高三数学第一次模拟测试试题 理含解析 试题

2021届高三数学第一次模拟测试试题 理〔含解析〕
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

第一卷〔一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12个小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.
1.设z =-3+2i ，那么在复平面内z 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C 【解析】 【分析】
先求出一共轭复数再判断结果.
【详解】由32,z i =-+得32,z i =--那么32,z i =--对应点〔-3，-2〕位于第三象限．应选C ． 【点睛】此题考点为一共轭复数，为根底题目．
2.设集合{
}
2
2
|560,{|10}A x x x B x x =-+>=-<，那么A B =〔 〕
A. (,1]-∞
B. (1,1)-
C. (,1)-∞-
D. (,1)
(3,)-∞-+∞
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合A 和B ，再求A
B 得解.
【详解】由题得{
}
2
|560{|3A x x x x x =-+>=>或者2}x <，{|11}B x x =-<<， 所以A B =(1,1)-.
应选：B
【点睛】此题主要考察集合的化简和运算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度. 3.某组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为
[)[)[)[)20404060608080100，，，，，，，
.假设低于60分的人数是15人，那么该班的学生人数是〔 〕
A. 45
B. 50
C. 55
D. 60
【答案】B 【解析】 【分析】
根据频率分布直方图求得低于60分的人所占的比例再求解总人数即可. 【详解】易得低于60分的人所占的比例为()200.0050.010.3⨯+=. 故该班的学生人数是15
=500.3
人. 应选：B
【点睛】此题主要考察了频率分布直方图的应用,属于根底题型.
0m n <<，那么以下结论正确的选项是〔 〕
A. 22m n >
B. 0.50.5m n <
C. 22log log m n >
D. 0.50.5log log m n >
【答案】D 【解析】
试题分析：对于A,考察指数函数2x
y =为增函数,所以22m
n ,A 错误；
对于B,考察指数函数0.5x
y =为减函数,所以0.50.5m n >,B 错误；对于C,考察对数函数2log y x =在定义域上为增函数,所以
22log log m n ,C 错误；对于D,考察对数函数0.5log y x =在定义域上为减函数,所以0.50.5log log m n >,D 正确.选D.
考点：指数函数、对数函数的单调性.
5.关于甲、乙、丙三人参加高考的结果有以下三个正确的判断：①假设甲未被录取，那么乙、丙都被录
取；②乙与丙中必有一个未被录取；③或者者甲未被录取，或者者乙被录取.那么三人中被录取的是〔 〕 A. 甲 B. 丙 C. 甲与丙 D. 甲与乙
【答案】D 【解析】 【分析】
分别就三人各自被录取进展分类讨论，分析①②③能否同时成立，进而可得出结论.
【详解】假设甲被录取，对于命题①，其逆否命题成立，即假设乙、丙未全被录取，那么甲被录取， 命题②成立，那么乙、丙有且只有一人录取，命题③成立，那么乙被录取，三个命题能同时成立； 假设乙被录取，命题②成立，那么丙未被录取，命题③成立，命题①成立，其逆否命题成立，即假设乙、丙未全被录取，那么甲被录取，三个命题能同时成立；
假设丙被录取，命题②成立，那么乙未被录取，命题③成立，那么甲未被录取，那么命题①就不能成立，三个命题不能同时成立. 综上所述，甲与乙被录取. 应选：D.
【点睛】此题考察合情推理，考察分类讨论思想的应用，属于中等题.
6.向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+，假设()()m n m n +⊥-，那么λ=〔 〕 A. 4- B. 3-
C. 2-
D. 1-
【答案】B 【解析】
【详解】∵()()m n m n +⊥-，∴()()0m n m n +⋅-=. ∴
，即2
2
(1)1[(2)4]0λλ++-++=，
∴3λ=-,，应选B. 【考点定位】向量的坐标运算 【此处有视频，请去附件查看】
7.()0,απ∈，2sin 2cos21αα=-，那么sin α=( )
A.
15
C.
