2020年上海16区中考数学二模分类汇编-专题10 几何证明(23题压轴题)(逐题详解版)

2020年上海市16区中考数学二模汇编
专题10 几何证明（23题压轴题）
1.（2020闵行二模）
2.（2020嘉定二模）
3.（2020松江二模）
4.（2020宝山二模）
5.（2020奉贤二模）
6.（2020金山二模）
7.（2020静安二模）
8.（2020长宁二模）
9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模）
13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）
1.（2020闵行二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC．（1）求证：CG=DG；
（2）求证：2
CG GM AG
=⋅．
2.（2020嘉定二模）已知：△ABC，AC
AB=，∠BAC=90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF.
（1）如图6-1，当∠EDF=90°时，求证：BE=AF；
（2）如图6-2，当∠EDF=45°时，求证：.
CF
BE
DF
DE
=
2
2
F
D C
A
B
E
E
D
A
F
3.（2020松江二模）如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC . 点M 、N 分别在弦AB 、AC 上，满足AM=CN .
（1）求证AB=AC ；
（2）联结OM 、ON 、MN ，求证：.
4.（2020宝山二模）如图5，E F 、分别是正方形ABCD 的边DC CB 、的中点，以AE 为边作正方形AEHG ,HE 与BC 交于点Q ，联结AQ DF 、.
（1）求证：AE DF ⊥;
（2）设123,,,CEQ AED EAQ S S S S S S ∆∆∆===，求证123S S S +=.
OA
OM AB MN = A
B
C O M
5.（2020奉贤二模）已知：如图6，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB=90°，对角线AC 、BD 相交于点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且CA CE BC ⋅=2．
（1）求证：AD=DE ；
（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，
求证：AF AE CE ⋅=2．
6. （2020金山二模）如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上一点，联结EN 交AF 于H .
A B C D
E
图6
（1）求证：AF =BD ；
（2）如果GF GM AC AN =，求证：AF ⊥EN .
7.（2020静安二模）已知：如图8，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE=AB ，联结DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．
（1）求证：BG =GF ；
（2）如果AC =2AB ，点F 是DE 的中点，求证：BH GH AH ⋅=2．
E
8.（2020长宁二模）如图6，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上（点
F 与点C 、D 不重合）
，EF BE ⊥，且︒=∠+∠45CEF ABE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）联结BD ，交EF 于点Q ，求证：DF CE BC DQ ⋅=⋅．
9.（2020崇明二模）如图，已知四边形ABCD 菱形，对角线AC BD 、相交于点O ，DH AB ⊥，垂足为点H ，交AC 于点E ，连接HO 并延长交CD 于点G ．
（1）求证：
12DHO BCD ∠=∠； （2）求证：2HG AE DE CG =．
10.（2020浦东二模）.已知：如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，过点E 作AC 的垂线交边BC 于点F ，与AB 的延长线交于点M ，且AB AM AE AC ⋅=⋅．
求证：（1）四边形ABCD
矩形；
（2）2DE EF EM =⋅．
11.（2020徐汇二模） 如图，平行四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别在AB 、BC 、CD 、AD 边上且AE=CG ，AH=CF ．
（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形； （2）如果AB=AD ，且AH=AE ，求证：四边形EFGH 是矩形．
是
12.（2020青浦二模）如图6，在平行四边形ABCD 中，BE 、DF 分别是平行四边形的两个外角的平分线，
12EAF BAD ∠=∠，边AE 、AF 分别交两条角平分线于点E 、F ．
（1）求证：ABE ∆∽FDA ∆；
（2）联结BD 、EF ，如果2
DF AD AB =⋅，求证：BD EF =．
13.（2020•虹口区二模）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在边BC 上，联结AD ，以AD 为一边作△ADE ，
满足AD ＝AE ，∠DAE ＝∠BAC ，联结EC ．
（1）求证：CA 平分∠DCE ；
（2）如果AB 2＝BD •BC ，求证：四边形ABDE 是平行四边形．
G F E D
C B A H
14.（2020杨浦二模）如图，已知在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点M 在线段OD 上，联结AM 并延长交边DC 于点E ，点N 在线段OC 上，且ON=OM ，联结DN 与线段AE 交于点H ，联结EN 、MN .
