解三角形知识点小结

解三角形知识点小结
一、知识梳理
1.内角和定理：
在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C -
sin sin A B A B >⇔>，cos cos A B A B >⇔<（cos y x =在(0,)π上单调递减）
面积公式:
111
sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=
==
设
2a b c
p ++=
则
()()()
S p p a p b p c =---
在三角形中大边对大角，反之亦然.
2．正弦定理：在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.
形式一：R
C c B b A a 2sin sin sin === (解三角形的重要工具)
形式二：⎪⎩⎪
⎨⎧===C
R c B R b A
R a sin 2sin 2sin 2 (边化正弦)
形式三：::sin :sin :sin a b c A B C =（比的性质）
形式四：
sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R =
==（正弦化边）
3.余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍..
形式一：2
2
2
2cos a b c bc A
=+
-
2222cos b c a ca B =+- (遇见二次想余弦)
2222cos c a b ab C =+-
形式二：
222cos 2b c a A bc +-=，222cos 2a c b B ac +-=，222
cos 2a b c C ab +-=
二、方法归纳
(1)已知两角A 、B 与一边a,由A+B+C=π及sin sin sin a b c
A B C ==
，可求出角C ，再求b 、c.
（2）已知两边及一角，用余弦定理。

（3）已知三边，用余弦定理。

（4）求角度，用余弦。

三、经典例题
问题一：利用正弦定理解三角形 【例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=
,1sin 3
A =，则a = . 【例2】在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c. 问题二：利用余弦定理解三角形
【例3】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，4
1
cos =C . （Ⅰ）求ABC ∆的周长，（Ⅱ）求()C A -cos 的值.
【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：
()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ
αβαβαβααα=±=±−−−→=
()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2
1cos2sin 2
2tan tan 21tan 令 ＝
＝
αβ
αβαβ
αβααα
αα
αβα
αβααβα
αα
αα
=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=
- 【例4】（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc .
(Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求
2sin()sin()
441cos 2A B C A
ππ
+++-的值. 若条件改为：2
2
2
3sin 3sin 3sin 42sin sin B C A B C +-=？ 2 .在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
C B cos cos =-c
a b
+2.
（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积. 问题三：正弦定理余弦定理综合应用
【例5】（2011山东文数）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知
cos A-2cos C 2c-a
=cos B b
．
（I ）求
sin sin C
A
的值；（II ）若cosB=14，5b ABC 的周长为，求的长.
【注】“边化正弦，正弦化边”“余弦直接代入”
考虑以下式子：1
cos 2a C c b
+=，(2)cos cos a c B b C -=，(2)cos cos 0a c b b C -+=
【例6】（2009全国卷Ⅰ理）在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知2
2
2a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
【注】对已知条件(1)2
2
2a c b -=左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理；而对已知条件(2) sin cos 3cos sin ,A C A C =化角化边都可以。

3． 在,,,ABC a b c ∆中分别为内角A 、B 、C 的对边，且2sin (2)sin (2)sin .a A b c B c b C =-+- （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 3B C +=，试判断ABC ∆的形状。

问题四：三角恒等变形
【例7】（08重庆） 设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a,b,c ，且A=60，c=3b.求：
（Ⅰ）a
c 的值；（Ⅱ）cotB +cot C 的值.
【注】在解三角形的背景下一般见“切割化弦”
同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系：2
2
2
2
2
2
sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+=
（2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα
αααα
=
=
4.（2009江西卷理）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
sin sin tan cos cos A B
C A B
+=
+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .
思考：1若sin()sin()
A B a c
A B c -+=-
+求B 。

2若2
sin 2sin 2sin cos 21C C C C ++=，求C
3若3tan tan tan tan 3A B A B --=，求C 问题五：判断三角形形状
【例8】在△ABC 中，，bcosA ＝a cosB ，试判断ABC ∆三角形的形状. 【例9】 在△ABC 中，若cosA cosB ＝b a ，试判断ABC ∆三角形的形状.
5.在△ABC 中，若2cosBsinA ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是
6.在△ABC 中，如果（a 2+b 2）sin （A-B ）=（a 2-b 2
）sin （A+B ），判断三角形的形状.
思考：若cos cos cos a b c
A B C ==
，判断三角形的形状.
问题六：与其他知识综合
【例10】已知向量(,),(,),0a c b a c b a =+=--⋅=且m n m n ，其中A ，B ，C 是△ABC 的内角，a,b,c 分别是角A ，B ，C 的对边.（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的取值范围. 【注】坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：
向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。

实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

平面向量数量积：1212a b x x y y ∙=+=cos a b θ 向量平行：1221
//a b a b x y x y λ⇔=⇔= 向量垂直：
12120
a b a b x x y y ⊥⇔∙⇔+=
思考：1.若求cos cos A B +，22sin sin A B +，22
cos cos A B +？
2.若已知3c =，求三角形周长和面积的取值范围。