【答案】D 【解析】 【分析】
利用二倍角公式和同角三角函数的平方关系可求出sin α的值. 【详解】
()0,απ∈，sin 0α∴>，2sin 2cos21αα=-，即()24sin cos 12sin 1ααα=--，
整理得1cos sin 2αα=-，所以22
1cos sin 2cos sin 1sin 0
ααααα⎧
=-⎪⎪+=⎨⎪>⎪⎩
，解得sin 5α=.
应选：D.
【点睛】此题考察利用同角三角函数的根本关系和二倍角公式求值，在解题时要结合角的取值范围判断所求值的符号，考察计算才能，属于中等题.
8.对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x f x x x x ≥⎧=⎨
<⎩
，给出以下四个命题： ①该函数的值域为[]1,1-； ②当且仅当()22
x k k Z π
π=+
∈时，该函数获得最大值；
③该函数是以π为最小正周期的周期函数； ④当且仅当()3222
k x k k Z π
πππ+<<+
∈时，()0f x <. 上述命题中正确命题的个数为〔 〕 A. 1 B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A 【解析】 【分析】
利用特殊值法可判断命题③的正误；作出函数()y f x =在区间[]0,2π上的图象，结合该函数的周期可判断命题①②④的正误.综合可得出结论. 【详解】由题意可知(){}max sin ,cos f x x x =，
对于命题③，3max sin ,cos 33
32f πππ⎛⎫⎧⎫==⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭，4441max sin ,cos 3332f ππ
π⎛⎫⎧⎫==-⎨⎬ ⎪
⎝⎭⎩
⎭，那么433f f π
π⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以，函数()y f x =不是以π为周期的周期函数，命题③错误； 由于()()(){}
{}()2max sin 2,cos 2max sin ,cos f x x x x x f x πππ+=++==， 所以，函数()y f x =是以2π为周期的周期函数.
作出函数()y f x =在区间[]0,2π上的图象如以下图〔实线局部〕所示：
由图象可知，该函数的值域为22⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，命题①错误； 当()2x k k Z π=∈或者()22
x k k Z π
π=
+∈时，该函数获得最大值，命题②错误； 当且仅当()3222
k x k k Z π
πππ+<<+∈时，()0f x <，命题④正确. 应选：A.
【点睛】此题考察有关三角函数根本性质的判断，作出函数的图象是关键，考察数形结合思想的应用，属于中等题. 9.偶函数()2
f x π
+，当(,)22
x ππ
∈-
时，13
()sin f x x x =+． 设(1)a f =，(2)b f =，(3)c f =，那么〔 〕 A. a b c << B. b c a <<
C. c b a <<
D. c a b <<
【答案】D 【解析】
【详解】因为函数2f x π⎛⎫
+
⎪⎝
⎭
为偶函数，所以ππ()()22
f x f x -+
=+， 即函数()f x 的图象关于直线2
x π=对称，即()(2π)f x f x =-，
又因为当,22x ππ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
时，()13sin f x x x =+，所以函数()f x
在(,)22
ππ
-
上单调递增，在π3π
(,)22上单调递减，
因为213π<-<，所以(2)(π1)(1)(3)f f f f >-=>， 即b a c >>；应选D.
10.0m >，0n >，假设直线()()1120m x n y +++-=与圆2
2
2210x y x y +--+=相切，那么m n
+的取值范围为〔 〕
A. )
2⎡++∞⎣
B. )
2,⎡+∞⎣
C. 2,2⎡+⎣
D. (
0,2+
【答案】A 【解析】 【分析】
1=，化简得出1m n mn ++=，利用根本不等式可得出关于
m n +的二次不等式，结合0m n +>可求出m n +的取值范围.
