19第十九次课

抗角，则：
P UI cos
意义：有功功率代表二端网络实际消耗的功率。它不但取 决于电压和电流的有效值，还与它们的相位差有关系。
当N为无源网络时，可用一个输入阻抗 Zi 等效
当Zi = R 时， 0
P Pmax UI

当Zi = jXL时， 90
P0
90 当Zi = -jXC时，
i 0 ＋ i +u i － u
t
i
－
u
＋
P
u
u +
i
P <0
+ 0 P >0
P <0
+
P <0
P >0
t
可逆的能量转换过程
2. 平均功率 P
p u i UI sin 2 t
1 P T

T 0
1 P dt T

T 0
(UI sin 2 t ) 0
纯电容也不消耗能量 3. 无功功率 Q 电容瞬时功率的振幅（最大值）QC=-UI=-I2XC 可用来
P0
I cos : 电流的有功分量
U cos : 电压的有功分量
分析波形： p ui UI cos(u i ) UI cos(2t u i ) u p
i
ωt 0 p 有功功率
UI cos(u i )
ωt 0
UI cos(2t u i )
u 2 U cost 2 I cos(t 90 )
L
i
则其瞬时功率为：
p u i 2UI cos t sin t UI sin 2t
p UI sin 2t
u 0 ＋ 储存能量 P<0 + 0 P >0 释放能量 i － ＋ i － ＋ P i
i
t
i
＋ －
p u i UI (1 cos 2t )
i
0 p
u ωt
结论： 1、p>=0 说明功率是单方向传输的， 电阻是耗能元件。 2、将p分解，可得到一个常数UI 和一个正弦UIcos2t （2频率沿
时间轴上下波动的正弦波）。
0 UI ωt
2. 平均功率（有功功率） 瞬时功率在一个周期内的平均值，称平均功率或有功
由已知得： 70.745V U U 135 U
L L
U L
I C
U
I L
I R
并且
U R
U 0 U R R
U U U L R
由三角关系知： UL= U = 70.7V
2 UR U 2 UL 100V
U L
I C
为乏（Var)、千乏(Kvar)。
电容元件
1. 瞬时功率： 因电容元件，电压滞后电流90°，可设为： i u C
u 2 U cos t i 2 I cos(t 90 )
则其瞬时功率为：
p u i 2UI cos t sin t UI sin 2t
p UI sin 2t
例9-8 求XL为何值时通过它 的电流最大？ 解：用戴维宁定理 10V +
I 1
j3 + 2I 1 1 +
U oc

I
jXL
1）求 U oc
10 (U 2I ) KCL : I 1 oc 1
2）求Zo
10A
1 (I 10 ) 2I 10 KVL : j3I 1 1 1
3、无功功率 定义：Q UI sin 是无功功率。意义：反映了能量交换 规模的大小。单位：乏（Var)、千乏(Kvar)。 当Zi = R 时， 当Zi = jXL时， 当Zi = -jXC时，
0
Q0
90
Q QL UI
90
Q QC UI
QL与QC符号相反，表明它们能量传递的方向相反。
常量 正弦分量
功率的波形为：
u
取u= 0，i < 0 作图
p
i ωt 0
当u、i实际方向一致时，p>0 网络吸收能量 当u、i实际方向相反时，p<0 网络发出能量，这是由于电路有 储能元件L和C所致。 由图可见，p>0比p<0时间长，说明网络吸收的能量多于发出 的能量，这是由耗能元件（电阻）所致。
表示电容C”吞吐” 电能的速率，称做容性无功功率，其单
位也是乏（Var)、千乏(Kvar)。
任意二端网络的功率
1、瞬时功率
在正弦稳态下，设端口电压、电流为：
i + u
N0
u 2U cos(t u )
i 2I cos(t i )
则电路吸收（取关联）的瞬时功率为:
p ui 2U cos(t u ) 2I cos(t i ) UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
I sin : 电流的无功分量
U sin : 电压的无功分量
波形说明： 画出 R、L、C 串联电路的
电感和电容的瞬时功率波形。
从中可看出，当 L 发出功
率时， C 刚好吸收功率；当 C 发出功率时， L 刚好吸收功率。 说明电感、电容的无功具有互 相补偿的作用。
4、视在功率 定义：S UI 表示任意二端网络平均（有功）功率的最 大值。单位：伏安（VA），千伏安（kVA） 。
－

u
u
u
u
P <0
+ P >0
P <0
t
可逆的能量转换过程
2. 平均功率 （有功功率）
p u i UI sin 2t
1 P T

T 0
1 p dt T

T 0
UI sin (2t ) dt 0
结论：纯电感不消耗能量，在充、放电的循环中，电感 先从电源得到能量，后又全部送还电源。电感并未消耗 能量，只和电源进行能量交换（能量的吞吐）。
意义：反映设备的容量。如发电机、变压器等电力设备都
是按一定电压、电流（额定值）设计使用的。如果使用超 出额定值，就会造成设备损坏。由此，电气设备均以视在 功率表示它的额定容量。
功率三角形：
有功功率
无功功率
P UI cos S cos
Q UI sin S sin
S Q
功率表的读数为30W，
电源的频率f = 50HZ。 试求R和L的值。 解： +
I
A
*
W
*
R L 电 感 线 圈
+ V U S U

P R 2 30 I
U Z 50 I
2
L
L
Z R 2 50 302 40
2
40

127 mH
练习 1、图示正弦交流电路中无功功率
Q= -120Var，则视在功率S为：
A：150VA B: 200VA
40 j30
C: 180VA
D:168VA
功率，用P 表示。 大写
1 T P p dt T 0
单位：瓦特(W)
电阻元件的平均功率为：
P U I
1 P T

T 0
UI (1 cos 2 t )dt UI I 2 R U 2G
一般情况下所谓元件的功率是指平均功率。就像一般 所谓的电压、电流值是有效值一样。
电感元件 1. 瞬时功率： 因电感元件，电压超前电流90°，可设为： i u
3. 无功功率
p UI sin 2t
电感瞬时功率p的振幅，代表电感与电源进行能量交 换的最大速率，表示电感在交流电路中占用功率的大小， 即：QL=UI=I2XL QL形式上与电阻有功功率I2R形式相似，量纲相同， 但QL代表一种不被消耗的电功率，与P有着本质的区别， 故称之为感性无功功率。为了与有功功率相区别，其单位
例9-9 IR=IC=5A，U=70.7V且与IL
同相，求R、XL和XC 解：设 IR 为参考相量，即：
50 A I R
I L
+
XL XC
I C
IR
U

R
590 A I 则： C
I I 50 590 7.0745 A I L R C
电阻元件 1. 瞬时功率：瞬时电压、电流的乘积，用p表示。
i
u R
因是电阻元件，电压、电流同相， 为分析方便，设初相都为0°。
u 2 U cos ( t ) i 2 I cos ( t )
则其瞬时功率为： p u i 2UI cos2 t UI (1 cos 2t ) 小写
10 U oc
I 1
j3 + 2I 1 1
( j3I ) j3I KVL : U 1 1
I (U 2I ) KCL : I 1 1
U 1 1 Zo (1 j ) I 1 j 2
U
I L
U R 100 R 20 X C IR 5
U L 70.7 XL 10 I L 7.07
IR = IC = 5A
I R
U R
I I 7.0745 A I L R C
§9-3
正弦稳态电路的功率
• 二端网络内仅含单个元件的功率、能量关系 • 任意二端（一端口）网络的功率、能量关系 • 复功率 • 功率因数的提高
I
+
U

Zo
接入感抗 jXL后，电流为：
10 U oc