四川省成都市石室中学数学一元二次方程(提升篇)(Word版 含解析)

四川省成都市石室中学数学一元二次方程（提升篇）（Word 版 含
解析）
一、初三数学 一元二次方程易错题压轴题（难）
1．如图1，平面直角坐标系xOy 中，等腰ABC ∆的底边BC 在x 轴上，8BC =，顶点A
在y 的正半轴上，2OA =，一动点E 从(3,0)出发，以每秒1个单位的速度沿CB 向左运动，到达OB 的中点停止．另一动点F 从点C 出发，以相同的速度沿CB 向左运动，到达点O 停止．已知点E 、F 同时出发，以EF 为边作正方形EFGH ，使正方形EFGH 和
ABC ∆在BC 的同侧．设运动的时间为t 秒（0t ≥）．
（1）当点H 落在AC 边上时，求t 的值；
（2）设正方形EFGH 与ABC ∆重叠面积为S ，请问是存在t 值，使得91
36
S =？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取AC 的中点D ，连结OD ，当点E 、F 开始运动时，点M 从点O 出发，以每秒25OD DC CD DO ---运动，到达点O 停止运动．请问在点
E 的整个运动过程中，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）吗？如果可能，求出点M 在正方形EFGH 内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
【答案】（1）t=1；（2）存在，143t =
，理由见解析；（3）可能，3455
t ≤≤或45
33t ≤≤或35t ≤≤理由见解析 【解析】 【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC 的解析式，根据题意用t 表示出点H 的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91
36
S =
，故t ﹥4,用待定系数法求出直线AB 的解析式，求出点H 落在BC 边上时的t 值，求出此时重叠面积为169﹤9136
，进一步求出重叠面积关于t 的表达式，代入解t 的方程即可解得t 值；
（3）由已知求得点D （2，1），
AC=
结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长． 【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)， 设直线AC 的函数解析式为y=kx+b ， 将点A 、C 坐标代入，得：
402k b b +=⎧⎨
=⎩，解得：122
k b ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为1
22
y x =-
+， 当点H 落在AC 边上时，点E(3-t ，0)，点H （3-t ，1）， 将点H 代入1
22
y x =-
+，得： 1
1(3)22
t =--+，解得：t=1；
（2）存在，143t =
，使得9136
S =． 根据已知，当点F 运动到点O 停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t ，使重叠面积为91
36
S =
，故t ﹥4， 设直线AB 的函数解析式为y=mx+n ， 将点A 、B 坐标代入，得：
402m n n -+=⎧⎨
=⎩，解得：122
m n ⎧
=
⎪⎨⎪=⎩， ∴直线AC 的函数解析式为1
22
y x =
+， 当t ﹥4时，点E （3-t ，0）点H （3-t ，t-3），G(0，t-3)， 当点H 落在AB 边上时，将点H 代入1
22
y x =
+，得： 13(3)22t t -=-+，解得：133
t =；
此时重叠的面积为2
21316
(3)(3)39
t -=-=， ∵
16
9﹤9136，∴133
﹤t ﹤5， 如图1，设GH 交AB 于S ，EH 交AB 于T,
将y=t-3代入122y x =+得：1
322
t x -=+， 解得：x=2t-10， ∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t 代入122y x =
+得：11
(3)2(7)22
y t t =-+=-， ∴点T 1(3,(7))2
t t --， ∴AG=5-t ，SG=10-2t ，BE=7-t ，ET=
1
(7)2
t -， 211
(7)24BET S BE ET t ∆==-, 21
(5)2
ASG
S AG SG t ∆==- 所以重叠面积S=AOB BET ASG S S S ∆∆∆--=4-21(7)4t --2(5)t -=2527133424
t t -+-， 由2
5
271334
24t t -+-=9136得：1143t =，29215
t =﹥5(舍去)， ∴143
t =
；
（3）可能，
3
5
≤t≤1或t=4． ∵点D 为AC 的中点，且OA=2,OC=4， ∴点D （2，1），AC=255 易知M 点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动； 当0﹤t ﹤1
2
时，M 在线段OD 上，H 未到达D 点，所以M 与正方形不相遇； 当
12﹤t ﹤1时， 12+1
2÷（1+4）=35
秒， ∴t =
35时M 与正方形相遇，经过1÷（1+4）=1
5
秒后，M 点不在正方行内部，则
3455
