昌宁县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

昌宁县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A 、()f x =x 与()f x =2x x
B 、()1f x x =-
与()f x =
C 、()f x x =
与
()f x = D 、()f x x =
与2()f x =
2． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则7
4
S a =（ ） A ．
74 B ．14
5
C ．7
D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.
3． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）
A ．AC BD ⊥
B ．A
C B
D =
C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为
45 4． 已知平面向量(12)=，
a ，(32)=-，
b ，若k +a b 与a 垂直，则实数k 值为（ ） A ．1
5
- B ．119 C ．11 D ．19
【命题意图】本题考查平面向量数量积的坐标表示等基础知识，意在考查基本运算能力．
5． 已知双曲线kx 2﹣y 2=1（k ＞0）的一条渐近线与直线2x+y ﹣3=0垂直，则双曲线的离心率是（ ） A
． B
．
C ．
4
D
．
6．
已知向量=（1
，
），=
（
，x ）共线，则实数x 的值为（ ）
A ．1
B
．
C
．
tan35°
D ．tan35°
7． 设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）
A ．（﹣∞，﹣1]
B ．[﹣1，+∞）
C ．（﹣1，+∞）
D ．（﹣∞，﹣1）
8． 已知命题p ：存在x 0＞0，使
2＜1，则￢p 是（ ） A ．对任意x ＞0，都有2x ≥1 B ．对任意x ≤0，都有2x ＜1
C ．存在x 0＞0，使
2
≥1 D ．存在x 0≤0，使
2
＜1
9．已知x，y满足时，z=x﹣y的最大值为（）
A．4 B．﹣4 C．0 D．2
10．是首项，公差的等差数列，如果，则序号等于（）
A．667B．668C．669D．670
11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n+，则S2015的值是（）
A． B．
C．2015 D．
12f x[14]f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示．
）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．若实数x，y满足x2+y2﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为．
14．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的值为．
15．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a6=a5+2a4，则公比q=．
16．已知函数f（x）=x m过点（2，），则m=．
17．如图是一个正方体的展开图，在原正方体中直线AB与CD的位置关系是．
18．不等式的解集为 ．
三、解答题
19．（本题满分12分）如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， E 、F 分别是棱DD 1 、C 1D 1的中点. （1）求直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值； （2）证明：B 1F ∥平面A 1BE ．
20．本小题满分10分选修44-：坐标系与参数方程选讲
在直角坐标系xoy
中，直线的参数方程为32x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，在极坐标系与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴中，圆C
的方程为ρθ=． Ⅰ求圆C 的圆心到直线的距离；
Ⅱ设圆C 与直线交于点A B 、，若点P
的坐标为(3,，求PA PB +．
21．设极坐标与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，原点O 为极点，x 轴坐标轴为极轴，曲线C 1的极坐标方
程为ρ2
cos2θ+3=0，曲线C 2
的参数方程为
（t 是参数，m 是常数）．
（Ⅰ）求C 1的直角坐标方程和C 2的普通方程；
（Ⅱ）若C 1与C 2有两个不同的公共点，求m 的取值范围．
A 1
B 1
C 1
D
D 1 C B
A E F
22．已知等边三角形PAB 的边长为2，四边形ABCD 为矩形，AD=4，平面PAB ⊥平面ABCD ，E ，F ，G 分别是线段AB ，CD ，PD 上的点．
（1）如图1，若G 为线段PD 的中点，BE=DF=，证明：PB ∥平面EFG ；
（2）如图2，若E ，F 分别是线段AB ，CD 的中点，DG=2GP ，试问：矩形ABCD 内（包括边界）能否找到点H ，使之同时满足下面两个条件，并说明理由．
①点H 到点F 的距离与点H 到直线AB 的距离之差大于4； ②GH ⊥PD ．
23．已知函数()x
f x e x a =-+，2
1()x
g x x a e =++，a R ∈． （1）求函数()f x 的单调区间；
（2）若存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，求的取值范围； （3）设1x ，2x 是函数()f x 的两个不同零点，求证：12
1x x e +<．
24．已知二次函数f（x）=x2+2bx+c（b，c∈R）．
（1）若函数y=f（x）的零点为﹣1和1，求实数b，c的值；
（2）若f（x）满足f（1）=0，且关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，求实数b的取值范围．
昌宁县三中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】C 【解析】
试题分析：如果两个函数为同一函数，必须满足以下两点：①定义域相同，②对应法则相同。

