数学理卷·2010届浙江省台州市高三上学期期末质量评估试题(2010.02)

台州市 高三年级期末质量评估试卷
数 学(理) 2010.02
本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
选择题部分（共50分）
参考公式：
如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =
如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 1
3
V Sh =
n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高
()()
()1,0,1,2,,n k
k k
n n P k C p k k n -=-=L 棱台的体积公式
球的表面积公式 24S R π=
()
121
3
V h S S =
球的体积公式 34
3
V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，
其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知全集U R =，集合{}|09,A x x x R =<<∈和{}|44,B x x x Z =-<<∈关系的韦恩图如图1所示，则阴影部分所示集合中的元素共有 （A ）5个 （B ）4个 （C ）3个
（D ）无穷多个
2．已知p ：关于x 的不等式2
20x ax a +->的解集是R ，q :0a <, 则p 是q 的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
3．已知两条互不重合的直线,m n ，两个不同的平面,αβ，下列命题中正确的是 （A ）若//,//,//m n m n αβ，则//αβ
（B ）若,//,m n m n αβ⊥⊥，则αβ⊥
（C ）若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥ （D ）若,//,//m n m n αβ⊥，则//αβ
4．在等比数列{}()n n a a R ∈中，若357911243a a a a a =，则2
911
a a 的值为
（A ）9 （B ）1 （C ）2 （D ）3
5．甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将各人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图象
U A B
图1
2009学年 第一学期
开始 a ＝6，i ＝6
16a a
=+
i ＝i －1
① ？ 输出 ② 结束
是
否 表示，则下列给出的四个函数图象中，甲、乙的图象应该是
（A ）甲是图①，乙是图② （B ）甲是图①，乙是图④ （C ）甲是图③，乙是图② （D ）甲是图③，乙是图④
6．设2220122(1)(2,)n n n x x a a x a x a x n n N ++=++++≥∈L ，则35721n a a a a -++++=L
（A ）312
n -
（B ）312
n n --
（C ）3212n n --
（D ）3212
n n -+
7．已知函数()()sin (0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线()0y b b A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2，4，8，则()f x 的单调递增区间是 （A ）[6,63],k k k Z ππ+∈ （B ）[63,6],k k k Z -∈ （C ）[6,63],k k k Z +∈
（D ）无法确定 8．右边程序框图的功能是求出
1
161616166
++++的值，
则框图中①、②两处应分别填写的是 （A ）1,i a ≥ （B ）1,6i a ≥- （C ）1,i a > （D ）1,6i a >-
9．已知函数2
31()ln(1)1
x
x e f x x x e +=
+++，若()f x []()小值分别为,M m ，则M m +的值为 （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）与k 有关的值
10．在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么
称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期．若数列{}n x 满足11||n n n x x x +-=-
()2,n n N ≥∈，且()121,,0x x a a R a ==∈≠，当数列{}n x 的正周期最小时，该数列的
前2009项的和是（A ）669 （B ）670
（C ）1339
（D ）1340
A
D
C B F
E P 非选择题部分（共100分）
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．在复平面内，复数12i
z i
+=
的对应点位于第 ▲ 象限． 12．已知椭圆222213x y a b +=与双曲线22
221x y a b
-=的焦点重合，
则双曲线的离心率等于 ▲ ．
13．如图是某几何体的三视图，其中正视图、俯视图的长
均为4，宽分别为2与3，侧视图是等腰三角形，则 该几何体的体积是 ▲ ．
14．已知向量()(
)1,2,2,4,||a b c ==--=r r r (
)
a b c +⋅=r r r a r 与c r 的夹角是
▲ ．
15．将4个女生和2个男生排成三行，每行2个人，则2个男生不在同一行的不同排法共有
▲ 种．
16．已知实数,x y 满足222210,
12,12,
x y x y x y ⎧+--+≥⎪
≤≤⎨⎪≤≤⎩
的取值范围是 ▲ ．
17．矩形ABCD 与矩形ADEF 所在的平面互相垂直，
将DEF ∆沿FD 翻折，翻折后的点E 恰与BC 上 的点P 重合．设()1,1,AB FA x x AD y ==>=，
则当x = ▲ 时，y 有最小值．
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分14分）
已知函数()sin 2sin 2cos266f x x x x a ππ⎛⎫⎛
⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭（a 为常数）的最大值是3．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，(
)()2,3f A a b c b c =+=>，
求,b c 的值．
19．（本小题满分14分）
将3个完全相同的小球随机地放入编号依次为1，2，3，4，5的盒子里，用随机变量ξ 表示有球盒子编号的最大值．
正视图
侧视图
俯视图
A
B
C
D A 1 B 1 C 1 （Ⅰ）求()2P ξ=；
（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望E ξ．
20．（本小题满分15分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，已知AB ＝a ，AC ＝2， AA 1＝1，点D 在棱B 1C 1上，且B 1D ∶DC 1＝1∶3． （Ⅰ）证明：BD ⊥A 1C ；
（Ⅱ）若二面角B -A 1D -B 1的大小为60º，试求a 的值．
21．（本小题满分14分）
已知动圆M 过定点()0,1F ，且和定直线1y =-相切． （Ⅰ）求动圆圆心M 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）已知点()()()0,,0,0P m Q m m ->，过点P 作直线与曲线C 交于,A B 两点，若
AP PB λ=u u u r u u u r （λ为实数），证明：()
QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r ．
22．（本小题满分15分）
已知函数()()()2,0,ln f x ax x a R a g x x =-∈≠=．
