,2),(2,3)a b ==-.向量c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+,则c =（
）. 7
7
.(,)93A 7
7
.(,)39B - 7
7C.(,)39 77
D.(,)
93--
4.已知向量,a b 满足0a b ⋅=，1,2,a b ==则2a b -=（ ）.
.0A B C.4 D.8
5.在直角梯形中ABCD ，已知//,,4,2,4BC AD AB AD AB BC AD ⊥===，若P 为CD 中点，则PA PB ⋅的值为（ ）.
.5A - .4B - C.4 D.8
6.已知向量,a b 满足2B =，则a 与b 的夹角为60︒，则b 在a 上的投影是________.
7.已知(1,2),(1,1)a b ==，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是_______.
8.已知向量()()()3,,1,0,1,3k c b a =
，若b a 2+与c 垂直，则=k 。