含30°角的直角三角形的性质随堂练习

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9．(中考•常德)如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，
∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，
过点D作CD交BE于点C，
并使得∠CDE＝30°，则
CD长度的取值范围是
0＜CD≤5 ______________ ．
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知识点
2 含30°角的直角三角形的性质的应用
10．实际中有关测量的应用，常常要涉及建立直角三 直角 三角形的性质解决实 角形模型问题，用________ 际问题．
AC＝BA， 在△ACD和△BAE中， C＝BAE， CD＝AE，
∴△ACD≌△BAE(SAS)．
∴∠CAD＝∠ABE.
∵∠CAD＋∠BAP＝∠BAC＝60°，
∴∠ABE＋∠BAP＝60°， ∴∠BPQ＝60°. ∵BQ⊥AD，∴∠BQP＝90°， ∴∠PBQ＝90°－∠BPQ＝30°. ∴BP＝2PQ.
如图某轮船于上午11时30分在a处观测海岛b在北偏东60方向该轮船以每小时10mile的速度向东航行到c处在c处观测到海岛b在北偏东30方向继续向东航行到d处在d处观测到海岛b在北偏西30方向当轮船到达c处时恰与海岛b相距20mile
第13章 轴对称
13.3 等腰三角形
第4课时 含30°角的直角三角形的性质
又∵BE＋CE＝8，
16 16 8 ∴CE＝ .∴BD＝ .∴AD＝ . 3 8 3 3 即当AD＝ 3 时，DE＝EF.
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17．如图，△ABC是边长为9的等边三角形，P是AC
边上一动点，由点A向点C运动(与点A，C不重
合)；H是CB延长线上的一动点，与点P同时以相 同的速度由点B向CB延长线方向运动(点H不与点
C．5.8
B．4.2
D． 7
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5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°， D为BC的中点，DE⊥AC于点E.若 AE＝2，则EC的长为( C ) A． 2 C． 6 B． 4 D． 8
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6．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC， AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长 线于点F.若CD＝2，则DF的长为( D ) A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
B重合)，过点P作PE⊥AB于
点E，连接PH交AB于点D.
(1)当∠BHD＝30°时，求AP的长． 【思路点拨】用含30°角的直角三 角形的性质求解； 解：(1)当∠BHD＝30°时，易证HB＝DB＝AP. 设AP＝x，易知AD＝2x， ∴x＋2x＝9，解得x＝3，即AP＝3.
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变， 求出线段ED的长；如果发生变化，请说明理由．
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11．小明用测角仪器量出上山的路的坡角(斜坡与水平面
的夹角)为30°，他又测得上山沿坡路登上山顶共需
走2 000 m，于是他知道这座山高( B )
A．500 m B．1 000 m
C．1 200 m
D．1 500 m
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12．如图，一棵大树在一次强台风中离地面5 m处折 断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵大树在 折断前的高度为( B )
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7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°， DE垂直平分AB，交BC于点E，垂足为点D.若BE
＝6 cm，则AC等于( D )
A．6 cm B．5 cm
C．4 cm
D．3 cm
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8．(中考· 河池)已知等边三角形ABC的边长为12，D是
AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作 EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重 合时，AD的长是( C ) A． 3 C． 8 B． 4 D． 9
【思路点拨】 构造全等三角形求解．
不发生变化． 过点H作HF⊥AB，交AB的延长线于点F. 易证△HFB≌△PEA，△DEP≌△DFH， ∴BF＝EA，DE＝DF.∴DE＋DF＝
1 9 AB.∴DE＝DF＝ 2 AB＝ 2 .
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1 ∴BE＝ BD＝3. 2
∴EC＝8－3＝5. ∵∠FEC＝90°－60°＝30°，
1 5 ∴FC＝5× ＝ . 2 2 11 5 ∴AF＝8－ ＝ . 2 2
(2)当AD取何值时，DE＝EF? 当DE＝EF时，易证△BDE≌△CEF，∴BE＝CF，BD＝CE.
1 1 ∵CF＝ 2 CE，∴BE＝ 2 CE.
A．10 m
C．25 m
B．15 m
D．30 m
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13．如图，某轮船于上午11时30分在A处观测海岛B在北 偏东60°方向，该轮船以每小时10 n mile的速度向东航行 到C处，在C处观测到海岛B在北偏东30°方向，继续向东
航行到D处，在D处观测到海岛B在北偏西30°方向，当
轮船到达C处时恰与海岛B相距20 n mile. 13时30分 则轮船到达C处的时间为________ ，到 15时30分 达D处的时间为________ ．
1 6 11
2 7 12
3 8 13
4 9 14
5 10 15
16
17
知识点
1 含30°角的直角三角形的性质
1．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 斜边的一半 ． 么它所对的直角边等于______________
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2．已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝
30°，CD＝2 cm，则BC的长是( B )
在△BED和△CFD中，
∠BED＝∠CFD，∠B＝∠C，BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)． ∴DE＝DF.
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
解：∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC为等边三角形．∴∠B＝60°.
∵∠BED＝90°，∴∠BDE＝30°.
1 ∴BE＝ BD. 2
A．2 cm
C．8 cm
B．4 cm
D．16 cm
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3．△ABC中，∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则BC:AB 等于( B ) A．2:1 C．1:3 B．1:2 D．2:3
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4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，
∠B＝30°，点P是BC边上的动点，则
AP长不可能是( D )
A．3.5
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题型
1 含30°角的直角三角形的性
质在等边三角形中的应用
14．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，
D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证DE＝DF；
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°.
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵D是BC的中点，∴BD＝CD.
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题型
3 含30°角的直角三角形的性
质在探求条件中的应用
16．如图，等边△ABC的边长为8，D
为AB边上一动点，过点D作DE⊥B
C于点E，过点E作EF⊥AC于点F.
(1)若AD＝2，求AF的长；
解：由题意知AB＝BC＝AC＝8，∠B＝∠A＝∠C＝60°. ∴BD＝AB－AD＝8－2＝6，∠BDE＝90°－60°＝30°，
பைடு நூலகம்∵BE＝1，∴BD＝2.∴BC＝2BD＝4.
∴△ABC的周长为12.
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题型
2 含30°角的直角三角形的性
质在全等三角形中的应用
15．如图，在等边三角形ABC中，AE
＝CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥
AD于点Q.求证BP＝2PQ.
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB，∠C＝∠BAC＝60°.