《同步学案》北师七年级(上册)5.6应用一元一次方程——追赶小明

5.6应用一元一次方程——追赶小明
1.会用“线段图”分析行程问题中的数量关系．
2.掌握行程问题中常用的等量关系，会用来列方程解决实际问题．
3.重难点：用“线段图”寻找实际问题中的等量关系列方程．
知识导入
小明的爸爸在追小明呢！
追击的过程有个什么样的等量关系呢？
一起琢磨琢磨吧！
知识讲解
知识点一：画“线段图”分析行程问题中的数量关系
例1小明每天早上要在7：50之前赶到距家1000m的学校上学．一天，小明以80m/min 的速度出发，5min后，小明的爸爸发现他忘了带语文书．于是，爸爸立即以180m/min的速度去追小明，并且在途中追上了他．
（1）爸爸追上小明用了多长时间？
（2）追上小明时，距离学校还有多远？
分析当爸爸追上小明时，两人所行路程相等．在解决这个问题时，要抓住这个等量关系．
解析（1）设爸爸追上小明用了xmin，则在此期间小明走过的路程为80xm，小明的爸爸走过的路程为180xm，画出线段图如下：
根据题意，得 180x=80x+80×5．
化简，得 100x=400，
x=4．
因此，爸爸追上小明用了4min．
（2） 180×4=720（m），
1000－720=280（m）．
所以，追上小明时，距离学校还有280m．
点拨行程问题较多借助线段图来分析已知量与未知量之间的关系．把问题中各段路程用代数式在线段图表示出来，可以直观地发现它们之间的等量关系，从而建立方程求解．行程问题中三个基本的量之间的关系：路程=时间×速度．
知识点二：行程问题中的常用相等关系
例2 育红学校七年级学生步行到郊外旅行．七（1）班的学生组成前队，步行速度为4km/h，七（2）班的学生组成后队，速度为6km/h．前队出发1h后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不断地来回进行联络，他骑车的速度为12km/h．根据上面的事实解答下列问题：
（1）后队追上前队用了多少时间？
（2）联络员第一次追上前队后返回遇上后队用了多少时间？
分析后队追前队与联络员第一次追上前队的过程都是追及问题，联络员返回后队的过程则是相遇问题，均可用线段图表示，从线段图中可以发现不同的行程问题的相等关系的形式也有所不同．
解析（1）设后队追上前队用了xh的时间，则在此期间七（1）班走过的路程是4xkm,七（2）走过的路程是6xkm．画线段图如下：
1×44x
6x
根据题意得 6x=4x+4．
解得 x=2．
所以后队追上前队用了2h．
（2）设联络员第一次追上前队所用的时间为xh．画出线段图如下：
1×44x
12x
根据题意得
12x=4x+4．
解得 x=
12
． 所以联络员第一次追上前队所用的时间为半小时．
设联络员追上前队后返回遇到后队所用的时间为yh ，则在此期间后队走了6ykm ，联络员走过的路程是12ykm ．
而联络员返回时与后队相距12×12－6×1
2
=3（km ）． 画出线段图如下：
根据题意得 12y+6y=3． 解得 y=
16
． 即联络员第一次追上前队后返回遇上后队用了10分钟． 点拨 追及问题的相等关系：路程差=距离 相遇问题的相等关系：路程和=距离 知识探究
1．行程问题中的一题多解
行程问题并不总是利用线段图来求解，有时也可以结合表格法来发现相等关系．线段图中各条线段一般表示题目中的某段路程，利用线段图找到的相等关系一般是各段路程之间的关系．如果利用时间或速度的等量关系列方程，则用表格法比较合适．
例3 甲、乙两人骑自行车同时从相距80km 的两地出发，相向而行，2h 后相遇，已知甲每小时比乙多走2.4km ，求甲、乙每人每小时行多少千米？
解析 解法一：设乙每小时行xkm ，则甲每小时行（x+2.4）km ． 画线段图如下：
6y
12y
3
2x
2（x+2.4）
80
根据题意得 2x+2（x+2.4）=80．
解得 x=18.8．
此时x+2.4=18.8+2.4=21.2．
所以甲每小时行21.2km，乙每小时行18.8km．
解法二：设甲出发到相遇行了xkm，则乙从出发到相遇行了（80－x）km．列表如下：
x 2=
80x
2
-
+2.4．
解得 x=42.4.
