2022年最新精品解析冀教版九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克试题(含详解)

九年级数学下册第三十章二次函数专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、一个球从地面竖直向上弹起时的速度为8米/秒，经过t 秒时球的高度为h 米，h 和t 满足公式：ℎ=ℎ0ℎ−12ℎℎ2(ℎ0表示球弹起时的速度，g 表示重力系数，取10g =米/秒
)2，则球不低于3米
的持续时间是（ ）
A ．0.4秒
B ．0.6秒
C ．0.8秒
D ．1秒 2、将函数2y x =-的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（ ）
A ．()212y x =-++
B ．()221y x =-++
C ．()212y x =--+
D ．()221y x =-+-
3、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）
A ．
B ．10米
C ．
D ．12米
4、如图，要在二次函数()y x 2x =-的图象上找一点(),M a b ，针对b 的不同取值，所找点M 的个数，有下列三种说法：①如果3b =-，那么点M 的个数为0；②如果1b =．那么点M 的个数为1；③如果3b =，那么点M 的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）
A ．①
B ．②
C ．③
D ．②③
5、已知关于x 的二次函数2(1)2y x a x a =+--+，当1x <-时，y 随x 的增大而减小，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．3a
B ．3a >
C ．3a
D ．3a < 6、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使1y ≤成立的x
的取值范围是（ ）
A ．31x -≤≤
B ．1≥x
C ．3x ≤-
D ．3x ≤-或1≥x 7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么点,a P b c
⎛
⎫ ⎪⎝⎭在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8、已知点()11,A x y 、()22,B x y 在二次函数2y x bx c =++的图象上，当11x =，23x =时，12y y =．若对于任意实数1x 、2x 都有122y y +≥，则c 的范围是（ ）．
A ．5c ≥
B ．6c ≥
C ．5c <或6c >
D ．56c <<
9、如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为P （﹣2，2），且与y 轴交于点A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点P 沿直线y ＝﹣x 由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y 轴交于点A ′，则AA ′的长度为（ ）
A ．214
B ．334
C ．
D ．D 3
10、已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程
20ax bx c m ++-=有两个不相等的实数根，下列结论：①240b ac -<；②0abc >；③0a b c -+<；④2m >-．其中正确结论的个数有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋4的图象如图所示，则关于x 的方程a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＝﹣4的根为______．
2、将抛物线y ＝﹣2（x +2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 _____．
3、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y=-0.3x 2+1.5x -1，则最佳加工时间为__min ．
4、当x ≥m 时，两个函数y 1＝﹣（x ﹣4）2＋2和y 2＝﹣（x ﹣3）2＋1的函数值都随着x 的增大而减小，则m 的最小值为_____．
5、如图边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1、A 2、A 3、...、An ﹣1为OA 的n 等分点，B 1、B 2、B 3、...、Bn ﹣1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、...、An ﹣1Bn ﹣1，分别交21(0)y x x n
=≥于点C 1、C 2、C 3、...、Cn ﹣1.当B 25C 25＝8C 25A 25时，则n ＝_____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知二次函数的图像经过点()1,0，()2,3，()0,5-．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若二次函数的图像与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点为P ，则以A ，B ，C ，P 为顶点的四边形的面积为__________；
(3)将二次函数的图像向左平移()0m m >个单位后恰好经过坐标原点，则m 的值为__________．
2、已知一抛物线的顶点为（2，4），图象过点（1，3）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)动点P （x ，5）能否在抛物线上？请说明理由；
(3)若点A （a ，y 1），B （b ，y 2）都在抛物线上，且a ＜b ＜0，比较y 1，y 2的大小，并说明理由．
3、已知二次函数()2
12=+-y a x 的图象经过点()5,6-． (1)求二次函数的表达式；
(2)求二次函数的图象与y 轴的交点坐标．
4、已知二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，0a ≠）中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下
表：