【详解】将圆的方程化为HY 方程得()()2
2
111x y -+-=，该圆的圆心坐标为()1,1，半径为1，
由于直线()()1120m x n y +++-=与圆()()2
2
111x y -+-=相切，
1=，化简得1m n mn ++=，
由根本不等式可得2
12m n m n mn +⎛⎫++=≤ ⎪
⎝⎭
，即
()()2440m n m n +-+-≥， 当且仅当m n =时，等号成立，
0m >，0n >，0
m n ∴+>，解得2m n +≥+
因此，m n +的取值范围是)
2⎡++∞⎣. 应选：A.
【点睛】此题考察利用直线与圆相切求参数的取值范围，解题的关键就是利用根本不等式构造不等式求解，考察运算求解才能，属于中等题.
11.设12,F F 分别为双曲线22
22:1(,0)x y C a b a b
-=>的左右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12F F 为直径
的圆交双曲线某条渐近线于,M N 两点，且满足120MAN ∠=，那么该双曲线的离心率为〔 〕
A. 3
C.
23
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出M ，N 的坐标，再利用余弦定理，求出a ，c 之间的关系，即可得出双曲线的离心率． 【详解】设以12F F 为直径的圆与渐近线b
y x a
=相交于点M 的坐标为0(x ，00)(0)y x >， 根据对称性得N 点的坐标为0(x -，0)y -，
∴0022200b y x a x y c
⎧=⎪
⎨⎪+=⎩；
解得(,)M a b ，(,)N a b --； 又
(,0)A a -，且120MAN ∠=︒，
∴由余弦定理得222224()cos c a a b b b =+++
-120︒，
化简得2273a c =， c e a ∴=
=
应选：A ．
【点睛】此题考察了双曲线的HY 方程与几何性质的应用问题，解题时应熟记它的几何性质是什么，属于根底题．
12.定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)
[)232
,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭
⎩，假设当[)4,2x ∈--时，不等式()21
42
m f x m ≥-+恒成立，那么实数m 的取值范围是〔 〕
A. []2,3
B. []1,3
C. []1,4
D. []
2,4
【解析】 【分析】
先将不等式转化为函数最值问题，再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值，最后解不等式得结果.
【详解】因为当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，所以()2min 142
m f x m ≥-+，
当[)[
)4,2,40,2x x ∈--+∈时，
()()()112424f x f x f x =+=+ ()()[)[)2342144,40,1411,41,242x x x x x +-
⎧⎡⎤+-++∈⎪⎣⎦
⎪=⎨⎛⎫⎪
-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩
当[)40,1x +∈时，()()()2
11114444416
f x x x ⎡⎤=+-+≥-⨯=-⎣⎦，当[)41,2x +∈时，
()342
111424
x f x +-
⎛⎫
=-≥- ⎪
⎝⎭
，因此当[)4,2x ∈--时，()2
min
1113442m f x m m =-≥-+∴≤≤，选B. 【点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数别离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上详细的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意别离参数法不是万能的，假如别离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用别离参数法.
第二卷〔一共90分〕
二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕 13.曲线C :ln y x x =在点(),M e e 处的切线方程为_______________. 【答案】y=2x ﹣e 【解析】
'ln 1y x =+，'|ln 12x e y e ==+=，所以切线方程为2()y e x e -=-，化简得20x y e --=.
14.直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，假设1AB AC ==，12AA =，120BAC ∠=，那么此球的外表积等于__________. 【答案】8π 【解析】
由题意可知，直三棱柱111ABC A B C -的高为1h AA =，利用正弦定理求出ABC ∆的外接圆半径r ，然后
利用公式2
22h R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
求出该直三棱柱的外接球半径R ，最后利用球体的外表积公式即可计算出该球的外表积.
【详解】由题意可知，直三棱柱111ABC A B C -的高为12h AA ==，
在ABC ∆中，1AB AC ==，那么该三角形为等腰三角形，又120BAC ∠=，30ABC ∴∠=， 设ABC ∆的外接圆半径为r ，由正弦定理得1
22sin sin 30
AC r ABC =
==∠，1r ∴=.
设直三棱柱111ABC A B C -的外接球半径为R ，那么2
2
22h R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭
， 因此，该球的外表积为248R ππ=. 故答案为：8π.