t ≤≤； 当t=1时，由（1）知，点F 运动到原E 点处，M 点到达C 处； 当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=
43秒时，点M 追上G 点，经过1÷（4-1）=1
3秒，点M 都在正方形EFGH 内（含边界），
45
33
t ≤≤ 当t=2时，点M 运动返回到点O 处停止运动，
当 t=3时，点E 运动返回到点O 处, 当 t=4时，点F 运动返回到点O 处, 当35t ≤≤时，点M 都在正方形EFGH 内（含边界）， 综上，当3455t ≤≤或45
33
t ≤≤或35t ≤≤时，点M 可能在正方形EFGH 内（含边界）．
【点睛】
本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
2．如图，在平面直角坐标系中，()4,0A -，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形，
4,03D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
在x 轴上一定点，P 为x 轴上一动点，且点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒
4
3
个单位长度运动，已知P 点运动时间为t ． (1)点C 坐标为________，P 点坐标为________；(直接写出结果，可用t 表示) (2)当t 为何值时，BDP ∆为等腰三角形；
(3)P 点在运动过程中，是否存在t ，使得ABD OBP ∠=∠，若存在，请求出t 的值，若不存在，请说明理由！
【答案】（1）（4，4），（4
3
t ，0）；（2）1101-，4； （3）存在，310
9
t
【解析】 【分析】
（1）利用平行四边形的性质和根据P 点的运动速度，利用路程公式求解即可； （2）分三种情况：①当BD BP 时，②当BD DP =时，③当BP DP =时，分别讨论求
解，即可得出结果； （3）过D 点作DF BP 交BP 于点F ，设OP x =
，则可得2
24BP
x ，43
DP
x ，
4
53
DF
,利用1
1
22
BDP
S DP BO BP DF ，即可求出OP 的长，利用路程公式可求得t 的值。

【详解】
解：（1）∵()4,0-A ，()0,4B ，四边形ABCO 为平行四边形， ∴点C 坐标为（4，4），
又∵P 为x 轴上一动点，点P 从原点O 出发，沿着x 轴正半轴方向以每秒4
3
个单位长度运动，P 点运动时间为t ， ∴P 点坐标为（
4
3
t ，0）， （2）∵B ，D 的坐标分别为：()0,4B ，4,03D ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， ∴4OB =,4
3
OD =
, 由勾股定理有：2
2
2
2
44
4
103
3
DB OB
OD
, 当BDP ∆为等腰三角形时， ①如图所示，当BD
BP 时，
OD OP
=,
∴P点坐标为（4
3
，0）,
∴1
t=
②如图所示，当BD DP
=时，
∵410
3
DB，OP DP OD ∴444
10101
333
OP,∴101
t
③如图所示，当BP DP
=时，
设P点坐标为：（x，0）
则有：2224
BP x，
2
2
4
3
DP x，
∴
2
22
4
4
3
x x，解之得：
16
3
x=
∴P 点坐标为（16
3
，0）, ∴4t =
综上所述，当t 为1，101-，4时，BDP ∆为等腰三角形；
（3）答：存在t ，使得ABD OBP ∠=∠。

证明：∵A ，B 两点坐标分别为：()4,0-A ，()0,4B ， ∴OA OB =,45ABO ∠=, 又∵ABD OBP ∠=∠
∴ABD OBD OBP OBD ∠+∠=∠+∠ 即有：45ABO
DBP
，
如图示，过D 点作DF
BP 交BP 于点F,
∵4
103DB ， ∴4
53
DF
, 设OP x =，根据勾股定理有：2
24BP x ，
并且43
DP x ，
则：1
1
2
2
BDP
S DP BO BP DF
∴
22
44
4453
3
x x ， 化简得：2610x x +-=， 解之得：3
10x （取正值），
即4310
3
t ∴3
310
310
94
t
．
【点睛】
本题考查的是平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，一元二次方程得解等知识点，在（2）中懂得分类讨论，在（3）中能做出垂线，利用面积求解是解题的关键．
3．如图，在四边形ABCD 中，9054ABC BCD AB BC cm CD cm ∠=∠=︒===，，点
P 从点C 出发以1/cm s 的速度沿CB 向点B 匀速移动，点M 从点A 出发以15/cm s 的速
度沿AB 向点B 匀速移动，点N 从点D 出发以/acm s 的速度沿DC 向点C 匀速移动．点
P M N 、、同时出发，当其中一个点到达终点时，其他两个点也随之停止运动，设移动时
间为ts ． （1）如图①，
①当a 为何值时，点P B M 、、为顶点的三角形与PCN △全等?并求出相应的t 的值； ②连接AP BD 、交于点E ，当AP BD ⊥时，求出t 的值； （2）如图②，连接AN MD 、交于点F ．当38
83
a t ==
，时，证明：ADF CDF S S ∆∆=．
【答案】（1）① 2.5t =， 1.1a =或2t =，0.5a =；②1t =；（2）见解析 【解析】 【分析】
