高中数学 第二第14课时《等比数列的前n项和》教案(学生版) 苏教版必修5

学习札记 第6课时
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学习要求
1．进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n 项和公式；
2．提高分析、解决问题能力，能用等比数列的知识解决某些实际问题。

【自学评价】
1．对于分期付款，银行有如下规定： （１）分期付款为_______计息，每期付款数________，且在期末付款； （２）到最后一次付款时，_______________ _____________等于商品售价的本利之和． 2．若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是_____; 当1q =-，且n 为偶数时，数列
232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，
它不是等比数列. 3. 当1q ≠时，
b aq q
a q q a S n n n +=-+--=
111
1，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征，据此判断数列{}n a 是否为等比数列 【精典范例】
【例1】水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．全国9100万亩的坡耕地需要退耕还林，其中西部地区占７０％．国家确定2000年西部地区退耕土地面积为515万亩，以后每年退耕土地面积递增１２％，那么从2000年起到2020年底，西部地区退耕还林的面积共有多少万亩（精确到万亩）？ 【解】
【例2】某人2020年初向银行申请个人住房公积金贷款20万元购买住房，月利率
3.375‰，按复利计算，每月等额还贷一次，并从贷款后的次月初开始还贷．如果10年还清，那么每月应还贷多少元？
分析：对于分期付款，银行有如下规定： （１）分期付款为复利计息，每期付款数相同，且在期末付款；
（２）到最后一次付款时，各期所付的款额的本利之和等于商品售价的本利之和．
为解决上述问题，我们先考察一般情形．设某商品一次性付款的金额为ａ元，以分期付款的形式等额地分成ｎ次付清，每期期末所付款是ｘ元，则分期付款方式可表示为：
从而有
运用等比数列求和公式，化简得
这就是分期付款的数学模型． 【解】
追踪训练一
1．回答我国古代用诗歌形式提出的一个
数列问题：
远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，
共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？
2．我国1980年底人口以十亿计算．
（１）若我国人口年增长率为1.2％，则到2020年底我国约有多少人口？
（２）要使我国到2020年底人口不超过14亿，那么人口的年平均增长率最高是多少？
3．顾客采用分期付款的方式购买一件5000元的商品，在购买一个月后第一次付款，且每月等额付款一次，在购买后的第12个月将货款全部付清，月利率0.5％．按复利计算，该顾客每月应付款多少元？
4．某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
【解】
【选修延伸】
【例3】设数列{}n a的首项a1=1,前n项的和S n满足关系式3t S n－(2t+3)S n－1=3t(t为常数,且t>0, n=2,3,4,……)。

(1)求证：数列{}n a是等比数列；
(2)设{}n a的公比为f(t)，作数列{}n b，
使得b1=1,b n=f(
1
1
-
n
b
) (n=2,3,4,…)，求
{}
n
b的通项公式。

(3)求和：b1b2－b2b3+b3b4－…+b2n－1b2n－b2n b2n+1
【解】
【例4】在数列{}n a中，
⎩
⎨
⎧-
=
)
(
3
)
(1
2
为偶数
为奇数
n
n
n
a
n
n
求数列{}n a的前n 项和S n.
分析：要分成偶数项和奇数项之和分别求解。

【解】
学习札记
追踪训练二
1．已知等比数列｛a n｝中，前n项和S n=54,S2n=60,则S3n等于（）
2 A.64 B.66 C.60
3 2
D.66
3
2.数列1，1+2,1+2+22，...，(1+2+22+ (2)
－1)，…，前n项和等于（）
A.2n+1－n
B.2n+1－n－2
C.2n－n
D.2n
3．等比数列｛a n｝共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q=___ ___.
学生质疑
教师释疑。