(1)求该二次函数的表达式；
(2)该二次函数图像关于y 轴对称的图像所对应的函数表达式是______．
5、如图，要用篱笆（虚线部分）围成一个矩形苗圃ABCD ，其中两边靠的墙足够长，中间用平行于AB 的篱笆EF 隔开，已知篱笆的总长度为18米，设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ）．
(1)求y 与x 的函数关系式；
(2)求所围矩形苗圃ABCD 的面积最大值；
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
根据已知得到函数关系式285h t t =-，将h =3代入，求出t 值的差即为答案．
【详解】
解：由题意得221
810852
h t t t t =-⨯=-，
当h =3时，2853t t -=，
解得120.6,1t t ==，
∴球不低于3米的持续时间是1-0.6=0.4（秒），
故选：A ．
【点睛】
此题考查了二次函数的实际应用，解一元二次方程，正确理解题中各字母的值，代入求出函数解析式解决问题是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．
【详解】
解：将抛物线2y x =-先向上平移1个单位，则函数解析式变为21y x =-+
再将21y x =-+向左平移2个单位，则函数解析式变为2(2)1y x =-++，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．
3、B
【解析】
【分析】
以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y =ax 2，由此可得A （-10，-4），B （10，-4），即可求函数解析式，再将y =-1代入解析式，
求出C 、D 点的横坐标即可求CD 的长．
【详解】
以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y =ax 2，
∵O 点到水面AB 的距离为4米，
∴A 、B 点的纵坐标为-4，
∵水面AB 宽为20米，
∴A （-10，-4），B （10，-4），
将A 代入y =ax 2，
-4=100a ， ∴125
a =-， ∴2125y x =-
， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，
∴C 点的纵坐标为-1， ∴21125
x -=- ∴x =±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
4、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，
()
∴=-
2
b a a
当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M 的个数为0，故③错误；
故选：B ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
5、C
【解析】
【分析】
由二次函数的性质,取得开口方向以及对称轴，进而可确定出a 的范围．
【详解】
解：()212y x a x a =+--+，
∴抛物线开口向上，对称轴为12
a x -=， ∴当12
a x -<时，y 随x 的增大而减小， 在1x <-时，y 随x 的增大而减小， ∴112a
--，
解得3a ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查二次函数图象性质，不等式的解法．能够得出关于a 的不等式，并正确求解不等式是解题关键．
6、D
【解析】
【分析】
根据函数图象写出y =1对应的自变量x 的值,再根据1y ≤判断范围即可．
【详解】
由图可知，使得()201y ax bx c a =++≠=时123,1x x =-=
使1y ≤成立的x 的取值范围是3x ≤-或1≥x
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．
7、C
【解析】
【分析】
根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置即可判断出a 、b 、c 的符号，进而求出,a P b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭的符号．
【详解】
由函数图像可得：
∵抛物线开口向上，
∴a ＞0，
又∵对称轴在y 轴右侧， ∴02b a
->， ∴b <0，
又∵图象与y 轴交于负半轴，
∴c ＜0， ∴0a c
< ∴,a P b c
⎛
⎫ ⎪⎝⎭在第三象限 故选：C
【点睛】
考查二次函数y =ax 2+bx +c 系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y 轴的交点的位置判断出a 、b 、c 的符号是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
先根据二次函数的对称性求出b 的值，再根据对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，则二次函数y =x 2-4x +n 的最小值大于或等于1即可求解．
【详解】
解：∵当x 1=1、x 2=3时，y 1=y 2，
∴点A 与点B 为抛物线上的对称点， ∴1322
b +-=， ∴b =-4；
∵对于任意实数x 1、x 2都有y 1+y 2≥2，
∴二次函数y =x 2-4x +n 的最小值大于或等于1， 即2
41(4)141
c ⨯⨯--≥⨯，
∴c ≥5．
故选：A ．
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0），其对称轴是直线：2b x a
=-，顶点纵坐标是244ac b a -，抛物线上两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若有y 1=y 2，则P 1，P 2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：122x x x +=
． 9、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A ′的坐标，进而得出AA ′的长度．
【详解】
∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为P （﹣2，2），
∴y ＝a （x +2）2+2，
