2021-2022学年基础强化沪科版九年级数学下册第24章圆专题测试试题

沪科版九年级数学下册第24章圆专题测试
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、下列叙述正确的有( )个.
（1）y y
=随着x的增大而增大；
（2）如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；
（3）斜边为BC的直角三角形顶点A的轨迹是以BC中点为圆心，BC长为直径的圆；
（4）三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；
（5）以
22
11
(1)
22
m m
m m
-+
>
、、为三边长度的三角形，不是直角三角形．
A．0 B．1 C．2 D．3
2、如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米）．放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，那么玻璃杯的杯口外沿半径为（）
A ．5厘米
B ．4厘米
C ．132厘米
D ．134
厘米 3、下面的图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，10cm AB =，若以点C 为圆心，CB 的长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（ ）
A ．5cm
B ．6cm
C ．
D ．
5、随着2022年北京冬奥会日渐临近，我国冰雪运动发展进入快车道，取得了长足进步．在此之前，北京冬奥组委曾面向全球征集2022年冬奥会会徵和冬残奥会会徽设计方案，共收到设计方案4506件，以下是部分参选作品，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
6、如图所示四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
7、如图，在Rt ABC中，
3
90,4,tan
4
ACB AC A
∠===．以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点
D，则AD的长是（）
A．1 B．7
5
C．
3
2
D．2
8、往直径为78cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽72cm
AB=，则水的最大深度为（）
A ．36 cm
B ．27 cm
C ．24 cm
D ．15 cm
9、点P (－3，1)关于原点对称的点的坐标是（ ）
A ．(－3，1)
B ．(3，1)
C ．(3，－1)
D ．(－3，－1)
10、下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如果一个扇形的弧长等于它所在圆的半径，那么此扇形叫做“完美扇形”．已知某个“完美扇形”的周长等于6，那么这个扇形的面积等于_____．
2、在平面直角坐标系中，点()3,4--关于原点对称的点的坐标是______．
3、如图，AB 是半圆O 的直径，点D 在半圆O 上，10AB =，6AD =，C 是弧BD 上的一个动点，连接AC ，过D 点作DH AC ⊥于H ．连接BH ，则在点C 移动的过程中，线段BH 的最小值是______．
4、如图，PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，C 为⊙O 上异于A ，B 的一点，连接AC ，BC ．若∠P ＝58°，则∠ACB 的大小是___________．
5、在平面直角坐标系中，将点(2,7)
P-绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q，则点Q的坐标是___________．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
作法：如图，
①作直径AB；
②分别以点A, B为圆心，以大于1
2
AB的长为半径作弧，两弧交于M点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明.
证明：连接MA ，MB ．
∵MA =MB ，OA =OB ，
∴MO 是AB 的垂直平分线．
∴AC = ．
∵AB 是直径,
∴∠ACB = ( ) (填写推理依据) ．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
2、如图，在直角坐标系中，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°．
（1）画出旋转后的△AB 1C 1，并写出B 1、C 1的坐标；
（2）求线段AB 在旋转过程中扫过的面积．
3、如图，AB BC =，ABC BCE α∠=∠=，点D 是BC 上一点，AD 与BE 相交于点F ，且BFD α∠=．
（1）求证：BFD ABD ∽
△△； （2）求证：AD BE =；
（3）若点D 是BC 中点，连接FC ，求证：FC 平分DFE ∠．
4、如图，正方形ABCD 是半径为R 的⊙O 内接四边形，R ＝6，求正方形ABCD 的边长和边心距．
