江苏省启东中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题(创新班)

江苏省启东中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题（创新班）
（考试用时：120分钟 总分：150）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目
要求．
1．已知数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2＋a n ，a 1＝2，a 2＝5，则a 6＝( ) A ．－3 B ．－4 C ．－5 D ．2 2．直线x －3y －1＝0的倾斜角α的大小为( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
3．已知直线l 过定点P (－1，2)，且与以A (－2，－3)，B (－4，5)为端点的线段(包含端点)有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A ．[－1，5] B ．(－1，5)
C ．(－∞，－1]∪[5，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(5，＋∞) 4．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1
a n ＋1
(n ≥2)，则{a n }的第10项等于( ) A ．
1210 B ．129 C ．15
D ．1
10
5．已知{a n }的通项公式是a n ＝
n
n 2
＋156
(n ∈N ＋)，则数列的最大项是第( )项
A ．12
B ．13
C ．12或13
D ．不确定
6．已知点P (x ，y )到A (0，4)和B (－2，0)的距离相等，则2x
＋4y
的最小值为( ) A ．2 B ．4 2 C ．4 D ．8 2
7．设直线l 的斜率为k ，且－1＜k ≤3，求直线l 的倾斜角α的取值范围( ) A ．[0，π3)∪(3π4，π) B ．[0，π6)∪(3π4，π) C ．(π6，3π4) D ．[0，π3]∪(3π4，
π)
8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2
n ＋1
n ＋2
，n ∈N +，设其前n 项和为S n ，则使S n ＜－5成立的正整数n 有( )
A ． 最小值63
B ． 最大值63
C ． 最小值31
D ． 最大值31 9．设入射线光线沿直线2x －y ＋1＝0射向直线y ＝x ，则被y ＝x 反射后，反射光线所在的直线方程是( )
A ．x －2y －1＝0
B ．x －2y ＋1＝0
C ．3x －2y ＋1＝0
D ．x ＋2y ＋3＝0 10．给出下列五个命题:
①过点(－1，2)的直线方程一定可以表示为y －2＝k (x ＋1)(k ∈R)的形式； ②过点(－1，2)且在x ，y 轴截距相等的直线方程是x ＋y －1=0；
③过点M (－1，2)且与直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)垂直的直线方程是B (x ＋1)＋A (y －2)＝0；
④设点M (－1，2)不在直线l :Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)上,则过点M 且与直线l 平行的直线方程是A (x ＋1)＋B (y －2)＝0；
⑤点P (－1，2)到直线ax ＋y ＋a 2
＋a ＝0的距离不小于2． 以上命题中，正确的序号是 .
A ．②③⑤
B ．④⑤
C ．①④⑤
D ．①③
11．对于实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数．已知正数数列{a n }满足S n ＝12⎝ ⎛
⎭⎪⎫a n ＋1a n ，n ∈N +，
其中S n 为数列{a n }的前n 项和，则1[S 1]＋1[S 2]＋…＋1
[S 80]＝( )
A ．2323140
B ．5241280
C ．2603140
D ．5171
280
12．已知数列{a n }中，a 1＝2，n (a n +1－a n )＝a n ＋1，n ∈N +．若对于任意的t ∈[0，1]，不等式
a n +1n +1
＜－2t 2－(a ＋1)t ＋a 2
－a ＋3恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．[－1，3] 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则a n ＝ .
14．将一张坐标纸折叠一次，使点(10，0)与(－6，8)重合，则与点(－4，2)重合的点是 . 15．已知a ，b ，c 均为正数，且(2a ＋b )(b ＋2c )＝1，则
1
a +
b +c
的最大值是 ． 16．对于任一实数序列A ＝{ a 1，a 2，a 3，…}，定义A 为序列{ a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…}，它的第n 项是a n +1－a n ，假定序列(
A )的所有项都是1，且a 18＝a 2017＝0，则a 2018＝________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)
已知直线l 1：ax ＋by ＋1＝0(a ，b 不同时为0)，l 2：(a －2)x ＋y ＋a ＝0． (1)若b ＝0且l 1⊥l 2，求实数a 的值；
(2)当b ＝3且l 1∥l 2时，求直线l 1与l 2之间的距离．
18．(本小题满分12分)
已知直线l1：2x－y＋2＝0与l2：x＋2y－4＝0，点P(1，m)．
(1)若点P到直线l1，l2的距离相等，求实数m的值；
(2)当m＝1时，已知直线l经过点P且分别与l1，l2相交于A，B两点，若P恰好平分线段
AB，求A，B两点的坐标及直线l的方程．
19．(本小题满分12分)
已知数列{a n}中，a1＝1，其前n项和为S n，且满足2S n＝(n＋1)a n(n∈N+)．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)记b n＝3n－λa2n，若数列{b n}为递增数列，求λ的取值范围．
20．(本小题满分12分)
如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3 m，|AD|＝2 m.