（1）①当PBM PCN ≅△△时或当MBP PCN ≅△△时，分别列出方程即可解决问题； ②当AP BD ⊥时，由ABP BCD ≅△△，推出BP CD =，列出方程即可解决问题； （2）如图②中，连接AC 交MD 于O 只要证明AOM COD ≅△△，推出OA OC =，可得ADO CDO S S ∆∆=，AFO CFO S S ∆∆=，推出ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆-=-，即ADF CDF S S ∆∆=；
【详解】
解：（1）①90ABC BCD ∠=∠=︒，
∴当PBM PCN ≅△△时，有BM NC =，即5t t -=①
5 1.54t at -=-②
由①②可得 1.1a =， 2.5t =．
当MBP PCN ≅△△时，有BM PC =，BP NC =，即5 1.5t t -=③ 54t at -=-④，
由③④可得0.5a =，2t =．
综上所述，当 1.1a =， 2.5t =或0.5a =，2t =时，以P 、B 、M 为顶点的三角形与
PCN △全等；
②
AP BD ⊥， 90BEP ∴∠=︒，
90APB CBD ∴∠+∠=︒，
90ABC ∠=︒，
90APB BAP ∴∠+∠=︒， BAP CBD ∴∠=∠，
在ABP △和BCD 中，
BAP CBD AB BC
ABC BCD ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()ABP BCD ASA ∴≅△△，
BP CD ∴=， 即54t -=， 1t ∴=；
（2）当38a =，8
3
t =时，1DN at ==，而4CD =，
DN CD ∴<，
∴点N 在点C 、D 之间， 1.54AM t ==，4CD =， AM CD ∴=，
如图②中，连接AC 交MD 于O ， 90ABC BCD ∠=∠=︒， 180ABC BCD ∴∠+∠=︒， //AB BC ∴，
AMD CDM ∴∠=∠，BAC DCA ∠=∠， 在AOM 和COD △中， AMD CDM AM CD
BAC DCA ∠=∠⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
， ()AOM COD ASA ∴≅△△，
OA OC ∴=，
ADO CDO S S ∆∆∴=，AFO CFO S S ∆∆=，
ADO AFO CDO CFO S S S S ∆∆∆∆∴-=-， ADF CDF S S ∆∆∴=．
【点睛】
本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
4．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8AD cm =，点P 从点A 出发沿AD 向点D 匀速运动，速度是1/cm s ，过点P 作PE AC ∥交DC 于点E ，同时，点Q 从点C 出发沿
CB 方向，在射线CB 上匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、QE ，PQ 与AC 交与点F ，设运动时间为()(08)<<t s t ．
（1）当t 为何值时，四边形PFCE 是平行四边形；
（2）设PQE 的面积为2
()s cm ，求s 与t 的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t ，使得PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932
； （4）是否存在某一时刻t ，使得点E 在线段PQ 的垂直平分线上．
【答案】（1）83t =
；（2）S =2
99(08)8
t t t -+<<；（3）当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932；（4）当57325
6
=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上 【解析】 【分析】
（1）由四边形PFCE 是平行四边形，可得,PF CE ∥由PD QC 得四边形CDPQ 为平行四边形，即PD CQ =，列式82t t -=，计算可解.
（2）由PE AC ∥，得
=DP DE DA DC ，代入时间t ，得886-=t DE 解得3
64
=-DE t ，3
4
CE t =
再通过S S =梯形CDPQ PDE CEQ S S --△△构建联系，可列函数式2
99(08)8
S t t t =-+<<.
（3）由PQE 的面积为矩形ABCD 面积的
9
32得299986832
S t t =-+=
⨯⨯，可解 当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的
9
32
． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ，得22
=EQ PE ，由Rt CEQ 与
△Rt PDE 可得，222+=CE CQ EQ ，222PD DE PE +=，即
2222+=+CE CQ PD DE ，代入3
64=-DE t ，34
CE t =，2CQ t =，8PD t =-
可得2
2
2233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭t t t t ，计算验证可解.