【点睛】此题考察球体外表积的计算，涉及多面体的外接球问题，考察分析问题和解决问题的才能，属于中等题.
15.如图，抛物线21:4C y x =和圆22
2:(1)1C x y -+=，直线l 经过1C 的焦点F ，依次交12,C C 于
,,,A B C D 四点，那么AB CD ⋅的值是__________．
【答案】1 【解析】
由题得11||||||11AB AF BF x x =-=+-=，同理2||CD x =，由此可以求出AB CD ．
【详解】抛物线2
1:4C y x =的焦点为(1F ，0)，
直线l 经过1C 的焦点(1,0)F ， 设直线l 的方程为(1)y k x =-， 联立2
(1)4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，得2222
(24)0k x k x k -++=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，
那么11||||||11AB AF BF x x =-=+-=， 同理2||CD x =，
∴12||||cos ,1AB CD AB CD AB CD x x =<>==．
故答案为：1
【点睛】此题考察直线和抛物线的位置关系，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．
16.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，那么4a c +的最小值为________． 【答案】9 【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用根本不等式求最值.
详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得
111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11
,1ac a c a c
=++=，因此
1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+=
当且仅当23c a ==时取等号，那么4a c +的最小值为9.
点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.
三、解答题：一共7017～2122、23题为选考题，考生根据要求答题. 17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面
,2,1ABCD PA AD AB ===,AM PD ⊥于点M ，连接BM .
〔1〕求证：PD BM ⊥；
〔2〕求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值. 【答案】〔1〕见解析〔26
【解析】 【分析】
〔1〕证明PD ⊥平面ABM 即证明PD BM ⊥；〔2〕如下图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系
A xyz -，利用向量方法求直线CD 与平面ACM 所成角的正弦值.
【详解】〔1〕证明：
PA ⊥平面,ABCD AB ⊂平面,ABCD PA AB ∴⊥.
四边形ABCD 为矩形，
,,AB AD AD PA A AD ∴⊥⋂=⊂平面,PAD PA ⊂,平面PAD ,
AB ∴⊥平面PAD .
PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥.
,,AM PD AB AM A AB ⊥⋂=⊂平面,ABM AM ⊂平面ABM ,
PD ∴⊥平面ABM .
又
BM ⊂平面ABM ,PD BM ∴⊥；
〔2〕如下图，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -， 那么(0,0,0),(0,0,2),(1,0,0),(1,2,0),(0,2,0),(0,1,1)A P B C D M .
(1,2,0),(0,1,0).(1,0,0)AC AM CD ∴===-.
设平面ACM 的一个法向量为(,,)n x y z =，
由,n M n AC A ⊥⊥可得20
x y y z +=⎧⎨
+=⎩；
令1z =，得2, 1.(2,1,1)x y n ==-∴=-. 设直线CD 与平面ACM 所成的角为α， 那么|2|6
sin |cos ,|316
||
CD n CD n CD n α⋅-=<>=
=
=⨯. ∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为63
.
【点睛】此题主要考察空间位置关系的证明，考察空间角的计算，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度.