5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （0，3）,B （﹣3，5），C （﹣4，
1）．
（1）把△ABC 向右平移3个单位得△A 1B 1C 1，请画出△A 1B 1C 1并写出点A 1的坐标；
（2）把△ABC 绕原点O 旋转180°得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2．
-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据反比例函数的性质，得当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大；根据直径所对圆周角为直角的性质，得斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆；根据垂直平分线的性质，得三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；根据勾股定理逆定理、完全平方公式的性质计算，可判断直角三角形，即可完成求解．
【详解】
y x
=-当0x <或者0x >时，y 随着x 的增大而增大，故（1）不正确； 如果直角三角形斜边的长是斜边上的高的4倍，那么这个三角形两个锐角的度数分别是75和15；，故（2）正确；
∵圆的直径所对的圆周角为直角
∴斜边为BC 的直角三角形顶点A 的轨迹是以BC 中点为圆心，BC 长为直径的圆，故（3）正确； 三角形三边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，故（4）正确； ∵2
24212124m m m ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭ ∴2
42422221211442m m m m m m ⎛⎫-+++++== ⎪⎝⎭
∴以2211(1)22m m m m -+>、、为三边长度的三角形，是直角三角形，故（5）错误； 故选：D ．
【点睛】
本题考查了三角形、垂直平分线、反比例函数、圆、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握反比例函数、垂直平分线、圆周角、勾股定理逆定理的性质，从而完成求解．
2、D
【分析】
根据题意先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．
【详解】
解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是2和8，
∴AC=8-2=6厘米，
过点O作OB⊥AC于点B，
则AB=1
2AC=1
2
×6=3厘米，
设杯口的半径为r，则OB=r-2，OA=r，在Rt△AOB中，
OA2=OB2+AB2，即r2=（r-2）2+32，
解得r=13
4
厘米．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．3、A
【详解】
解：A 、既是轴对称图形又是中心对称图形，此项符合题意；
B 、是中心对称图形，不是轴对称图形，此项不符题意；
C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，此项不符题意；
故选：A ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180︒，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．
4、D
【分析】
连接CD ，由直角三角形斜边中线定理可得CD =BD ，然后可得△CDB 是等边三角形，则有BD =BC =5cm ，进而根据勾股定理可求解．
【详解】
解：连接CD ，如图所示：
∵点D 是AB 的中点，90C ∠=︒，10cm AB =，
∴
1
5cm
2
CD BD AB
===，
∵CD BC
=，
∴5cm
CD BD BC
===，
在Rt△ACB中，由勾股定理可得
AC=；
故选D．
【点睛】
本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理是解题的关键．
5、C
【分析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6、D
【分析】
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】
解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
7、B
【分析】
利用三角函数及勾股定理求出BC、AB，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，利用cos
BC BE
B
AB BC
==，求出
BE，根据垂径定理求出BD即可得到答案．【详解】
解：在Rt ABC中，
3
90,4,tan
4 ACB AC A
∠===，
∴BC=3，5
AB=，连接CD，过点C作CE⊥AB于E，
∵cos
BC BE
B
AB BC
==，
∴3
53
BE =，
解得
9
5 BE=，
∵CB=CD，CE⊥AB，
∴
18
2
5 BD BE
==，
∴
187
5
55 AD AB BD
=-=-=，
故选：B．
【点睛】
此题考查了锐角三角函数，勾股定理，垂径定理，熟记各定理并熟练应用是解题的关键．
8、C