【详解】
（1）当四边形PFCE 是平行四边形时，∥PF CE ， 又∵PD QC ，
∴四边形CDPQ 为平行四边形， ∴PD CQ =， 即82t t -=， ∴83
t =
（2）∵PE AC ∥，
∴
=DP DE
DA DC ， 即886
-=t DE
， ∴3
64
=-DE t ，
∴33
6644
=-+=CE t t ， ∴21133(8)66242248⎛
⎫=
⋅=--=-+ ⎪⎝
⎭△PDE S PD DE t t t t ， 21133
22244
=⋅=⨯⨯=△CEQ S CE CQ t t t ，
S 梯形11
()(28)632422
=+⋅=+-⋅=+CDPQ QC PD CD t t t ，
∴S S =梯形2
99(08)8
--=-+<<△△CDPQ PDE CEQ S S t t t （3）由题意，2
99
9868
32
-+=⨯⨯t t 解得12t =，26t =
所以当2t s =或6s 时，PQE 的面积为矩形ABCD 面积的932
． （4）当点E 在线段PQ 的垂直平分线上时，=EQ PE ， ∴2
2
=EQ PE ，
在Rt CEQ 中，222
+=CE CQ EQ ，
在△Rt PDE 中，222PD DE PE +=， ∴2
2
2
2
+=+CE CQ PD DE ，
即22
2233(2)(8)644⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭t t t t
解得125
6
-=
t ，2256+=-t （舍）
所以当=t 时，点E 在线段PQ 的垂直平分线上． 【点睛】
本题考查的是一次函数与几何图形的实际应用，勾股定理，平行线的性质，解一元二次方程，需要注意的是在解一元二次方程的实际应用中经常会涉及到解的验证，不可忽略.
5．近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．
（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%．某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？
（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调a %出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了a %，且储备猪肉的销量占总销量的
3
4
，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1
%10
a ，求a 的值． 【答案】（1）去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）a 的值为20．
【解析】 【分析】
（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可； （2）设3月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】
解：（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元； 根据题意得：2．5×（1+60%）x ≥200， 解得：x ≥50．
答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元； （2）设3月20日的总销量为1； 根据题意得：60（1﹣a%）×
34
(1+a%）+60×1
4 (1+a%）=60（1+110a%），
令a%=y ，原方程化为：60（1﹣y ）×34
(1+y ）+60×1
4(1+y ）=60（1+110y ），
整理得：5y 2﹣y=0，
解得：y=0.2，或y=0（舍去）， 则a%=0.2， ∴a=20； 答：a 的值为20． 【点睛】
本题考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用；根据题意列出不等式和方程是解决问题的关键．
6．已知关于x 的方程x 2﹣（2k +1）x +k 2+1＝0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k ＝2，求该矩形的对角线L 的长．
【答案】（1）k ＞3
4
；（2 【解析】 【分析】
（1）根据关于x 的方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根，得出△＞0，再解不等式即可；
（2）当k=2时，原方程x 2-5x+5=0，设方程的两根是m 、n ，则矩形两邻边的长是m 、n ，
利用根与系数的关系得出m+n=5，mn=5，，利用完全平方公式进行变形即可求得答案. 【详解】
解：（1）∵方程x 2－(2k ＋1)x ＋k 2＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2k ＋1)]2－4×1×(k 2＋1)＝4k －3＞0，
∴k＞3
4；
(2)当k＝2时，原方程为x2－5x＋5＝0，
设方程的两个根为m，n，
∴m＋n＝5，mn＝5，
==.
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、矩形的性质等，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．
7．随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入普通家庭．据某市交通部门统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．
（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；
（2）为了保护城市环境，缓解汽车拥堵状况，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012
年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；另据统计，从2011年初起，该市此后每年报废的
汽车数量是上年底汽车拥有量的10%假设每年新增汽车数量相同，请你估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆．
【答案】解：（1）2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%
（2）从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆
【解析】
【分析】
（1）设年平均增长率x，根据等量关系“2008年底汽车拥有量×（1+年平均增长率）×（1+年平均增长率）”列出一元二次方程求得．
（2）设从2011年初起每年新增汽车的数量y，根据已知得出2011年报废的车辆是2010年底拥有量×10%，推出2011年底汽车拥有量是2010年底拥有量-2011年报废的车辆=2010年拥有量×（1-10%），得出等量关系是： 2010年拥有量×（1-10%）+新增汽车数量]×（1-10%）+新增汽车数量”，列出一元一次不等式求得．
【详解】
解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．
根据题意，得75（1+x）2=108，则1+x=±1.2
解得x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市汽车拥有量的年平均增长率为20%．
（2）设全市每年新增汽车数量为y万辆，则2010年底全市的汽车拥有量为
（108×90%+y）万辆，2011年底全市的汽车拥有量为[（108×90%+y）×90%+y]万辆．
根据题意得（108×90%+y ）×90%+y≤125.48， 解得y≤20．
答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆．
8．已知关于x 的方程24832x nx n --=和()2
2
3220x n x n -+-+=，是否存在这样的
n 值，使第一个方程的两个实数根的差的平方等于第二个方程的一整数根？若存在，请求出这样的n 值；若不存在，请说明理由？
【答案】存在，n=0. 【解析】 【分析】
在方程①中，由一元二次方程的根与系数的关系，用含n 的式子表示出两个实数根的差的平方，把方程②分解因式，建立方程求n ，要注意n 的值要使方程②的根是整数. 【详解】 若存在n 满足题意.