选项A 中两个函数定义域不同，选项B 中两个函数对应法则不同，选项D 中两个函数定义域不同。

故选C 。

考点：同一函数的判定。

2． 【答案】C.
【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d
=+⇒+=+++，化简得1a d =-，∴17
4
176
7142732a d
S d a a d d
⋅+
===+，故选C.
3． 【答案】B 【解析】
试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面
PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD
所成的角，且为0
45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD
==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1
考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.
【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 4． 【答案】
A
5． 【答案】A
【解析】解：由题意双曲线kx 2﹣y 2
=1的一条渐近线与直线2x+y+1=0
垂直，可得渐近线的斜率为，
又由于双曲线的渐近线方程为y=
±x
故
=，∴
k=，
∴可得a=2，b=1，c=，由此得双曲线的离心率为，
故选：A．
【点评】本题考查直线与圆锥曲线的关系，解题的关键是理解一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直，由此关系求k，熟练掌握双曲线的性质是求解本题的知识保证．
6．【答案】B
【解析】解：∵向量=（1，），=（，x）共线，
∴x====，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的共线的条件和三角函数的化简，属于基础题．
7．【答案】B
【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，
若M∩N≠￠，
则k≥﹣1．
∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．
8．【答案】A
【解析】解：∵命题p：存在x0＞0，使2＜1为特称命题，
∴￢p为全称命题，即对任意x＞0，都有2x≥1．
故选：A
9．【答案】A
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，得A（6，2），
化目标函数z=x﹣y为y=x﹣z，
由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4．故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．10．【答案】C
【解析】
由已知，由得，故选C
答案：C
11．【答案】D
【解析】解：∵2S n=a n+，∴，解得a1=1．
当n=2时，2（1+a2）=，化为=0，又a2＞0，解得，
同理可得．
猜想．
验证：2S
=…+=，
n
==，
因此满足2S n=a n+，
∴．
∴S n=．
∴S2015=．
故选：D．
【点评】本题考查了猜想分析归纳得出数列的通项公式的方法、递推式的应用，考查了由特殊到一般的思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
12．【答案】C
【解析】解：根据导函数图象，可得2为函数的极小值点，函数y=f（x）的图象如图所示：
因为f（0）=f（3）=2，1＜a＜2，
所以函数y=f（x）﹣a的零点的个数为4个．
故选：C．
【点评】本题主要考查导函数和原函数的单调性之间的关系．二者之间的关系是：导函数为正，原函数递增；导函数为负，原函数递减．
二、填空题
13．【答案】10
【解析】
【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．
【解答】解：方程x2+y2﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）2+（y+2）2=5，
即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）
设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，
经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大，
最大值为：10．
故答案为：10．
14．【答案】．
【解析】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=，
故答案为．
15．【答案】2．
【解析】解：由a6=a5+2a4得，a4q2=a4q+2a4，
即q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1，
又各项为正数，则q=2，
故答案为：2．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，注意公比的符号，属于基础题．16．【答案】﹣1．
【解析】解：将（2，）代入函数f （x ）得： =2m ，
解得：m=﹣1； 故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，是一道基础题．
17．【答案】 异面 ．
【解析】解：把展开图还原原正方体如图，
在原正方体中直线AB 与CD 的位置关系是异面． 故答案为：异面．
18．【答案】 （0，1] ．
【解析】解：不等式，即
，求得0＜x ≤1，
故答案为：（0，1]．
【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．
三、解答题
19．【答案】解：（1）设G 是AA 1的中点，连接GE ，BG ．∵E 为DD 1的中点，ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体，∴GE ∥AD ，又∵AD ⊥平面ABB 1A 1，∴GE ⊥平面ABB 1A 1，且斜线BE 在平面ABB 1A 1内的射影为BG ，∴Rt △BEG 中的∠EBG 是直线BE 和平面ABB 1A 1所成角，即∠EBG =θ．设正方体的棱长为a ，∴a GE =，
