高三数学(文)一轮复习课件：指数函数

1 2
－（3x－7)0的定义域是（2，＋∞)；
④若100a＝5,10b＝2，则2a＋b＝1.
A.0
B.1
C.2 D.3
【解析】只有④正确.①中a<0时，（a2) >0，a3<0，
所以（a2) ≠a3；②中，n为奇数时且a<0时， ＝a；
③中定义域为
2，,37



7 3
，＋∞
＝1＋16－110＝1165.
指数函数的图像与性质
1.与指数函数有关的函数的图象的研究，往往 利用相应指数函数的图象，通过平移、对称 变换得到其图象. 2.一些指数方程、不等式问题的求解，往往利 用相应的指数型函数图象数形结合求解.
已知指数函数 y f (x) 的图象经过点 (2,4) ， 且 g(x) | f (x) 1| ； （1）作出函数 g(x) 的图象，并指出它的单调区间 及单调性； （2）已知方程 g(x 1) k 1 有且仅有两个不同的
【答案】B
3.若a>1，b>0，且ab＋a－b＝ 2 2 ，则ab－a－b的值等于（ )
A. 6 B.2或－2 C.－2
D.2
【解析】（ab－a－b)2＝（ab＋a－b)2－4＝4， ∵a>1，b>0，∴ab>1,0<a－b<1，∴ab－a－b＝2.
【答案】D
指数幂的化简与求值
指数幂的化简与求值的原则及结果要求 (1)化简原则 ①化负指数为正指数； ②化根式为分数指数幂； ③化小数为分数； ④注意运算的先后顺序．
已知 f(x)＝a2－a 1(ax－a－x)(a＞0 且 a≠1)．
(1)判断 f(x)的奇偶性；
(2)讨论 f(x)的单调性；
解析： (1)函数定义域为 R，关于原点对称． 又∵f(－x)＝a2－a 1(a－x－ax)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
(2)当 a＞1 时，a2－1＞0，y＝ax 为增函数，y＝a－x 为减函数，从而 y＝ax－a－x 为增函数， ∴f(x)为增函数． 当 0＜a＜1 时，a2－1＜0，y＝ax 为减函数，y＝a－x 为增函数，从而 y＝ax－a－x 为减函数， ∴f(x)为增函数． 故当 a＞0，且 a≠1 时，f(x)在定义域内单调递增．
2
3
2
6

a
2 3
• b1
1
2
1 1
a 2b3
6
3-
6 a •b5
4
1
a 3 8a 3b
2
2
4b 3 23 ab a 3
1 23
b a


3
a
2
23 3
1
1
【解析】（1)
原式＝
2
3

3
24
1
24

22
1
1
解析：
(1)原式＝
a
9 2

3
a2
3


7
a3
13
a 3
2



＝
9
a6

1
a2



7
a6

13
a6

＝
a
9 6

1 2

7 6
13 6
＝a0＝1.



