20-21版：1.4.3 含有一个量词的命题的否定（创新设计）
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1.4.3 含有一个量词的命题的否定
内容要求 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律.2.能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形 式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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课前预习
课堂互动
课堂小结
知识点1 全称命题的否定 全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：__∃_x_0_∈___M__，___綈___p__(_x_0_) __.
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课前预习
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课堂小结
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课堂小结 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没 有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否 定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
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课前预习
课堂互动
课堂小结
本节内容结束
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【预习评价】 已知命题p：存在实数m，使不等式x2＋mx＋1＞0成立.则命题p的否定是________. 答案 对任意的实数m，不等式x2＋mx＋1≤0成立
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课前预习
课堂互动
课堂小结
知识点3 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是__特__称__命题. 特称命题的否定是__全__称__命题.
【预习评价】 判断下列说法的正误 (1)命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称命题.( ) (2)若命题綈p是特称命题，则命题p是全称命题.( ) (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.( )
【预习评价】 已知命题p：∀x＞2，(x＋2)(x－1)＞0，则綈p是______________. 答案 ∃x0＞2，(x＋2)(x－1)≤0.
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课堂小结
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知识点2 特称命题的否定 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈p：_∀_x_∈__M__，__綈__p_(_x_) _.
【训练3】 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且－9＜0， ∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
进行否定.
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课堂小结
【训练1】 写出下列全称命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.
(3)命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”.当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题 的否定是假命题.
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课堂小结
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题型三 特称命题、全称命题的综合应用
互动探究
【探究1】 (1)已知对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈[1，3]，使m≥x，求实数m的取值范围. 解 (1)由于对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，故m的 取值范围为[3，＋∞). (2)由于存在实数x∈[1，3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，故m的取值范 围为[1，＋∞).
(4)綈 p：存在实数 x0，使得 x20＋1<0.
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课堂互动
@《创新设计》 课堂小结
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题型二 特称命题的否定 【例2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 (1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(为假命题). (2)綈p：所有的素数都不是奇数.(为假命题). (3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(为假命题). 规律方法 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和 判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.
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课堂小结
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规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出 存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存 在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
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》
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课堂小结
(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立.
当 a＝0 时，2x－1≤0，解得 x≤12，所以 a＝0 不成立，
当 a≠0 时，必须aΔ<≤0，0，即a4<＋01，2a≤0， 解得 a≤－13， 综上可知，实数 a 的取值范围是－∞，－13.
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课堂小结
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【训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝 对值都不是正数”.为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱 形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
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提示 (1)由于命题“∀x∈R，x2－1≥－1”是全称命题，故其否定是特称命题，所 以(1)错. (2)由于綈p的否定是p，所以p是全称命题. (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式不唯一，如“所有的菱形都是平行四边 形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不 是平行四边形”. 答案 (1)× (2)√ (3)×
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课堂小结
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题型一 全称命题的否定
【例1】 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 规律方法 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后
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【探究2】 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，f(x)max＝－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故m的取值范围为(－4，＋∞). (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需 m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
内容要求 1.通过探究数学中一些实例，归纳总结出含有一个量词的命题与它们 的否定在形式上的变化规律.2.能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形 式上的变化规律，正确地对含有一个量词的命题进行否定.
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知识点1 全称命题的否定 全称命题p：∀x∈M，p(x)， 它的否定綈p：__∃_x_0_∈___M__，___綈___p__(_x_0_) __.
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课堂小结 1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：
(1)确定命题类型，是全称命题还是特称命题. (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别改为“不是”“没 有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 2.通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的否 定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.
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本节内容结束
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【预习评价】 已知命题p：存在实数m，使不等式x2＋mx＋1＞0成立.则命题p的否定是________. 答案 对任意的实数m，不等式x2＋mx＋1≤0成立
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知识点3 全称命题与特称命题的关系 全称命题的否定是__特__称__命题. 特称命题的否定是__全__称__命题.
【预习评价】 判断下列说法的正误 (1)命题“∀x∈R，x2－1≥－1”的否定是全称命题.( ) (2)若命题綈p是特称命题，则命题p是全称命题.( ) (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式是唯一的.( )
【预习评价】 已知命题p：∀x＞2，(x＋2)(x－1)＞0，则綈p是______________. 答案 ∃x0＞2，(x＋2)(x－1)≤0.
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知识点2 特称命题的否定 特称命题p：∃x0∈M，p(x0)， 它的否定綈p：_∀_x_∈__M__，__綈__p_(_x_) _.