(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，则AN的长度应在什么范围内？
(2)当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求出最小值．
21．(本小题满分12分)
已知△ABC 的两条高所在直线方程为x ＋y ＝0，2x －3y ＋1＝0，顶点A (1，2)，求直线BC 的方程
22．(本小题满分12分)
设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，记b n ＝4＋a n
1－a n (n ∈N +)． (1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；
(2)求证：①b 2k －1＋b 2k ＜8对k ∈N +恒成立．②R n ＜4n 对n ∈N +恒成立，其中R n 为数列{b n }的前n 项和．
(3)记c n ＝b 2n －b 2n －1(n ∈N +)，T n 为{c n }的前n 项和，求证：对任意正整数n ，都有T n ＜32.
期中考试
答案
AAACC BDAAB BC
13．a n ＝
14．(4,-2) 15．1 16．1000 17．(1) a=2；
(2)
18． [解] (1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，
∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，
即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴n ＋1an ＋1＝n an ，∴n an ＝n －1an －1＝…＝1a1
＝1， ∴a n ＝n (n ∈N)． (2)b n ＝3n
－λn 2
.
b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．
∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n
－λ(2n ＋1)>0，即λ<2n ＋12·3n
.
令c n ＝2n ＋12·3n ，即cn cn ＋1＝
2n ＋3
2·3n ＋1·2·3n 2n ＋1＝2n ＋36n ＋3
>1.
∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．
19．解：(1)由题意得
5
|4－m|＝
5
|2m －3|
，
解得m ＝－1或m ＝37
．
(2)设A (a ，2a ＋2)，B (4－2b ，b )，则
（2a ＋2）＋b ＝2，a ＋（4－2b ）＝2，
解得a ＝－52，b ＝54
．
所以A 56，B 54
，
所以k l ＝52＝－71
，
所以l ：y －1＝－71
(x －1)， 即x ＋7y －8＝0．
20.设AN 的长为x m(x >2)，则由|AN||DN|＝|AM||DC|得|AM |＝x －23x
.所以S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝
x －23x2
.
(1)由S
矩形AMPN
>32，得x －23x2
>32.又x >2，所以3x 2
－32x ＋64>0，解得2<x <38
，或x >8.所以
AN 的长度的取值范围为38
∪(8，＋∞)．
(2)因为S 矩形AMPN ＝x －23x2＝
x －2
3(x －22＋12(x －2＋12
＝3(x －2)＋x －212＋12≥2x －212
＋12＝24，
当且仅当3(x －2)＝x －212
，即x ＝4时，等号成立．
所以当AN 的长度是4 m 时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24 m 2
.
21.2x+3y+7=0
22.(1)当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，∴a 1＝－41
. 又∵a n ＝5S n ＋1，a n ＋1＝5S n ＋1＋1， ∴a n ＋1－a n ＝5a n ＋1，即a n ＋1＝－41
a n ，
∴数列{a n }成等比数列，其首项为a 1＝－41，公比q ＝－41
，
∴a n ＝(－41
)n
，∴b n ＝n 1
.
(2)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15
.
∵b 2k －1＋b 2k ＝8＋(－42k －1－15＋(－42k －15
＝8＋16k －15－16k ＋420＝8－(16k －1(16k ＋415×16k －40
＜8， ∴当n 为偶数时，设n ＝2m (m ∈N *
)，
则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －1＋b 2m )＜8m ＝4n ； 当n 为奇数时，设n ＝2m －1(m ∈N *
)，
则R n ＝(b 1＋b 2)＋(b 3＋b 4)＋…＋(b 2m －3＋b 2m －2)＋b 2m －1＜8(m －1)＋4＝8m －4＝4n ， ∴对一切的正整数n ，都有R n ＜4n ， ∴不存在正整数k ，使得R n ≥4k 成立． (3)由(1)知b n ＝4＋(－4n －15
，
∴c n ＝b 2n －b 2n －1＝42n －15＋42n －1＋15
＝(16n －1(16n ＋425×16n
＝(16n2＋3×16n －425×16n
＜(16n225×16n ＝16n 25
.
又b 1＝3，b 2＝313
，∴c 1＝34
.当n ＝1时，T 1＜23
；
当n ≥2时，T n ＜34＋25×(1621＋1631＋…＋16n 1)＝34＋25×161＜34＋25×161＝4869＜23
，
∴对任意正整数n ，都有T n ＜23
.。