【分析】
连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，先由垂径定理求出BD的长，再根据勾股定理求出OD的长，进而得出CD的长即可．
【详解】
解：连接OB，过点O作OC AB
⊥于点D，交O于点C，如图所示：
则136()2
BD AB cm ==， O 的直径为78cm ，
39()OB OC cm ∴==，
在Rt OBD △中，15()OD cm ，
391524()CD OC OD cm ∴=-=-=，
即水的最大深度为24cm ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
9、C
【分析】
据平面直角坐标系中任意一点P （x ，y ），关于原点的对称点是（-x ，-y ），然后直接作答即可．
【详解】
解：根据中心对称的性质，可知：点P （-3，1）关于原点O 中心对称的点的坐标为（3，-1）． 故选：C ．
【点睛】
本题考查关于原点对称的点坐标的关系，是需要熟记的基本问题，记忆方法可以结合平面直角坐标系的图形．
10、B
【分析】
根据“把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”及“如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个
图形就叫做轴对称图形”，由此问题可求解．
【详解】
解：A、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．
二、填空题
1、2
【分析】
根据扇形的面积公式S＝1
2
lr，代入计算即可．
【详解】
解：∵“完美扇形”的周长等于6，
∴半径r为1
6
3
⨯＝2，弧长l为2，
这个扇形的面积为：1
2
lr＝
1
22
2
⨯⨯＝2．
答案为：2．【点睛】
本题考查了扇形的面积公式，扇形面积公式
1
2
S lR
=与三角形面积公式十分类似，为了便于记忆，只
要把扇形看成一个曲边三角形，把弧长l 看成底，R 看成底边上的高即可．
2、（3，4）
【分析】
关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【详解】
：由题意，得点（-3，-4）关于原点对称的点的坐标是（3，4），
故答案为：（3，4）．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
33-##
【分析】
连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，由题可知H 点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小；求出8BD =，在Rt BED 中，
BE =3BH ，即为所求．
【详解】
解：连接BD ，取AD 的中点E ，连接BE ，
DH AC ⊥，
H ∴点在以E 为圆心，AE 为半径的圆上，
当B 、H 、E 三点共线时，BH 最小， AB 是直径，
90BDA ∴∠=︒，
10AB =，6AD =，
8BD ∴=，3DE =，
在Rt BED 中，
BE =
3BH BE EH ∴=-，
3．
【点睛】
本题考查点的运动轨迹，勾股定理，解题的关键是能够根据点的运动情况，确定H 点的运动轨迹． 4、61︒或119︒
【分析】
如图，连接,,OA OB 利用切线的性质结合四边形的内角和定理求解122,AOB 再分两种情况讨论，结合圆周角定理与圆的内接四边形的性质可得答案.
【详解】
解：如图，连接,,OA OB 12,C C （即C ）分别在优弧与劣弧上，
PM ，PN 分别与⊙O 相切于A ，B 两点，
90,PAO PBO ∴∠=∠=︒
58,P
360909058122,AOB
12161,18061119.2AC B AOB AC B
故答案为：61︒或119︒
【点睛】
本题考查的是切线的性质定理，圆周角定理的应用，圆的内接四边形的性质，四边形的内角和定理的应用，求解122AOB ∠=︒是解本题的关键.
5、()2,7-
【分析】
绕坐标原点顺时针旋转180︒即关于原点O 中心对称，找到P 关于原点中心对称的点的坐标即可，根据关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数，即可求解．
【详解】
解：将点(2,7)P -绕坐标原点顺时针旋转180︒后得到点Q ，则点Q 的坐标是()2,7-
故答案为：()2,7-
【点睛】
本题考查了求一个点关于原点中心对称的点的坐标，掌握关于原点中心对称的点的坐标特征是解题的关键．关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数．
三、解答题
1、（1）见解析；（2）BC ，90°，直径所对的圆周角是直角
【分析】
（1）过点O 任作直线交圆于AB 两点，再作AB 的垂直平分线OM ，直线MO 交⊙O 于点C ，D ；连结AC 、BC 即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定与性质得出AC =BC ，根据圆周角定理得出∠ACB =90°即可．
【详解】
（1）①作直径AB ；
②分别以点A , B 为圆心，以大于12
AB 的长为半径作弧，两弧交于M 点； ③作直线MO 交⊙O 于点C ，D ；
④连接AC ，BC ．
所以△ABC 就是所求的等腰直角三角形.