1
1
(2)原式＝1
1 4


4 9
2

1 100
2
(4)在有关根式、分数指数幂的变形、求值过程中，要注意运用方程的观点 处理问题，通过解方程(组)来求值，或用换元法转化为方程来求解.
通过对近两年高考试题的统计分析可以看出，本节内容在高考中 地位并不非常突出.主要以选择题和填空题的形式出现，综合性较高.整 个命题过程源于教材，又高于教材，是教材中问题的延伸、变形与组合， 命题主要侧重考查指数函数的单调性，如比较函数值的大小、解简单的 指数不等式等.
所以 m≥－(20＋1)＝－2.
1.对于分数指数幂的理解应注意以下问题 (1)分数指数幂是根式的另一种写法，分数指数幂与根式可以相互转化. (2)分数指数幂不能随心所欲地约分，例如要将a24写成a12等必须认真考
2
查a的取值才能决定，例如(－1)4＝
4
1
(－1)2＝1，而(－1)2＝
－1无意义.
(3)在进行幂和根式的化简时，一般是先将根式化成幂的形式，并化小数 指数幂为分数指数幂，并尽可能地统一成分数指数幂形式，再利用幂的 运算性质进行化简、求值、计算，以利于运算，达到化繁为简的目的.
1.（2014·山东卷） 已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1)，
则下列关系式恒成立的是（ )
A.
1＞1 x2 1 y2 1B.ln（x2＋1)＞ln（y2＋1)
C.sin x＞sin y
D.x3＞y3
【解析】因为ax＜ay（0＜a＜1)，所以x＞y，所以sin x＞sin y，
ln（x2＋1)＞ln（y2＋1)，
性质
定义域 值域 单调性
递减
R (0，＋∞)
当x＝0时，y＝1
递增
函数值变化规律
当x＜0时，y＞1；
当x＜0时，0＜y＜1；
当x＞0时，0＜y＜1
当x＞0时，y＞1
【思考探究】 2.指数函数y＝ax与y＝1ax (a＞0且a≠1)．这两者图象有何关系？
提示： 关于y轴对称．
1．函数y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则有
分数指数幂进行根式的运算．
（2）有理指数幂的运算性质 ①aras=ar+s(a＞0,r、s∈Q); ②(ar)s=ars(a＞0,r、s∈Q）； ③（ab）r=arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）.
3.指数函数的图象和性质
函数
y＝ax(a＞0，且a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
图象特征
在x轴上方，过定点(0,1) 当x逐渐增大时，图象逐渐下降 当x逐渐增大时，图象逐渐上升
3 在（－2，＋∞)上单调递增，即函数f（x)的单调递增区间是（－2，＋ ∞)，
单调递减区间是（－∞，－2).
2)令g（x)＝ax2－4x＋3，f（x)＝
，由于f（x)有最大值3，
所以g（x)应有最小值－1，因此必有 a>0， 3a 4 =-1，
a
解得a＝1，即当f（x)有最大值3时，a的值等于1.
(2)结果要求 ①若题目以根式形式给出，则结果用 根式表示； ②若题目以分数指数幂的形式给出， 则结果用分数指数幂表示； ③结果不能同时含有根号和分数指数 幂，也不能既有分母又有负指数幂．
化简下列各式（其中各字母均为正数)：
（1) （2) （3)
-1
1.5 3


-
7
0

80.25 4
都不一定正确，故选D.
【答案】D
3.(2013·湖南卷)设函数 f(x)＝ax＋bx－cx，其中 c>a>0，c>b>0. (1)记集合 M＝{(a，b，c)|a，b，c 不能构成一个三角形的三条边长，且 a＝ b}，则(a，b，c)∈M 所对应的 f(x)的零点的取值集合为； (2)若 a，b，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是.(写出所有正确结 论的序号) ① x∈(－∞，1)，f(x)>0； ② x∈R，使 ax，bx，cx 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则 x∈(1，2)，使 f(x)＝0. 解析: (1)因为 a＝b，所以函数 f(x)＝2ax－cx， 又因为 a，b，c 不能构成一个三角形， 且 c>a>0，c>b>0，故 a＋b＝2a≤c， 令 f(x)＝2ax－cx＝0，
33
-
2
3
3
3
2 108 110
（2) 原式＝ （3) 原式＝
1
1
1
1
a 3 •b2 •a 2 •b3
15
111
11-5
a 3 2 6 •b2 3 6

1 a
a6 •b6
1
1
1
2b3
a 3 a 8b
2
11 1
2b3a 3 a 3
2.指数函数 对指数函数定义的理解 (1)指数函数y＝ax的底数a需满足a＞0，且a≠1. (2)指数函数的外形只能是y＝ax，像y＝kax(k≠0，k≠1)、y＝ax＋b(b≠0)等 都不是指数函数，虽然它们可以由y＝ax的图象通过适当变换得到.
(3)画指数函数y＝ax的图象，应抓住三个关键点：(1，a)、(0,1)、－1，1a.
2

a3
1 1
a 3 2b 3
1
a3


1

a
3
a

8b

a
1 3
1
a3

a
a 8b
【变式训练】 1.计算下列各式：
9
(1) 3 a 2 a3 3 a7 3 a13 ；
(2)2350＋2－2·214－12－(0.01)0.5.
实数解，求 k 的取值范围； （3）比较 g(x 1) 与 g(x) 的大小
解析: 依题意，设 f (x) ax (a 0, 且 a 1) ，
由已知 4 a2 ，∴ a 2 ，即 f (x) 2x ；
（1）∴
g(x)
|
2x
1|
2x 1( x
1