7.（2009浙江文）（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足
25
cos
25
A =
，3AB AC ⋅=． （I ）求ABC ∆的面积； （II ）若1c =，求a 的值． 注：若条件改为3AB CA ∙= 问题7：三角实际应用
【例11】 要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A 、B 之间的距离.
【解题思路】找到三角形，利用正弦定理和余弦定理。

【例12】．（2007山东）20（本小题满分12分）如图,甲船以每小时302海里
的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于1A 处 时,乙船位于甲船的北偏西105︒
的方向1B 处,此时两船相距20海里.当甲 船航行20分钟到达2A 处时,乙船航行到甲船的北偏西120︒
方 向的2B 处,此时两船相距102海里,问乙船每小时航行多少海里?
课后自我检测
A 组
1．△ABC 中，a ＝5，b ＝3，sin B ＝
2
2
，则符合条件的三角形有 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个
D ．0个
2.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos B = ( ) A －
223 B 223 C －63 D 6
3
3．某人朝正东方向走x 千米后，向右转o
150并走3千米，结果他离出发点恰好3千米，那么x 的
值为
（ ）
A ．3
B ．32
C ．3或32
D ．3
4.（2008福建)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2
+c 2
-b 2
)tan B =3ac , 则角B 的值为
（ ）
A.
6
π
B.
3π
C.
6π或56π
D.
3π或23
π
5.已知△ABC 中，12
cot 5
A =-
，则cos A = 。

6.在ABC ∆中。

若1b =，3c =，23
c π
∠=，则a= 。

7.已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 8．已知ABC △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=
．
（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1
sin 6
C ，求角C 的度数．
9．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且满足sin 3cos b A a B =． （I ）求角B 的值；（II ）若25cos
25
A =，求sin C 的值． 10.在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C
B A ,,的对边，且1sin sin 4)cos(2-=-
C B C B ．
（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若3=a ，3
1
2sin =B ，求b ．
B 组
1.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （ ）
A
B C
D
A ．一定是锐角三角形.
B ．一定是直角三角形.
C.一定是钝角三角形.
D.可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
2．已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为（ ）
A ．2 2
B ．8 2 C. 2
D.
2
2
3．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的
仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40m,则电视塔的高度为 （ ）
A ．102m
B ．20m
C ．203m
D ．40m
4.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若(a 2
＋c 2
－b 2
)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )
A.π
6
B.π3
C.π6或5π
6
D.π3或2π
3
5.（2010天津理）（7）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若22
3a b bc -=
，
sin 23sin C B =，则A= （ ）
A.0
30 B.0
60 C.0120 D.0
150
6.(2008湖北)在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===,则
cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 .
7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=，4
cos ,35
A b =
=。

（Ⅰ）求sin C 的值；（Ⅱ）求ABC ∆的面积. 8.在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===
（Ⅰ）求AB 的值。

（Ⅱ）求)4
2sin(π
-
A 的值。

9. 在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.
10.设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且
b c C a =+2
1
cos .（1）求角A 的大小；（2）若1=a ，求ABC ∆的周长l 的取值范围.
C 组
1．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为 ( )
A.5
18 B.34 C.32
D.7
8
2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c .若∠C ＝120°，c ＝2a ，则( )
A ．a >b
B ．a <b
C ．a ＝b
D ．a 与b 的大小关系不能确定
3．(2010·新课标全国卷)在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝1
2CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC
的面积为3－3，则∠BAC ＝________.
4.（天津市河东区2009年高三一模）17.如图所示，在△ABC ，已知463AB =,6
cos 6
B =，AC
边上的中线5BD =, 求：（1）BC 的长度； （2）sin A 的值。

5．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a tan B ＝20
3，b sin A ＝4.
(1)求cos B 和a ；(2)若△ABC 的面积S ＝10，求cos4C 的值．
6．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b=a+c ，且2cos2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状．
7.在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、
的对边，且满足222
b c a bc +-=. （Ⅰ）求角A 的值；
（Ⅱ）若3a =，设角B 的大小为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值. 8..已知函数x x x f 2
sin 262sin 2)(-⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-=π，R x ∈ (1) 求函数)(x f 的最小正周期；
（2）记ABC ∆的内角A,B,C 的对边长分别为c b a ,,，若3,1,1)2
(=
==c b B f ，求a 的值。

9. 已知ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量),3(b a b c m --=，
),33(c b a n +=，n m //．
(1)求A cos 的值； (2)求)302sin(︒+A 的值．
10. (山东省青岛市2011年3月高考第一次模拟文科)已知向量1(sin ,1),(3cos ,)2
a x
b x =-=-,函数()()2f x a b a =+⋅-. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期T ;
(Ⅱ)已知a 、b 、c 分别为ABC ∆内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,23,4a c ==,且
()1f A =,求,A b 和ABC ∆的面积S .。