（1）如果EN //BD ，求证：四边形DMNE 是菱形；
（2）如果EN ⊥DC ，求证：2AN NC AC =⋅.
15（2020黄浦二模） 已知：如图，圆O 是△ABC 的外接圆，AO 平分∠BAC ．
（1）求证：△ABC 是等腰三角形；
（2）当OA ＝4，AB ＝6，求边BC 的长．
16.（2020普陀二模）
2020年上海市16区中考数学二模汇编
专题10 几何证明（23题压轴题）
1.（2020闵行二模）
2.（2020嘉定二模）
3.（2020松江二模）
4.（2020宝山二模）
5.（2020奉贤二模）
6.（2020金山二模）
7.（2020静安二模）
8.（2020长宁二模）
9.（2020崇明二模） 10.（2020浦东二模） 11.（2020徐汇二模） 12.（2020青浦二模）
13.（2020虹口二模） 14（2020杨浦二模） 15（2020黄浦二模） 16.（2020普陀二模）
1.（2020闵行二模）如图，已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=AB，点F为CE的中点，点G在线段CD上，联结DF，交AG于点M，交EG于点N，且∠DFC=∠EGC．（1）求证：CG=DG；
（2）求证：2
CG GM AG
=⋅．
【分析】
（1）首先证明△ECG≌△DCF，则有CG=CF，因为CF=1
2
CE，则有CG=
1
2
CD，则结论可证；
（2）延长AG、BC交于点H，首先证明△ADG≌△HCG，则有AG=HG，然后根据直角三角形斜边中
线有AG=HG=EG，进而得出∠CDF=∠DAH，进一步可证△ADG∽△DMG，则有MG DG
DG AG
=，即
2
DG GM AG
=⋅，又因为CG=DG即可证明结论．
【详解】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，CE=AB，∴AB=CD=EC．
又∵∠DFC=∠EGC，∠FCD=∠GCE，∴△ECG≌△DCF，
∴CG=CF．
∵点F为CE的中点，
∴CF=1
2 CE，
∴CG=1
2 CD，
即：CG=DG．
（2）延长AG、BC交于点H．
∵△ECG≌△DCF，
∴∠CEG=∠CDF，DG=CG．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAH=∠H，∠ADC=∠DCH．∴△ADG≌△HCG，
∴AG=HG．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90°，
∴AG=HG=EG．
∴∠CEG=∠H，
∴∠CDF=∠DAH．
又∵∠AGD=∠DGM，
∴△ADG∽△DMG．
∴MG DG DG AG
，
∴2DG GM AG =⋅
又，CG=DG ，
，2CG GM AG =⋅．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定
及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键．
2.（2020嘉定二模）已知：△ABC ，AC AB =，∠BAC =90°，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上（点
E 不与点A 、B 重合），点
F 在边AC 上，联结DE 、DF .
（1）如图6-1，当∠EDF =90°时，求证：BE =AF ；
（2）如图6-2，当∠EDF =45°时，求证：.CF BE DF DE =22
证明：（1）联结AD （如图6-1）.在Rt △ABC 中，∵︒=∠90BAC ，CD BD =，
∴AD BD =,BC AD ⊥，︒=∠=∠45CAD BAD . ···················································· 1分
在△ABC 中，∵AC AB =，∴C B ∠=∠. ······································································ 1分
∵︒=∠90BAC ，∴︒=∠+∠90C B .∴︒=∠=∠45C B .