∵与y 轴交于点A （0，3），
∴3＝a （0+2）2+2，解得a ＝14
∴原抛物线的解析式为：y ＝14
（x +2）2+2， ∵平移该抛物线使其顶点P 沿直线y ＝﹣x 由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y ＝14
（x ﹣1）2﹣1， ∴当x ＝0时，y ＝34-，
∴A ′的坐标为（0，3
4-），
∴AA ′的长度为：3﹣（34-）＝334
． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
10、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x 轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2-4ac >0，故①是错误的；
由图象可知，当x =-1时，y =a -b +c >0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a >0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，因此b <0，与y 轴交点在负半轴，因此c <0，所有abc >0，因此②正确的；
由关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c -m =0有两个不相等的实数根，就是当y =m 时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x 1，m ），（x 2，m ），由图象可知此时m >-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B ．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a 、b 、c 的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
二、填空题
1、x =-5或x =0##0x =或5x =-
【分析】
根据图象求出方程ax2＋bx＋4=0的解，再根据方程的特点得到x+1=-4或x+1=1，求出x的值即可．
【详解】
解：由图可知：二次函数y＝ax2＋bx＋4与x轴交于（-4，0）和（1，0），
∴ax2＋bx＋4=0的解为：x=-4或x=1，
则在关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4中，
x+1=-4或x+1=1，
解得：x=-5或x=0，
即关于x的方程a（x＋1）2＋b（x＋1）＝-4的解为x=-5或x=0，
故答案为：x=-5或x=0．
【点睛】
本题考查的是抛物线与x轴的交点，能根据题意利用数形结合求出方程的解是解答此题的关键．
2、y＝﹣2（x﹣1）2+3
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．
【详解】
解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2+5向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+2﹣3）2+5﹣2，即y＝﹣2（x﹣1）2+3．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2+3．
【点睛】
此题考查了抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，熟记规律是正确解题的关键．
【解析】
【分析】 根据二次函数的对称轴公式2b x a
=-
直接计算即可． 【详解】
解：∵20.3 1.51y x x =-+-的对称轴为()
1.5
2.5220.3b x a =-=-=⨯-（min ）， 故：最佳加工时间为2.5min ，
故答案为：2.5．
【点睛】
此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
4、4
【解析】
【分析】
先确定两个函数的开口方向和对称轴，再得出符合条件的x 的取值范围，从而得到m 的最小值．
【详解】
解：函数y 1＝﹣（x ﹣4）2＋2开口向下，对称轴为直线x =4，
函数y 2＝﹣（x ﹣3）2＋1开口向下，对称轴为直线x =3，
当函数值都随着x 的增大而减小，
则x ≥4，即m 的最小值为4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是掌握二次函数的基本性质．
5、75
【解析】
【分析】
根据题意表示出OA 25，B 25A 25的长，由B 25C 25=8C 25A 25确定点C 25的坐标，代入解析式计算得到答案．
【详解】
解：∵正方形OABC 的边长为n ，点A 1，A 2，…，An -1为OA 的n 等分点，点B 1，B 2，…，Bn -1为CB 的n 等分点，
∴OA 25=25n
•n =25，A 25B 25=n ， ∵B 25C 25=8C 25A 25，
∴C 25（25，9n ），
∵点C 25在21(0)y x x n =
≥上， ∴21259n
n =⨯，
解得n =75．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C 25的坐标是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)265y x x =-+-
(2)18
(3)1或5
【解析】
【分析】
（1）把点()1,0，()2,3，()0,5-代入二次函数解析式：y =ax 2+bx +c ，求出即可；
（2）分别求出A 、B 、C 、P 四点的坐标．利用S 四边形ACBP =S △ABP +S △ABC 进行计算；
（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．
(1)
解：（1）设二次函数的表达式为2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），
由题意知，该函数图象经过点()1,0，()2,3，()0,5-，得
04235a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩
， 解得165a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
， ∴二次函数的表达式为265y x x =-+-.