2
x
(
x

（3）令 g(x 1) g(x) ，则 | 2x1 1|| 2x 1| ，
即 (2x1 1)2 (2x 1)2 ，∴ 4 22x 4 2x 1 22x 2 2x 1 ，
∴ 3 22x 2 2x 0 ，即 (3 2x 2) 2x 0 ，
0) 0)
，
其图象如图所示， 由图象易知函数在 (,0) 上单调递减， 在 [0,) 上单调递增；
（2）将（1）中所得 g(x) 的图象向右平移一个单位 即得 g(x 1) 的图象， 显然当且仅当 0 k 11时，方程 g(x 1) k 1 有且 仅有两个不同的解， ∴所求的 k 的取值范围是 (1,0) ；
2.6 指数函数
1.根式 (1)根式的概念
xn=a
正数
负数
两个 相反数
na
n a
(2)两个重要公式
_a_，n为奇数
①n
an＝|a|＝_a_ _-_a___
a≥0，n为偶数 a＜0
②(n a)n＝_a__ (注意a必须使n a有意义)．
2.有理指数幂
(1)分数指数幂的表示
由 y1＝2x 与 y2＝－2－x 是(－∞，＋∞)上的增函数，
得 f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数.
(2)当
x∈［0，＋∞)时，2x（22x－
1 22x
）＋m(2x－
1 2x
)≥0，
即
2x－
1 2x
）
(22x+1+m)≥0 恒成立，因为 x≥0 时，2x－ 1 ≥0，
2x
所以 22x＋1＋m≥0，m≥－(22x＋1)，
() A．a＝1或a＝2
B．a＝1
C．a＝2
D．a＞0且a≠1
解析： 由已知aa2＞－03且a＋a≠3＝1 1 ， 即aa2＞－03且a＋a≠2＝1 0 . 得a＝2.
答案： C
2.下列结论正确的个数是（)
①当a<0时，（a2)
3 2
＝a3；
② n an ＝|a|；
③函数y＝（x－2)
（3)由指数函数的性质知，要使y＝
的值域为（0，＋∞).
应使g（x)＝ax2－4x＋3的值域为R，因此只能a＝0（因为若a≠0，
则g（x)为二次函数，其值域不可能为R，故a的值为0）
指数函数的综合性问题
1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法 (1)函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同； (2)先确定f(x)的值域，再根据指数函数的值域、单调性， 可确定y＝af(x)的值域. 2.与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤 (1)求复合函数的定义域； (2)弄清函数是由哪些基本函数复合而成的； (3)分层逐一求解函数的单调性； (4)求出复合函数的单调区间(注意“同增异减”).
①正数的正分数指数幂是
m
a n n am (a＞0，m 、n∈N ，且 n＞1)；
②正数的负分数指数幂是
a

m n

1
m
an

n
1 am
(a＞0，m 、n∈N ，且 n＞1)；
③0 的正分数指数幂是 0,0 的负分数指数幂
无意义.
【思考探究】：1.分数指数幂与根式有何关系？
提示： 分数指数幂与根式可以互化，常利用
∵ 2x 0 ，∴ 3 2x 2 0 ，即 2x 2 ， 3
由函数
y

2x
单调递增，∴
x

log2
2 3
，
即当
x

log2
2 3
时，有
g(x
1)

g(x)
；
当
x

log2
2 3
时，有
g(x
1)

g(x)
；
而当
x

log2
2 3
时，则有
g(x
1)

g(x)
。
【变式训练】2.已知函数f（x)＝
【变式训练】3.已知函数 f(x)＝2x－ 1 (x∈R).
x
(1)讨论 f(x)的单调性与奇偶性；
(2)若 2xf(2x)＋mf(x)≥0 对任意的 x∈［0，＋∞)恒成立，求 m 的取值范围.
解析：
1 (1)由 f(－x)＝2－x－ 2x

1 2x
2x =－f(x)知 f(x)是奇函数.
.
1
ax 2

4
x3
3
（1)若a＝－1，求f（x)的单调区间；
（2)若f（x)有最大值3，求a的值；
（3)若f（x)的值域是（0，＋∞)，求a的值.
【解析】（1)当a＝－1时，f（x)＝
令g（x)＝－x2－4x＋3，
由于g（x)在（－∞，－2)上单调递增，在（－2，＋∞)上单调递减， 而y＝ 1 t 在R上单调递减，所以f（x)在（－∞，－2)上单调递减，