又∵︒=∠45CAD ，∴CAD B ∠=∠. ·········································································· 1分
∵︒=∠+∠90ADE BDE ，︒=∠+∠90ADE ADF ，∴ADF BDE ∠=∠. ·················· 1分
在△BDE 和△ADF 中，∵CAD B ∠=∠,AD BD =,ADF BDE ∠=∠,
∴△BDE ≌△ADF . ································································································· 1分
∴AF BE =. ··········································································································· 1分
F
D
C A
B E
E D A F
（2）∵EDF BDE BDF ∠+∠=∠，CFD C BDF ∠+∠=∠，
∴=∠+∠EDF BDE CFD C ∠+∠.又∵︒=∠=∠45EDF C ，∴=∠BDE CFD ∠. ····· 1分
又∵C B ∠=∠，∴△BDE ∽△CFD . ·············································································· 1分
∴DF DE CF BD CD BE ==. ·································································································· 2分 ∴2)(DF
DE CF BD CD BE =⋅. ································································································ 1分 又∵CD BD =，∴.22CF
BE DF DE = ·················································································· 1分 方法2. 如图6-2，联结AD ，过点D 作AB DG ⊥，AC DH ⊥，垂足分别为G 、H .
证出△BDE ∽△CFD ，累计得到 ··················································································· 2分
∴.S S DF DE CFD
BDE △△=22 ········································································································ 1分 写出DH CF DG BE DH CF DG BE S S CFD BDE
⋅⋅=⋅⋅=2
121△△. ········································································ 1分 证出DH DG =， ········································································································ 1分
∴.22CF BE DF
DE = ············································································································ 1分
3.（2020松江二模）如图，已知AB 、AC 是⊙O 的两条弦，且AO 平分∠BAC . 点M 、N 分别在弦AB 、
AC 上，满足AM=CN .
（1）求证AB=AC ；
（2）联结OM 、ON 、MN ，求证：. OA
OM AB MN = F
D
C A
B E
H G E D A B F
证明： (1)过点O 作OD ⊥AB , OE ⊥AC …………………………………………1分
∵AO 平分∠BAC .∴OD=OE …………………………………………………………2分
∴AB =AC ………………………………………………………………………………2分
(2) 联结OB ,∠1，∠2，∠3,∠4，∠5如图所示，
∵AM=CN, AB =AC
∴BM =AN ………………………………………………………………………………1分
∵OA =OB ,∴∠1 =∠3
∵∠1 =∠2,∴∠2 =∠3 ……………………………………………………………1分
∴△BOM ≌△AON ……………………………………………………………………1分
∴∠4=∠5 ,OM =ON …………………………………………………………………1分
∴∠AOB =∠MON ……………………………………………………………………1分
∴△NOM ∽△BOA ……………………………………………………………………1分 ∴OA OM AB MN = ……………………………………………………………………1分
4.（2020宝山二模）如图5，E F 、分别是正方形ABCD 的边DC CB 、的中点，以AE 为边作正方
形AEHG ,HE 与BC 交于点Q ，联结AQ DF 、.
（1）求证：AE DF ⊥;
（2）设123,,,CEQ AED EAQ S S S S S S ∆∆∆===，求证123S S S +=.
A
B
C O M
解析：
（1）证明：∵四边形ABCD 是正方形
∴AD =DC ,∠ADE =∠DCF =90°
在△ADE 和△DCF 中
{AD =DC
∠ADE =∠DCF DF =CE
∴△ADE ≌△DCF （SAS ）
∴∠EAD =∠CDF
∵∠AED +∠CDF =90°
∴∠AED +∠EAD =90°
∴AE ⊥DF
（2）易证△ADE ∽△ECQ
∵E 是CD 的中点
∴1 2
QE CE DE AE AD AD === ∵∠ADE =∠C =90°
∴△AEQ ∽△ADE ∽△ECQ
设CE =DE =a ，则AD =2a ，AE =√5a ∴1315S S =,234 5
S S = ∴123 S S S +=
5.（2020奉贤二模）已知：如图6，在梯形ABCD 中，CD ∥AB ，∠DAB=90°，对角线AC 、BD 相交于
点E ，AC ⊥BC ，垂足为点C ，且CA CE BC ⋅=2．
（1）求证：AD=DE ；
（2）过点D 作AC 的垂线，交AC 于点F ，
求证：AF AE CE ⋅=2．
证明：（1）∵CA CE BC ⋅=2，∴BC CA CE BC ． ································································· （1分） ∵BCA ECB ∠=∠，∴△BCE ∽△ACB ． ····························································· （1分）
∴CBE CAB ． ·
····························································································· （1分） ∵AC ⊥BC
，∠DAB=90°，∴90BEC CBE ∠+∠=︒，90DAE CAB ∠+∠=︒． ∴BEC DAE ． ·
······························································································· （1分） ∵BEC
DEA ，∴DAE DEA ． ····························································· （1分） ∴AD DE ． ·
··········································································································· （1分） （2）∵DF ⊥AC ， AC ⊥BC ，∴∠DFE=∠BCA =90°．∴//DF BC ． ∴CE BE EF DE
=． ··········································································································· （2分） ∵//DC AB ，∴
BE AE DE CE =． ················································································· （1分） ∴CE AE EF CE
=． ··············································································································· （1分） ∵AD DE ，DF ⊥AC ，∴AF EF ． ·
······································································ （1分） ∴2CE AE EF =⋅． ······································································································· （1分）
7. （2020金山二模）如图，已知C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作正方
A B C D
E
图6
形ACDE 和正方形CBGF ，点F 在CD 上，联结AF 、BD ，BD 与FG 交于点M ，点N 是边AC 上一点，联结EN 交AF 于H .