【训练3】 已知f(x)＝3ax2＋6x－1(a∈R). (1)当a＝－3时，求证：对任意x∈R，都有f(x)≤0； (2)如果对任意x∈R，不等式f(x)≤4x恒成立，求实数a的取值范围. (1)证明 当a＝－3时，f(x)＝－9x2＋6x－1， ∵Δ＝36－4×(－9)×(－1)＝0，且－9＜0， ∴对任意x∈R，都有f(x)≤0.
进行否定.
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【训练1】 写出下列全称命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 解 (1)綈p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2)綈p：有些自然数的平方不是正数. (3)綈p：存在实数x0不是方程5x0－12＝0的根.
(3)命题的否定是“∀x，y∈Z， 2x＋y≠3”.当 x＝0，y＝3 时， 2x＋y＝3，因此命题 的否定是假命题.
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【探究1】 (1)已知对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，求实数m的取值范围； (2)已知存在实数x∈[1，3]，使m≥x，求实数m的取值范围. 解 (1)由于对任意的x∈[1，3]，都有m≥x，故只需m大于或等于x的最大值，故m的 取值范围为[3，＋∞). (2)由于存在实数x∈[1，3]，使m≥x，故只需m大于或等于x的最小值，故m的取值范 围为[1，＋∞).
(4)綈 p：存在实数 x0，使得 x20＋1<0.
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题型二 特称命题的否定 【例2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假.
(1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. 解 (1)綈p：∀x>1，x2－2x－3≠0.(为假命题). (2)綈p：所有的素数都不是奇数.(为假命题). (3)綈p：所有的平行四边形都是矩形.(为假命题). 规律方法 特称命题的否定是全称命题，写命题的否定时要分别改变其中的量词和 判断词.即p：∃x0∈M，p(x0)成立⇒綈p：∀x∈M，綈p(x)成立.
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规律方法 对于涉及是否存在的问题，通常总是假设存在，然后推出矛盾，或找出 存在符合条件的元素.一般地，对任意的实数x，a>f(x)恒成立，只要a>f(x)max；若存 在一个实数x0，使a>f(x0)成立，只需a>f(x)min.
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(2)解 ∵f(x)≤4x恒成立， ∴3ax2＋2x－1≤0恒成立.
当 a＝0 时，2x－1≤0，解得 x≤12，所以 a＝0 不成立，
当 a≠0 时，必须aΔ<≤0，0，即a4<＋01，2a≤0， 解得 a≤－13， 综上可知，实数 a 的取值范围是－∞，－13.
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【训练2】 写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数； (2)某些平行四边形是菱形；
(3)∃x0，y0∈Z，使得 2x0＋y0＝3.
解 (1)命题的否定是“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，即“所有实数的绝 对值都不是正数”.为假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”，即“每一个平行四边形都不是菱 形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.
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提示 (1)由于命题“∀x∈R，x2－1≥－1”是全称命题，故其否定是特称命题，所 以(1)错. (2)由于綈p的否定是p，所以p是全称命题. (3)用自然语言描述的全称命题的否定形式不唯一，如“所有的菱形都是平行四边 形”，它的否定是“并不是所有的菱形都是平行四边形”，也可以是“有些菱形不 是平行四边形”. 答案 (1)× (2)√ (3)×
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题型一 全称命题的否定
【例1】 写出下列全称命题的否定： (1)任何一个平行四边形的对边都平行； (2)数列：1，2，3，4，5中的每一项都是偶数； (3)∀a，b∈R，方程ax＝b都有唯一解； (4)可以被5整除的整数，末位是0. 解 (1)是全称命题，其否定为：存在一个平行四边形，它的对边不都平行. (2)是全称命题，其否定：数列：1，2，3，4，5中至少有一项不是偶数. (3)是全称命题，其否定：∃a，b∈R，使方程ax＝b的解不唯一或不存在. (4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0. 规律方法 全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后
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【探究2】 已知函数f(x)＝x2－2x＋5. (1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求实数m的取值范围. 解 (1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)， 即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4，f(x)max＝－4. 要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可. 故m的取值范围为(－4，＋∞). (2)不等式m－f(x0)>0可化为m>f(x0)，若存在一个实数x0，使不等式m>f(x0)成立，只需 m>f(x)min. 又f(x)＝(x－1)2＋4， ∴f(x)min＝4，∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4，＋∞).