此时x
2
=
42.4
2
=21.2，
80x
2
-
=18.8．
所以甲的速度为每小时21.2km，乙的速度为每小时18.8km．
点拨第二种解法用了间接未知数法设定未知数，列方程及求解过程也没有解法一简明，所以解行程问题，线段图法仍是首选．但我们不要忽视第二种解法提供的新思路，这有助于我们从不同角度认识实际问题中的相等关系．
2.顺水逆水问题
船在水中行驶时，有两个常用的数量关系：
①顺水船速=静水船速+水速；
②逆水船速=静水船速－水速．
这两个数量关系常用来列代数式．
例4 轮船航行于两个码头之间，逆水需10小时，顺水需6小时．已知该船在静水中
每小时航行12千米，求水流速度和两码头间的距离．
解析解：设水流的速度为xkm/h，则顺水时的速度为（12+x）km/h，逆水时的速度为（12－x）km/h．
根据题意得： 6（12+x）=10（12－x）．
解得 x=3．
此时6（12+x）=6×(12+3)=90．
所以水流的速度为3km/h，两码头间的距离为90km．
3．上坡下坡问题
根据生活常识，我们知道，经过一段道路，如果途中有上下坡，则往返的过程中必有这样的数量关系：
来时的上坡路程=返时的下坡路程；
来时的下坡路程=返时的上坡路程．
例5小华从A到B，先下坡再上坡共用71
6
小时，如果两地相距 24千米，下坡每小时
行4千米，上坡每小时行3千米，那么原路返回要多少小时？
解析解法一：设从A到B时上坡用时x小时，则下坡用时（71
6
－x）小时．
画出线段图如下：
列方程得 3x+4（71
6
－x ）=24．
解得 x=14
3
．
则从A到B的上坡路程为3x=3×14
3
=14（千米），下坡路程为24－14=10（千米）．
由于从B到A时的上坡和下坡的路程正好与从A到B时相反，可知返回时上坡路为10千米，下坡路为14千米．
则返回时所用时间为10
3
+
14
4
=6
5
6
（小时）．
解法二：设小华从A到B的上坡路程为x千米，则下坡路程为24－x千米．将从A到B途中上下坡的路程、速度、时间列表如下：
路程速度时间
从A到B上坡x 3 x 3
从A到B下坡24－x 4 24x 4
-
根据“从A到B，先下坡再上坡共用71
6
小时”列方程得
x 3+
24x
4
-
=7
1
6
．
解得 x=14．3x
4（7－x）
24
A B
此时24－x=24-14=10（千米）．
所以从A 到B 时上坡路为14千米，下坡路为10千米．
由于从B 到A 时的上坡和下坡的路程正好与从A 到B 时相反，可知返回时上坡路为10千米，下坡路为14千米．
则返回时所用时间为103+144
=65
6（小时）．
易错辨析
题1 小明家距离学校600m ，从家到学校时的步行速度为3m/s ，放学回家时的步行速度为2m/s ．则小明上学和放学的平均步行速度为______.
错解 因（3+2）÷2=2.5，所以小明上学和放学的平均步行速度为2.5m/s ．故应填上“2.5m/s ”．
辨析 这里计算的是两个速度的平均数，而不是平均速度．平均速度的算法公式是：
=
所有路程的平均速度些路程的和
总长
经过这时间总．
也就是说，必须先确定所有路程的总长，再确定经过这些路程的时间总和，将两者相除所得的商即为平均速度．
正解 小明上学与放学的路程总长为600+600=1200（m ）． 小明上学到校所用时间=600÷3=200（s ）． 小明放学到家所用时间=600÷2=300（s ）． 小明上学与放学所用时间之和=200+300=500（s ）．
小明上学和放学的平均步行速度为1200÷500=2.4（m/s ）． 所以应填上“2.4m/s ”．
1. 一列长a 米的队伍以每分钟 80米的速度向前行进．一人经过这支队伍旁边，用1分钟时间从队尾走到队头．此人在这1分钟内走过的路程是（ ） A ．a 米 B ．80米 C ．（a+80）米 D ．无法确定
2. 某船顺流而下的速度是20km/h ，逆流航行的速度为16km/h ，则在静水中的速度是（ ）km/h ．
A ．2
B ．4
C ．18
D ．36
3. 甲的速度是5km/h，乙的速度是6km/s．两人分别从A、B两地同时出发，相向而行．若经过xh相遇，则A、B的距离是________km；若经过xh还差10km相遇，则A、B的距离是________km．
4. 某行军纵队以7千米/时的速度行进，队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队伍前送一封信，送交后又立即返回队尾，共用13.2分钟，则这支队伍的长度为________千米．
5. 敌我两军相距25km，敌军以5km/h的速度逃跑，我军同时以8km/h的速度追击，并在相距1km处发生战斗，问战斗是在开始追击后几小时发生的．
例甲、乙两人在一环城公路上骑自行车，环形公路长为42km，甲、乙两人的速度分别为21 km/h、14 km/h．
（1）如果两人从公路的同一地点同时反向出发，那么经几小时后,两人首次相遇?
（2）如果两人从公路的同一地点同时同向出发，那么出发后经几小时两人第二次相遇?
分析这是环形路线的行程问题，当同向运动时属追及问题，反向运动时属相遇问题．解析（1）设经过xh两人首次相遇，则这段时间甲经过的路程为21xkm，乙经过的路程为14km．
根据题意可知两人首次相遇时路程之和=环形路线一周的长度，故可列出方程
21x+14x=42．
解得 x=1.2．
所以经过1.2小时两人首次相遇．
（2）设经过xh两人第二次相遇．则这段时间甲经过的路程为21xkm，乙经过的路程为14km．
根据题意可知两人第二次相遇时路程之差=环形路线两周的长度，故可列出方程
21x－14x=42×2．
解得 x=12．
所以经过12小时两人第二次次相遇．
点拨①在环形路线上从同一地点同时反向出发，第一次相遇路程之和为一个周长，第
二次相遇路程之和为两个周长，……；
②在环形路线上从同一地点同时同向出发，第一次相遇路程之并为一个周长，第二次相遇路程之差为两个周长，……．
练习 1．甲、乙两人在环形跑道上练习跑步．已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米．
（1）如果甲、乙两人在跑道上同地同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
（2）如果甲、乙两人在跑道上同地同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？
参考答案
课堂检测
1．C
2．C
3．11x，（11x+10）．
4．0.72
5．设战斗是在开始追击后xh•发生的．
根据“我军追击的距离+1km=敌人逃跑的距离+25km”可列方程
8x+1=5x+25，
解得 x=8．
所以战斗是在开始追击后8小时发生的．
综合提升
1．（1）设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则6 x+4x=400．解得x=40．
所以经过40秒甲、乙两人首次相遇．
（2）设经过x秒甲、乙两人首次相遇，则6x－4x=400．解得x=200．
所以经过200秒甲、乙两人首次相遇．。