a BG 25=
，a GE BG BE 2
3
22=+=， ∴直线BE 和平面ABB 1A 1所成角θ的正弦值为：=
θsin 3
2
=BE GE ；……6分 （2）证明：连接EF 、AB 1、C 1D ，记AB 1与A 1B 的交点为H ，连接EH ．
∵H 为AB 1的中点，且B 1H =
21C 1D ，B 1H ∥C 1D ，而EF =2
1
C 1
D ，EF ∥C 1D ， ∴B 1H ∥EF 且B 1H =EF ，四边形B 1FEH 为平行四边形，即B 1F ∥EH ， 又∵B 1F ⊄平面A 1B
E 且EH ⊆平面A 1BE ，∴B 1
F ∥平面A 1BE ． ……12分 20．【答案】
【解析】Ⅰ
∵:C ρθ=
∴2:sin C ρθ=
∴22:0C x y +-=，即圆C
的标准方程为22(5x y +=．
直线的普通方程为30x y +=． 所以，圆C
=
．
Ⅱ由22(53
x y y x ⎧+=⎪⎨=-+⎪⎩
，解得12x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
或21x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
所以 21．【答案】
【解析】解：（I ）曲线C 1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，即ρ2（cos 2θ﹣sin 2θ）+3=0，可得直角坐标方程：x 2
﹣y 2
+3=0．
曲线C 2
的参数方程为
（t 是参数，m 是常数），消去参数t 可得普通方程：x ﹣2y ﹣m=0．
（II ）把x=2y+m 代入双曲线方程可得：3y 2+4my+m 2
+3=0，由于C 1与C 2有两个不同的公共点， ∴△=16m 2﹣12（m 2
+3）＞0，解得m ＜﹣3或m ＞3，
∴m ＜﹣3或m ＞3．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与双曲线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22．【答案】
【解析】（1）证明：依题意，E ，F 分别为线段BA 、DC 的三等分点， 取CF 的中点为K ，连结PK ，BK ，则GF 为△DPK 的中位线， ∴PK ∥GF ，
∵PK ⊄平面EFG ，∴PK ∥平面EFG ， ∴四边形EBKF 为平行四边形，∴BK ∥EF ， ∵BK ⊄平面EFG ，∴BK ∥平面EFG ， ∵PK ∩BK=K ，∴平面EFG ∥平面PKB ，
||||PA PB +==
又∵PB⊂平面PKB，∴PB∥平面EFG．
（2）解：连结PE，则PE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，
PE⊂平面PAB，PE⊥平面ABCD，
分别以EB，EF，EP为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
∴P（0，0，），D（﹣1，4，0），
=（﹣1，4，﹣），∵P（0，0，），
D（﹣1，4，0），=（﹣1，4，﹣），
∵==（﹣，，﹣），
∴G（﹣，，），
设点H（x，y，0），且﹣1≤x≤1，0≤y≤4，
依题意得：，
∴x2＞16y，（﹣1≤x≤1），（i）
又=（x+，y﹣，﹣），
∵GH⊥PD，∴，
∴﹣x﹣+4y﹣，即y=，（ii）
把（ii）代入（i），得：3x2﹣12x﹣44＞0，
解得x＞2+或x＜2﹣，
∵满足条件的点H必在矩形ABCD内，则有﹣1≤x≤1，
∴矩形ABCD内不能找到点H，使之同时满足①点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4，②GH⊥PD．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．
23．【答案】（１）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（２）1a >或0a <；（３）证明见解析． 【解析】
试
题解析： （1）'()1x f x e =-．
令'()0f x >，得0x >，则()f x 的单调递增区间为(0,)+∞；] 令'()0f x <，得0x <，则()f x 的单调递减区间为(,0)-∞． （2）记()()()F x f x g x =-，则2
1()2x
x
F x e x a a e =-
-+-， 1
'()2x x F x e e =+
-．
∵1220x x e e +-≥=，∴'()0F x ≥， ∴函数()F x 为(,)-∞+∞上的增函数， ∴当[]0,2x ∈时，()F x 的最小值为2
(0)F a a =-． ∵存在[]0,2x ∈，使得()()f x g x <成立，
∴()F x 的最小值小于0，即2
0a a -<，解得1a >或0a <．1
（3）由（1）知，0x =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点，即最小值为(0)1f a =+， 则只有1a <-时，函数()f x 由两个零点，不妨设12x x <， 易知10x <，20x >，
∴1222()()()()f x f x f x f x -=--22
22()()x
x e x a e x a -=-+-++2222x x e e x -=--，
令()2x
x
h x e e
x -=--（0x ≥），
考点：导数与函数的单调性；转化与化归思想．
24．【答案】
【解析】解：（1）∵﹣1，1是函数y=f（x）的零点，∴，解得b=0，c=﹣1．（2）∵f（1）=1+2b+c=0，所以c=﹣1﹣2b．
令g（x）=f（x）+x+b=x2+（2b+1）x+b+c=x2+（2b+1）x﹣b﹣1，
∵关于x的方程f（x）+x+b=0的两个实数根分别在区间（﹣3，﹣2），（0，1）内，
∴，即．解得＜b＜，
即实数b的取值范围为（，）．
【点评】本题考查了二次函数根与系数得关系，零点的存在性定理，属于中档题．。