（1）求证：AF =BD ；
（2）如果GF GM AC AN =，求证：AF ⊥EN . 证明：（1），四边形ACDE 和四边形BCFG 是正方形，
，AC =DC ，FC =BC ，，ACF =，DCB =90°，，△ACF ≌△DCB ，---------------------------（4分）
，AF =BD . ---------------------------------------------------------------------------------------------（2分）
（2）在正方形ACDE 和正方形CBGF 中，AC =AE ，GF =GB ，
，AN GM AC GF =，，AN GM AE GB =，
又，，EAN =，BGM =90°，，△AEN ∽△GBM ，，，AEN =，GBM ，-----------------------（2分）
，四边形BCFG 是正方形，∴CD ∥BG ，∴，CDB =，GBM ，
∵△ACF ≌△DCB ，∴，CAF =，CDB ，∴，CAF =，AEN ，----------------------------------（2分）
∵∠EAN =90°，∴，AEN +，ANE=90°，∴，NAH +，ANH=90°，
∴，AHN=90°，∴AF ⊥EN .------------------------------------------------------------------------（2分）
7.（2020静安二模）已知：如图8，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 至点E ，使得AE=AB ，联结
DE 、AC ．点F 在线段DE 上，联结BF ，分别交AC 、AD 于点G 、H ．
（1）求证：BG =GF ；
（2）如果AC =2AB ，点F 是DE 的中点，求证：BH GH AH ⋅=2．
E
证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB =CD ，AB //CD ． ······························································································ （1分）
∵AB =AE ，∴AE =CD ． ······························································································ （1分）
∴四边形ACDE 是平行四边形． ··············································································· （1分）
∴AC//DE ． ················································································································· （1分） ∴1==AE AB GF BG ． ····································································································· （1分） ∴BG =GF ． ·················································································································· （1分）
（2）∵AB =AE ，∴BE =2AE ． ∵AC =2AB ，∴BE =AC ．
∵四边形ACDE 是平行四边形，∴AC=DE ．
∴DE=BE ． ··················································································································· （1分）
∵点F 是DE 的中点，∴ DE=2EF ．
∴AE= EF ． ·················································································································· （1分）
∵∠E =∠E ，∴△BEF ≌△DEA ． ··············································································· （1分）
∴∠EBF =∠EDA ． ······································································································· （1分）
∵AC //DE ，∴∠GAH =∠EDA ．
∴∠EBF =∠GAH ．
∵∠AHG=∠BHA ，∴△AHG ∽△BHA ． ··································································· （1分）
∴AH
GH BH AH =． ∴BH GH AH ⋅=2． ······························································································· （1分）
8.（2020长宁二模）如图6，已知四边形ABCD 是矩形，点E 在对角线AC 上，点F 在边CD 上（点
F 与点C 、D 不重合）
，EF BE ⊥，且︒=∠+∠45CEF ABE ． （1）求证：四边形ABCD 是正方形；。