（2）证明：连接MA ，MB ．
∵MA =MB ，OA =OB ，
∴MO 是AB 的垂直平分线．
∴AC =BC ．
∵AB 是直径，
∴∠ACB =90°(直径所对的圆周角是直角) ．
∴△ABC 是等腰直角三角形．
故答案为：BC ，90°，直径所对的圆周角是直角．
【点睛】
本题考查尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质，掌握尺规作圆内接等腰直角三角形，圆周角定理，线段垂直平分线判定与性质是解题关键．
2、（1）作图见解析，1(2,3)B -、1(1,1)C --；（2）254
π
【分析】
（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △，根据点A 、B 、C 坐标，即可确定出点1B 、1C 的坐标；
（2）根据勾股定理求出AB 的长，由扇形面积公式即可得出答案．
【详解】
（1）将ABC 绕点A 顺时针旋转90°得11AB C △如图所示：
∴1(2,3)B -、1(1,1)C --；
（2）由图可知：5AB =，
∴线段AB 在旋转过程中扫过的面积为1
2905253604ABB
S ππ⋅==扇形． 【点睛】 本题考查作旋转图形以及扇形的面积公式，掌握旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键．
3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】
（1）在BDF 和ABD 中，=BFD ABD α∠=∠，BDF ADB ∠=∠，故可证明三角形相似．
（2）由ABD BCE ≌得出AD BE =．
（3）法一：由题意知BD CD =，由BFD ABD ∽得BD FD AD BD
=，有22BD DF DA CD =⋅=，所以可得CD DF AD CD
=，又因为ADC CDF ∠=∠可得CDF ADC ∽，DFC DCA ∠=∠；由于1802BAC BCA DCA DFC α︒-∠=∠==∠=∠，180180EFC 18022
ααα︒-︒-∠=︒--=，进而说明DFC EFC ∠=∠，得出FC 平分DFE ∠．法二：通过BFD BCE α∠=∠=得出F 、D 、C 、E 四点共圆，由CD BD CE ==得DFC EFC ∠=∠，从而得出FC 平分DFE ∠．
【详解】
解：（1）证明在BDF 和ABD 中
BFD ABD BDF ADB DBF DAB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩
∴ BDF ABD ∽．
（2）证明：在ABD 和BCE 中
DAB EBC AB BC
ABD BCE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
ABD BCE ∴≌ ()ASA
AD BE ∴=．
（3）证明：BFD ABD ∽
2BD DF DA ∴=⋅ 又D 是BC 中点
BD CD ∴=
2CD DF DA ∴=⋅
CDF ADC ∴∠=∠
CDF ADC ∴∽
DFC DCA ∴∠=∠
AB AC =，ABC α∠=
1802
BAC BCA α︒-∴∠=∠= 1802DFC DCA BCA α︒-∴∠=∠=∠= 180180EFC 18022
ααα︒-︒-∴∠=︒--= DFC EFC ∴∠=∠
FC ∴平分DFE ∠．
法二：BFD BCE α∠=∠=
∴F 、D 、C 、E 四点共圆 又D 是BC 点，
CD BD CE ∴==
DFC EFC ∴∠=∠
FC ∴平分DFE ∠．
【点睛】
本题考察了相似三角形的判定，全等三角形，角平分线，圆内接四边形等知识点．解题的关键与难点在于角度的转化．解题技巧：多个角度相等时可考虑将几何图形放入圆中利用同弧或等弧所对圆周角相等求解．
4、边长为
过点O作OE⊥BC，垂足为E，利用圆内接四边形的性质求出∠BOC=90°，∠OBC=45°，然后在Rt△OBE中，根据勾股定理求出OE、BE即可．
【详解】
解：过点O作OE⊥BC，垂足为E，
∵正方形ABCD是半径为R的⊙O内接四边形，R＝6，
∴∠BOC=360
4
=90°，∠OBC=45°，OB=OC=6，
∴BE=OE．
在Rt△OBE中，∠BEO=90°，由勾股定理可得
∵OE2+BE2=OB2,
∴OE2+BE2=36,
∴OE= BE=
∴BC=2BE=
即半径为6的圆内接正方形ABCD的边长为
【点睛】
本题考查了圆内接四边形的性质，以及勾股定理，正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，正多
边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形每个中心角都等于360
n
．
5、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．
【点睛】
此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．。