（Ⅰ）当1a =时，判断函数()()f x g x -在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点,M N ，求a 的取值范围； （Ⅲ）设点112212(,), (,)()A x y B x y x x <是函数()y g x =图象上的两点，平行于AB 的切
线以00(,)P x y 为切点，求证：102x x x <<．
台州市 高三年级期末质量评估试卷
数学(理)答题卷 2010.02
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11． 12． 13．
14． 15． 16．
17．
2009学年 第一学期
请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
装
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
订
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
线
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
请在各题目的答题区域内作答，超出边框限定区域的答案无效
台州市高三年级期末质量评估试卷
数学(理)参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11．四1213．12 14．150°15．576 16．
⎣⎦
17
三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．解：（Ⅰ）()2cos2
f x x x a
=++2sin2
6
x a
π
⎛⎫
=++
⎪
⎝⎭
．…………………5分
于是，()
f x的最大值为2a
+，故1
a=．……………………7分（Ⅱ）由()2
f A=，得
1
sin2
62
A
π
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
．
则
5
2
66
A
ππ
+=（2
66
A
ππ
+=舍去），故
3
A
π
=．……………………10分根据余弦定理，得223
b c bc
+-=，即()233,2
b c bc bc
+-==．
因b c
>，解得2,1
b c
==．……………………14分
19．解：（Ⅰ）这3个小球的不同放法共有321
555
35
C A C
++=种，………………3分则()
123
2
3535
Pξ
+
===．……………………5分
（Ⅱ）ξ的可能取值为1，2，3，4，5，则随机变量ξ的分布列为
……………………12分故
1361015
123454
3535353535
Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………………14分
20．解：分别以
1
,,
AB AC AA为,,
x y z轴，建立空间直角坐标系，
2009学年
第一学期
则()()()()10,0,0,,0,0,0,2,0,0,0,1A B a C A ．
由()()11,0,1,0,2,1B a C ，得()11,2,0B C a =-u u u u r
．
由11111,,0442a B D B C ⎛⎫==- ⎪⎝⎭u u u u r u u u u r ，得31,,142a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
……………………4分
（Ⅰ）证明：因()11
1,,1,0,2,1,11042a BD AC BD AC ⎛⎫=-=-⋅=-= ⎪⎝⎭
u u u r u u u u r u u u r u u u u r
， 故1BD A C ⊥u u u r u u u u r
，即1
BD AC ⊥． …………………7分 （Ⅱ）平面11B A D 的法向量()10,0,1e =u r
，
…………………8分
设平面1BA D 的法向量为()2,,e x y z =u u r
，
则2121,e A B e A D ⊥⊥u u r u u u r u u r u u u u r ．而()1131,0,1,,,042a A B a A D ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
u u u r u u u u r ，
于是有0,310,42ax z a x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得,3,2z ax a y x =⎧⎪
⎨=-⎪⎩
故()22,3,2e a a =-u u r ．………………12分
由题意知121
|cos ,|2e e <>=u r u u r
1,23a ==． ……………15分
21．（Ⅰ）解：由抛物线定义知
M 点的轨迹是以()0,1F 为焦点，直线1y =-为准线的抛物线， ………3分
所以M 点的轨迹C 的方程是y x 42
=．
…………………5分
（Ⅱ）证明：设直线AB 的方程为m kx y +=，代入抛物线方程得：2
440x kx m --=．
设,A B 两点的坐标分别是11(,)x y ，22(,)x y ，则124x x m =-．………………7分
由点P 满足AP PB λ=u u u r u u u r
，得120x x λ+=． 又点Q 的坐标是(0,)m -，从而(0,2)QP m =u u u r
．
而1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-⋅=+-+u u u r u u u r
，……………………9分
A
B
C
D A 1
B 1
C 1
则12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-u u u r u u u r u u u r
=])1(44[22
12
2212
1m x x x x x x m ++⋅+
=2212144)(2x m x x x x m +⋅
+=2
21444)(2x m
m x x m +-⋅+=0．
所以，()QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r
．……………………14分
22．解：（Ⅰ）记2()()()ln F x f x g x ax x x =-=--，则()F x 的定义域为()0,+∞．
当1a =时，因1(1)(21)
()21(0)x x F x x x x x
-+'=--
=>， 所以)()()(x g x f x F -=在(0,1)上单调递减，在),1[+∞上单调递增．……4分
（Ⅱ）由()()2
2
ln ln x x
f x
g x ax x x a x
+=⇒-=⇒=
． 令()()
()2
243
112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x ⎛⎫+-+ ⎪+--⎝⎭=⇒==． 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增，且()1
1
2
10e r e e
----+=<； 当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2
ln 0x x
x +>． 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =．
所以要使2
ln x x
y x
+=
与y a =有两个不同的交点，只需01a <<．…………9分 （III ）由已知：
12
0121y y x x x -=-，所以12012
x x x y y -=-． 12211210111221
()
x x x x x y y x x x y y y y -----=
-=--=
1
2
1
2112ln ln
x x
x x x x x --．
设21x t x =
得：101(1ln )ln x t t x x t
---= ()1t >． 构造函数1ln y t t =--，当1t ≥时，/
1
1
10t y t t
-=-=
≥， A
B
P
O
Q
x
y
所以函数1ln y t t =--在当1t ≥时是增函数．
于是，1t >时，1ln 0t t -->，则010x x ->，得01x x >成立． 同理，可证得20x x >成立，从而求证成立． ……………………15分。