圆心角、弦、弦心距、弧关系定理
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A O·
B
把顶
点在
圆心
·
的角
A
O1
叫做O2
单击添加文本
圆心 O
单击添加文本
点击此处添加正文，文字是您 思想的提炼。
点击此处添加正文，文字是您
角. B 思想的提炼。
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
圆的对称性及特性
圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来 的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 O A
综合能力训练
【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴AACB＝AADC， ∴AB·AD＝AC2，则 AB＝4，所以 BD＝AB－AD＝3.
如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连结 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC. (2)若 AB＝4，AD＝3 3，AE＝3，求 AF 的长．
A
E
B
O
D
F C
如图, 在⊙O中， ,⌒A∠BA=⌒CCBB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=⌒CD
∴AB=AC．
O
B
C
又∠ACB=60°
∴AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
如图，AB是⊙O 的直径，BC⌒=CD⌒=D⌒E，∠COD=35°， 求∠AOE 的度数．
A B
O
A D
B
B’ D’ A’
O’
• 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等.
A
B’ D’
A
D
A’
D
B
O
或B
O
和
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④OD=O′D′
B’ D’ A’
OO’
结论
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
圆心角
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′, 你有什么发现？.
说一说你的理由.
B’ A
B O
A
A’
D
B
⌒⌒
AB=A′B′
B’ D’ A’
O
AB=A′B′
OD=O′D′
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心 角和∠AOB和∠A′O′B′
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
（2）如果 ⌒AB=⌒，C那D么________A__B_，=C__D______∠_A__O_B_=，∠COD ． OE=OF （3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B_=__C_D____，_A⌒__B__=⌒__C_D_ , O．E=OF （4）如果OE=OF，那么_A_B__=_C__D____，____⌒A_B__=⌒__C_，D ∠AOB=．∠COD
2.如图：∆ADE ∽ ∆ABC，AD=4cm,AE=3cm, AC=8cm,那么这两个三角形的相似比是（ ）B
3 （Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
1
3
（B） 2 （C） 8
（D）2
(第 3 题) 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果BE＝2，
BC 3 那么BF ＝2.
FD 3
4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得△ABC∽△ADE.
(第 4 题) 答案不唯一，如∠B＝∠D 或∠C＝∠AED 或AADB＝AACE等．
如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD＝∠ABC，若 AC＝2，AD＝1， 则 DB＝________.
• 在同圆或等圆中 ,如果①两个圆心角 ,②两条弧,③两条
弦 , ④ 两条弦心距中 , 有一组量相等 , 那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.
A
B’ D’
A
D
A’
D
B’ D’ A’
B O
或B
O
和
OO’
③AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′ ②A⌒B=A⌒′B′
④ OD=O′D′
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距． （1）如果AB=CD，那么_⌒A_B__=⌒__C__D___，__∠_A__O__B_=__∠__C_O，D OE=．OF
解：
E
D
∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE
C
∴ ∠BOD=∠COD=∠DOE=35°
A O
B
∴ ∠AOE=180°-3×35° =75°
⌒⌒
如图，已知AB、CD为⊙O的两条 弦， AD =BC, 求证： AB＝CD。
C
B O
D
1.如图（６）， △ＡＢＣ中， ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，
则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=___１___：___３：５
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B ＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD. 在 Rt△ADE 中，DE＝ AD2＋AE2＝ 3 32＋32＝6.∵△ADF∽△DEC，∴ADDE＝CADF ，∴3 63 ＝A4F，∴AF＝2 3.
B
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圆心
·
的角
A
O1
叫做O2
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圆心 O
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角. B 思想的提炼。
如图中所示， ∠AOB就是一个圆心角。
圆的对称性及特性
圆是轴对称图形,圆的对称轴是任意一条经过圆心的 直线,它有无数条对称轴. 圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心. 用旋转的方法可以得到: 一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来 的图形重合. 这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性 O A
综合能力训练
【解析】∵∠ACD＝∠ABC，∠BAC＝∠CAD，∴△ADC∽△ACB，∴AACB＝AADC， ∴AB·AD＝AC2，则 AB＝4，所以 BD＝AB－AD＝3.