18.ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c 分别满足22c b ==，2cos cos cos 0b A a C c A ++=，又点D 满足12
33
AD AB AC =
+．
〔1〕求a 及角A 的大小； 〔2〕求||AD 的值． 【答案】(1) 7a =2
3
AD =
【解析】
试题分析：〔1〕由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理化简可得即
()2sin cos sin sin B A A C B -=+=，从而得1cos 2A =-．又()0,A π∈，所以23
A π
=，由余弦定理得
a =〔2〕由1233AD AB AC =+，得2
21233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以2
3
AD =
． 试题解析：〔1〕由2cos cos cos 0b A a C c A ++=及正弦定理得2sin cos sin cos cos sin B A A C A C -=+， 即()2sin cos sin sin B A A C B -=+=， 在ABC ∆中，sin 0B >，所以1
cos 2
A =-． 又()0,A π∈，所以23
A π=
． 在ABC ∆中，由余弦定理得222222cos 7a b c bc A b c
bc =+-=++=， 所以a =
〔2〕由1233AD AB AC =+，得2
21233AD AB AC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
444142199929⎛⎫=++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以2
3
AD =
． 19.数列{}n a ，{}n b 满足11a =，112b =
，1122n n n a a b +=+，11
22
n n n b a b +=+. 〔1〕证明：数列{}n n a b +，{}n n a b -为等比数列； 〔2〕记n S 为数列{}n a 的前n 项和，证明：10
3
n S <. 【答案】〔1〕见证明；〔2〕见证明 【解析】 【分析】
〔1〕将题中条件分别相加和相减，结合等比数列的定义，即可得证．
〔2〕根据〔1〕结论可求出1344n n
n a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，那么前n 项和n S 为两个等比数列的前n 项和之和，代入公式，即可求解．
【详解】〔1〕依题：11122
122n n n n n n a a b b a b
++⎧
=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，两式相加得：()1134n n n n a b a b +++=+，∴{}n n a b +为等比数
列，两式相减得：()111
4
n n n n a b a b ++-=
-，∴{}n n a b -为等比数列. 〔2〕由上可得：1
3324n n n a b -⎛⎫
+= ⎪
⎝⎭①，1
1124n n n a b -⎛⎫
-= ⎪
⎝⎭
②，两式相加得：1344n n
n a ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，113311444413
1144
n
n n S ⎛⎫⎛⎫--
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=
+--
1310441331144<+=--.
【点睛】此题考察了等比数列的证明与求解，与等比数列的求和与放缩.旨在考察考生的根本运算才能，方程思想，对式子的构造感知才能，以及体会式子之间的协作互助性并利用之. 20.函数(
)
2
2
()22ln 4f x x x x x x =--+.
〔1〕求()f x 在x e =处的切线方程〔e 为自然对数的底数〕；
〔2〕设32
()33()g x x x x f x =-++，假设1212,(0,)x x x x ∈+∞≠且，满足()()128g x g x +=，求证：
121x x <.
【答案】〔1〕()2
41340e y e e x ---+=〔2〕证明见解析
【解析】 【分析】
〔1〕求出导函数()f x '
，切线方程为()'()()y f e f e x e -=-，化简即可；
〔2〕先由导数确定()g x 在(0,)+∞上单调递增，不妨设120x x <<，那么()()12g x g x <，又
()()128g x g x +=，()14g =，那么()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<，这是重要的一个结论，
构造函数1()()()G x g x g x
=+()01x <<，求出()G x '，可确定()G x 在(0,1)上递减，于是
()(1)8G x G >=，于是1()8G x >，下面只要证明21
1
()()g g x x >即可。

【详解】〔1〕2()f e e =，()()41ln ,f x x x =-'那么()4(1)f e e '=-，
故()f x 在x e =处的切线方程为()()2
41e e y x e -=--即()2
41340e y e e x ---+=；
〔2〕证明：由题可得()()()2
3141ln g x x x x =-+-'，()10g '=，
当01x <<时，10,ln 0x x -<<，那么()0g x '>；当1x >时，10,ln 0x x ->>，那么()0g x '>，
所以，当0x >时，()0g x '≥，()g x 在()0,∞+上是增函数. 设()()()101G x g x g x x ⎛⎫
=+<<
⎪⎝⎭
， 那么()()()()22431111311411ln G x g x g x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=-
=--+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝'⎝⎭⎭
''， 当01x <<时，10,ln 0x x -<<，43
1110,10,x x
-
<-<那么()0G x '
<，()G x 在()0,1上递减. 不妨设120x x <<，由于()g x 在()0,∞+上是增函数，那么()()12g x g x <， 又()()128g x g x +=，()14g =，那么()()()121g x g g x <<，于是1201x x <<<， 由101x <<，()G x 在()0,1上递减，
那么()()()11218G x G g >==，所以()1118g x g x ⎛⎫+>
⎪⎝⎭，那么()()12118g g x g x x ⎛⎫
>-= ⎪⎝⎭
， 又2111,1x x >>，()g x 在()0,∞+上是增函数，所以，21
1
x x >，即121x x <. 【点睛】此题考察导数的几何意义，考察用导数研究函数的单调性，用导数证明不等式。

此题不等式证明难度很大，首先不妨设120x x <<，由()g x 的单调性得1201x x <<<，因此要证题设不等式只要证
211
(
)()g g x x >，为此构造新函数1()()()G x g x g x
=+，利用它在(0,1)上的单调性完成证明。

构造新函数学生难以想到，需要学生反复学习、练习，不断归纳总结，都有可能HY 完成。

21.如图，设椭圆22
22:10x y C a b a b
+=>>（）
的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且1222F F F Q +=
0，假设过 A ，Q ，F 2
三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，过定点 M 〔0，2〕的直线1l 与椭圆C 交于G ，H 两点〔点G 在点M ，H 之间〕.
〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设直线1l 的斜率0k >，在x 轴上是否存在点P 〔m ，0〕，使得以PG ，PH 为邻边的平行四边形是菱形？假如存在，求出m 的取值范围；假如不存在，请说明理由；〔Ⅲ〕假设实数λ满足MG MH λ=，求λ的取值范围．
【答案】〔1〕22
143x y +=;〔2〕743743
λ-≤<+;〔3〕322
c c --=. 【解析】
试题分析：〔1〕利用向量确定F 1为F 2Q 中点，设Q 的坐标为〔-3c ，0〕，因为AQ⊥AF 2，所以b 2=3c×c=3c 2，
a 2=4c×c=4c 2
，再由直线与圆相切得()
•0PG PH GH += 解得c=1，利用椭圆根本量之间的关系求b ；
〔2〕假设存在，设1l 方程，联立方程组，消元后由判别式大于0可得出1
2
k >
，又四边形为菱形时，对角线互相垂直，利用向量处理比拟简单，
2
2
16(1)()42034k k k m k
+-+-=+，化简得〔x 1+x 2〕-2m+k 2
〔x 1+x 2〕+4k=0，再由122
1634k x x k
+=-+ 代入化简得：222
3344k m k k k
=-=-
++， 解得121222
164
,3434k x x x x k k +=-=++，利用均值不等式范围；〔3〕 斜率存在时设直线方程，联立消元，MG MH λ=,再由1222F F F Q +=，进展坐标运算，代入化简，别离k 与λ，
利用k 的范围求λ，注意验证斜率不存在时情况． 试题解析：〔1〕因为PG PH +=0,所以F 1为F 2Q 中点
设Q 的坐标为〔-3c ，0〕，因为AQ⊥AF 2，所以b 2
=3c×c=3c 2
，a 2
=4c×c=4c 2
， 且过A ，Q ，F 2三点的圆的圆心为F 1〔-c ，0〕，半径为2c ．
因为该圆与直线L 相切，所以()
•0PG PH GH += 解得c=1，所以a=2，3b =
故所求椭圆方程为
22
143
x y +=．
〔2〕设L 1的方程为y=kx+2〔k>0〕由得〔3+4k 2〕x 2+16kx+4=0,
由△>0，得2
14k >
所以k>1/2,设G 〔x 1，y 1〕，H 〔x 2，y 2〕，那么122
1634k
x x k +=-+所以GH =〔x 1-m ，
y 1〕+〔x 2-m ，y 2〕 =〔x 1+x 2-2m ，y 1+y 2〕 =〔x 1+x 2-2m ，k 〔x 1+x 2〕+4〕3
-06
m ≤<〔x 2-x 1，y 2-y 1〕=〔x 2-x 1，k 〔x 2-x 1〕〕,由于菱形对角线互相垂直，因此2
2
16(1)()42034k
k k m k
+-
+-=+所以〔x 2-x 1〕[〔x 1+x 2〕-2m]+k 〔x 2-x 1〕[k 〔x 1+x 2〕+4]=0,故〔x 2-x 1〕[〔x 1+x 2〕-2m+k 2
〔x 1+x 2〕+4k]=0因为k>0，所以x 2-x 1≠0所以〔x 1+x 2〕-2m+k 2
〔x 1+x 2〕+4k=0，即〔1+k 2
〕〔x 1+x 2〕+4k-2m=0，所以
,解得1212
22
164
,3434k x x x x k k +=-
=++， 因为k>0，所以21221221,x x x x x x λλ+=+=（）故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是743743λ-≤<+．〔3〕
①当直线L 1斜率存在时，设直线L 1方程为y=kx+2，代入椭圆方程22
143
x y +=,得〔3+4k 2〕x 2+16kx+4=0
, 由△>0，得2
1
4
k >
,设G 〔x 1，y 1〕，H 〔x 2，y 2〕， 那么MG MH λ=,又1222F F F Q +=，所以〔x 1，y 1-2〕=λ〔x 2，y 2-2〕， 所以x 1=λx 2， 所以