(2)
解：∵265y x x =-+-
当y =0时，2650x x -+-=
解得：x 1=1，x 2=5
∴点A 坐标为(1，0)、点B 坐标为(5，0)；
当x =0时，y =-5，
∴点C 坐标为(0，-5)；
把265y x x =-+-化为y =-(x -3)2+4
∴点P 坐标为(3，4)；
由题意可画图如下：
∴S 四边形ACBP =S △ABP +S △ABC =
()11514(51)522⨯-⨯+⨯-⨯ ＝18，
故答案是：18；
(3)
由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．
故：m =1或5．
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．
2、 (1)()2
24y x =--+
(2)不在，见解析
(3)y 1＜y 2，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件设抛物线的解析式为顶点式()224y a x =-+，把点（1，3）的坐标代入所设的解析式中即可求得a ，从而可求得函数解析式；
（2）把点P 的纵坐标代入抛物线的解析式中，得到关于x 的二元一次方程，若方程有解，则点P 在抛物线，否则不在抛物线上；
（3）抛物线的对称轴为直线x =2，根据抛物线的增减性质即可比较大小．
(1)
设抛物线的解析式为()224y a x =-+ 把点（1，3）的坐标代入()224y a x =-+中，得a +4=3
∴1a =-
即抛物线的解析式为()224y x =--+；
(2)
动点P （x ，5）不在抛物线上
理由如下：
在()224y x =--+中，当y =5时，得()2524x =--+
即()221x -=-
此方程无解
故点P 不在抛物线上；
(3)
y 1＜y 2
理由如下：
抛物线的对称轴为直线x =2
∵二次项系数−1<0，且02a b <<<
∴函数值随自变量的增大而增大
即y 1＜y 2
【点睛】
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的图象与性质等知识，熟练掌握这些知识是关键，属于二次函数的基础题目．
3、 (1)y ＝12x 2+ x ﹣32
； (2)（0，﹣32
）． 【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法，把()5,6-代入函数解析式即可求；
（2）令x ＝0，求得y 的值即可得出结论．
(1)
解：∵二次函数y ＝a （x +1）2﹣2的图象经过点（﹣5，6），
∴a （﹣5+1）2﹣2＝6．
解得：a ＝1
2．
∴二次函数的表达式为：y ＝12（x +1）2﹣2，即y ＝12x 2+ x ﹣32； (2)
解：令x ＝0，则y ＝12×（0+1）2﹣2＝﹣32
， ∴二次函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，﹣32
）． 【点睛】
本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
4、 (1)二次函数的表达式为：223y x x =-- ；
(2)223y x x =+-．
【解析】
【分析】
（1）观察表格数据，由()0,3-、()2,3-可知，二次函数图象的顶点坐标为()1,4-，设二次函数的表达式为()2
14y a x --＝，再选一组值代入即可求出a 值，解析式即可确定； （2）先根据顶点坐标求出关于y 轴对称的顶点坐标，然后设抛物线解析式为()2
14y a x +-＝，结合表中数据可得函数图象经过()0,3-，代入求解即可确定抛物线解析式．
(1)
解：观察表格数据，由()0,3-、()2,3-可知，二次函数图象的顶点坐标为()1,4-，
设二次函数的表达式为()2
14y a x --＝， 把()0,3-代入()2
14y a x --＝得， −3=ℎ(0−1)2−4，
∴1a =，
∴()2
14y x =--， 即223y x x =-- ；
(2)
解：抛物线的顶点是()1,4-，关于y 轴的对称点()1,4--，开口方向与原抛物线相同，
设二次函数的表达式为()2
14y a x +-＝， ()0,3-在y 轴上且在函数图象上，
将其代入函数表达式为：()2
3014a -=+-，
解得：1a =，
∴关于y 轴对称的图象所对应的函数表达式为()221423y x x x +-=+-＝， 故答案为：223y x x =+-．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式及抛物线的轴对称变换问题，求出关键点的对称点坐标是解题关键．
5、 (1)y ＝﹣2x 2＋18x
(2)812
m 2 【解析】
【分析】
（1）设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-，根据矩形的面积公式求解即可；
（2）根据顶点坐标公式计算即可求解
(1)
设矩形苗圃ABCD 的一边AB 的长为x （m ），矩形苗圃ABCD 面积为y （2m ），则()182BC x =-， 根据题意得：y ＝x （18﹣2x ）＝﹣2x 2＋18x ；
(2)
二次函数y ＝﹣2x 2＋18x （0＜x ＜9），
∵a ＝﹣2＜0，
∴二次函数图象开口向下，
且当x ＝﹣182(2)⨯-＝92
时，y 取得最大值， 最大值为y ＝92×（18﹣2×92）＝812
（m 2）； 【点睛】
本题考查了一元二次函数的应用，用代数式表示出()182BC x =-是解题的关键．。