如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE⊥BC，垂足为 E，连结 DE，F 为线段 DE 上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC. (2)若 AB＝4，AD＝3 3，AE＝3，求 AF 的长．
A
E
B
O
D
F C
如图, 在⊙O中， ,⌒A∠BA=⌒CCBB=60°.
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明： ∵A⌒B=⌒CD
∴AB=AC．
O
B
C
又∠ACB=60°
∴AB=BC=CA. ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
如图，AB是⊙O 的直径，BC⌒=CD⌒=D⌒E，∠COD=35°， 求∠AOE 的度数．
A B
O
A D
B
B’ D’ A’
O’
• 在同圆或等圆中 , 相等的圆心角所对的弧相等 , 所对的弦
相等,所对的弦的弦心距相等.
A
B’ D’
A
D
A’
D
B
O
或B
O
和
由条件: ①∠AOB=∠A′O′B′
⌒⌒
②AB=A′B′ ③AB=A′B′ ④OD=O′D′
B’ D’ A’
OO’
结论
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
圆心角
如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′OB′, 你有什么发现？.
说一说你的理由.
B’ A
B O
A
A’
D
B
⌒⌒
AB=A′B′
B’ D’ A’
O
AB=A′B′
OD=O′D′
• 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心 角和∠AOB和∠A′O′B′
你又能发现那些等量关系?说一说你的理由.
（2）如果 ⌒AB=⌒，C那D么________A__B_，=C__D______∠_A__O_B_=，∠COD ． OE=OF （3）如果∠AOB=∠COD，那么_A_B_=__C_D____，_A⌒__B__=⌒__C_D_ , O．E=OF （4）如果OE=OF，那么_A_B__=_C__D____，____⌒A_B__=⌒__C_，D ∠AOB=．∠COD
2.如图：∆ADE ∽ ∆ABC，AD=4cm,AE=3cm, AC=8cm,那么这两个三角形的相似比是（ ）B
3 （Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
1
3
（B） 2 （C） 8
（D）2
(第 3 题) 3．如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 上的点，AE 交 BD 于点 F，如果BE＝2，
BC 3 那么BF ＝2.
FD 3
4．如图，∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：________，使得△ABC∽△ADE.
(第 4 题) 答案不唯一，如∠B＝∠D 或∠C＝∠AED 或AADB＝AACE等．
如图，△ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足∠ACD＝∠ABC，若 AC＝2，AD＝1， 则 DB＝________.
• 在同圆或等圆中 ,如果①两个圆心角 ,②两条弧,③两条
弦 , ④ 两条弦心距中 , 有一组量相等 , 那么它们所对应的
其余各组量都分别相等.
A
B’ D’
A
D
A’
D
B’ D’ A’
B O
或B
O
和
OO’
③AB=A′B′
①∠AOB=∠A′O′B′ ②A⌒B=A⌒′B′
④ OD=O′D′
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，OE、OF为AB、CD的弦心距． （1）如果AB=CD，那么_⌒A_B__=⌒__C__D___，__∠_A__O__B_=__∠__C_O，D OE=．OF
解：
E
D
∵ B⌒C=C⌒D=⌒DE
C
∴ ∠BOD=∠COD=∠DOE=35°
A O
B
∴ ∠AOE=180°-3×35° =75°
⌒⌒
如图，已知AB、CD为⊙O的两条 弦， AD =BC, 求证： AB＝CD。
C
B O
D
1.如图（６）， △ＡＢＣ中， ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，
则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=___１___：___３：５
(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD.∴∠ADF＝∠CED，∠B ＋∠C＝180°.
∵∠AFE＋∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC. (2)解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4.又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD. 在 Rt△ADE 中，DE＝ AD2＋AE2＝ 3 32＋32＝6.∵△ADF∽△DEC，∴ADDE＝CADF ，∴3 63 ＝A4F，∴AF＝2 3.