2
2
164
34k λλ
+=
+（）
,∴
∴,整理得
264
41634k
<
<+ ,因为2
14k >， 所以2
1416λλ
+<<（）
743743λ-<<+解得7431λ-<<又0＜λ＜1，所以((03,03,G H ，，
．②当直线L 1斜率不存在时，直线L 1的方程为x=0， 032MG =（，） 032MH =（），23
23
MG MH -=+，743λ=-所以7431λ-≤< ．
综上所述，{}|12x x -≤≤ ．
点睛：此题主要考察了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程
的方法一般就是根据条件建立,,a b c 的方程，求出22
,a b 即可，注意222
,c
a b c e a
=+=
的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，防止不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出
1212,x x x x +⋅，再根据详细问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
22.以平面直角坐标系的坐标原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，以平面直角坐标系的长度为长
度单位建立极坐标系. 直线l 的参数方程为23{
12x t
y t
=-=-+ 〔为参数〕，曲线
的极坐标方程为
2sin 4cos ρθθ= .
(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线与曲线C 相交于A B 、两点，求AB . 【答案】〔1〕2
4y x =〔2143【解析】
【试题分析】〔1〕借助极坐标与直角坐标之间的互化关系进展求解；〔2〕先将直线的参数方程代入抛物线方程中，借助根与系数的关系及直线方程中的参数的几何意义求弦长： 解： (1)由2
sin 4cos ρθθ=，既2
2
sin 4cos ρθρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为2
4y x =.
(2)
l 的参数方程为代入2
4y x =，整理的24870t t +-=，所以122t t +=-，1274
t t =-
所以()
()
2
2
2121212321341347143AB t t t t t t =
-+-=+-=+=23.不等式选讲，函数13()22
f x x x =+
+-. (1)求不等式()3f x ≤的解集； (2)假设关于x 的不等式1
()12
f x a <
- 的解集是空集，务实数a 的取值范围. 【答案】〔1〕13
322
x x +
+-≤〔2〕[]3,5- 【解析】
【试题分析】〔1〕根据绝对值的定义运用分类整合的数学思想将问题进展转化，再建立不等式组分类求解；〔2〕借助绝对值三角不等式求函数的最小值，然后建立不等式分析求解： 解：
(1)3{221236
x x x >
∴++-≤
()13{2221236x x x -
≤≤+--≤，或者()()1{221236
x x x <-
-+--≤，或者()()()2212321234f x x x x x =++-≥+--=，
∴解得
322x <≤，或者1322x -≤≤，或者1
12
x -≤<- 即不等式的解集为{|12}x x -≤≤. (2) ()min
24f x ⎡⎤=⎣⎦ ∴ ()1
12f x a <-
又 14a -≤的解集是空集 ∴ 14a -≤ 故实数a 的取值范围是[]
3,5-
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。