设x1，x2是方程①的两个根，则x 1+x 2=2n ，x 1x 2=32
4
n +-，所以(x 1-x 2)2=4n 2+3n+2， 由方程②得，(x+n-1)[x-2(n+1)]=0， ①若4n 2+3n+2=-n+1，解得n=-
1
2，但1-n=32
不是整数，舍. ②若4n 2+3n+2=2(n+2)，解得n=0或n=-1
4
(舍)， 综上所述，n=0.
9．如图，已知AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，OA 和AB 的长度是关于x 的一元二次方程x 2
﹣4x+a=0的两个实数根． （1）求弦AB 的长度； （2）计算S △AOB ；
（3）⊙O 上一动点P 从A 点出发，沿逆时针方向运动一周，当S △POA =S △AOB 时，求P 点所经过的弧长（不考虑点P 与点B 重合的情形）．
【答案】（1）AB=2；（2）S △AOB 33）当S △POA =S △AOB 时，P 点所经过的弧长分别是
43π、83π、103π． 【解析】
试题分析：（1）OA和AB的长度是一元二次方程的根，所以利用一元二次方程的根与系数的关系即可求出AB的长度；
（2）作出△AOB的高OC，然后求出OC的长度即可求出面积；
（3）由题意知：两三角形有公共的底边，要面积相等，即高要相等．
试题解析：（1）由题意知：OA和AB的长度是x2﹣4x+a=0的两个实数根，
∴OA+AB=﹣
4
1
-
=4，
∵OA=2，
∴AB=2；
（2）过点C作OC⊥AB于点C，
∵OA=AB=OB=2，∴△AOB是等边三角形，∴AC=1
2
AB=1，
在Rt△ACO中，由勾股定理可得：OC=3，∴S△AOB=1
2
AB﹒OC=
1
2
×2×3=3；
（3）延长AO交⊙O于点D，由于△AOB与△POA有公共边OA，
当S△POA=S△AOB时，∴△AO B与△POA高相等，
由（2）可知：等边△AOB的高为3，∴点P到直线OA的距离为3，这样点共有3个①过点B作BP1∥OA交⊙O于点P1，∴∠BOP1=60°，
∴此时点P经过的弧长为：1202
180
π⨯
=
4
3
π
，
②作点P2，使得P1与P2关于直线OA对称，∴∠P2OD=60°，
∴此时点P经过的弧长为：2402
180
π⨯
=
8
3
π
，
③作点P3，使得B与P3关于直线OA对称，∴∠P3OP2=60°，
∴此时P经过的弧长为：3002
180
π⨯
=
10
3
π
，
综上所述：当S△POA=S△AOB时，P点所经过的弧长分别是4
3
π
、
8
3
π
、
10
3
π
．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程与圆的综合知识．涉及等边三角形性质，圆的对称性等知识，能综合运用所学知识，选择恰当的方法进行解题是关键．
10．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是
一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．
（1）求点A，C的坐标；
（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；
（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.
【解析】
试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.
试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．
∴A（12，0），C（﹣6，0）；
（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°
∴∴OB=16．
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20
∵BE=5，∴AE=15．
如图1，作EM⊥x轴于点M，
∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，
∴，即：
∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．
∴E（3，12）．∴k=36；
（3）满足条件的点Q的个数是6，
x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；
方法：如下图
①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）
如图①∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴EG2=CG•GP，∴GP=16，
∵△CPE与△PCQ是中心对称，
∴CH=GP=16，QH=FG=12，∵OC=6，∴OH=10，
∴Q（10，﹣12），
如图②作MN∥x轴，交EG于点N，
EH⊥y轴于点H ∵E（3，12），C（﹣6，0），
∴CG=9，EG=12，∴CE=15，
∵MN=CG=，可以求得PH=3﹣6，
同时可得PH=QR，HE=CR ∴Q（﹣3，6﹣3），
考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.。