高中数学必修一4.1 样本的数字特征

4.1 样本的数字特征 课后训练·巩固提升
150,152,153,149,148,146,151,150,152,147,由此估计这车苹果单个重量的平均值是( ) A.150.2 g B.149.8 g 4 g D.147.8 g
x =
150+152+153+149+148+146+151+150+152+147
10
=149.8(g). :
s 1,s 2,s 3( ) A.s 3>s 1>s 2 B.s 2>s 1>s 3
s 1=√20×[5×(7-8.5)2+5×(8-8.5)2+5×(9-8.5)2+5×(10-8.5)2]=√25
20, 同理s 2=√29
20
,s 3=√2120
,所以s 2>s 1>s 3.故选B.
3.如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为x A 和x B ,样本标准差分别为s A 和s B ,则 ( )
A.x A >x B ,s A >s B
B.x A <x B ,s A >s B
C.x x B ,s A <s B
D.x A <x B ,s A <s B
由题图易得x A <x B ,又A 波动性大,B 波动性小,所以s A >s B . 3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2,有下列结论: ①这组数据的众数是3;
②这组数据的众数与中位数的数值不相等; ③这组数据的中位数与平均数的数值相等; ④这组数据的平均数与众数的数值相等.
其中正确的结论的个数为( ) B .2 C .3 D .4
11个数中,数3出现了6次,频率最高,故众数是3;将这11个数按从小到大顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10,中间数据是3,故中位数是3;而平均数x =
2×2+3×6+6×2+10
11
=4.故只有①正确.
个数据的平均数是3,标准差是2,则方差是 ;这10个数据的平方和是 .
10个数分别为x 1,x 2,…,x 10, 则x =x 1+x 2+…+x 10=30. 已知标准差为2,则方差s 2=4.
故(x 1-x )2+(x 2-x )2+…+(x 10-x )2=x 12+x 22+…+x 102
-2x (x 1+x 2+…+x 10)+10x 2=40,
2+x 22+…+x 102
=40-10×9+2×3×30=130.
130
9的一组数据,其平均数是5,频率条形图如图所示,则其标准差等于 .(结果保留根号)
2与8的个数相等,多于5的个数,数字5出现的频率在0.1与0.2之间,故数字5的1,于是这9个数分别为2,2,2,2,5,8,8,8,8. x =5,s 2=1
9[(2-5)2×4+(5-5)2+(8-5)2×4]=1
9×72=8,
s=2√2.
√2
100分),结果如下表:
请根据表中提供的信息,解答下列问题: (1)参加这次演讲比赛的同学共有多少人?
(2)已知分数在91~100分的同学为成绩优秀者,则优秀率为多少? (3)所有参赛同学的平均得分M (分)在什么范围内? (4)将下图中的成绩频率分布直方图补充完整.
参加这次比赛的同学共有2+8+6+4=20(人). (2)分数在91~100分的人数为4,故优秀率为4
20=20%. (3)总分数段最小值及最大值分别除以人数, 得1
20×(61×2+71×8+81×6+91×4)=77,
120
×(70×2+80×8+90×6+100×4)=86, 故平均得分M 的取值范围是77≤M ≤86.
(4)根据第三组的人数得其频率为620
=0.3,
频率组距
=
0.3
10
=0.03,则频率分布直方图补充如下:
8.为了了解汽车在某一路段上的速度,交警对这段路上连续行驶过的50辆汽车的速度(单位:km/h)进
(1)试估计在这段路上汽车行驶的平均速度; (2)试估计在这段路上汽车行驶速度的标准差. :利用组中值估计)
用各速度区间的组中值作为汽车在这一区间行驶的平均速度,各区间速度的平均值分别为.
故样本的平均数为x =1
50(45×1+55×4+65×10+75×15+85×12+95×6+105×2)=76.8(km/h). 故估计在这段路上汽车行驶的平均速度为76.8km/h .
(2)由上面各组中值和样本的平均数,可得这段路上50辆汽车行驶的速度方差
s 2=1
50
[1×(45-76.8)2+4×(55-76.8)2+10×(65-76.8)2+…+6×(95-76.8)2+2×(105-76.8)2]=174.76, 从而,标准差s ≈13.2(km/h).
故估计在这段路上汽车行驶速度的标准差为13.2km/h . 9.
通过计算可得两个组的平均分都是80分,请根据你所学过的统计知识,进一步判断这两个组在这次竞,并说明理由.
甲组成绩的众数为90分,乙组成绩的众数为70分,从成绩的众数比较,甲组的成绩好一些.
(2)s 甲2=1
50[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172.
s 乙2
=150(4×900+4×400+16×100+2×0+12×100+12×400)=256. 因为s 甲2<s 乙2,所以甲组的成绩比乙组的成绩稳定.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分,其中,甲组成绩在80分及80分以上的有33人,乙组成绩在80分及80分以上的有26人,从这一角度来看甲组的成绩总体较好.
(4)从成绩统计表来看,甲组的成绩在90分及90分以上的人数为14+6=20,乙组的成绩在90分及90分以上的人数为12+12=24.
所以乙组成绩集中在高分段的人数多,同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6,从这一角度来看,乙组的成绩较好.
原来数据的平均数和方差分别是( ) A .81.2,4.4 B .78.8,4.4
.4 D .78.8,75.6 设原来的平均数为x ,
则x -=1.2,可得x =81.2.方差不变.
,得100分的有1人,95分的有1人,90分的有2人,85分的有4人,80分和75分的各有1人,则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是 ( ) A .85,85,85 B .87,85,86 D .87,85,90
1,a 2,…,a 20这20个数据的平均数为x ,方差为0.20,则数据a 1,a 2,…,a 20,x 这21个数据的方差
,a 20这20个数据的平均数是x ,方差为0.20,
∴20[(a 1-x )2+(a 2-x )2+…+(a 20-x )2]=0.2, ∴[(a 1-x )2+(a 2-x )2+…+(a 20-x )2]=4, ∴a 1,a 2,…,a 20,x 这21个数据的方差
s 2=1
21
[4+(x −x )2]=421
.
4.在某次考试中,要对甲、乙两名同学的学习成绩进行检查,甲同学的平均分x 甲=76,方差s 甲2
=4,乙同学的平均分x 乙=77,方差s 乙2=10,则 同学平均成绩好, 同学各科发展均衡.
. ∵x 甲x 乙,
∴乙同学的平均成绩好.
∵s 甲2<s 乙2, .
甲
10个进行寿命(单位:天)测试,得灯泡寿命数据如下: 30 35 25 25 30 34 26 25 29 21
则估计这批灯泡的平均寿命x = ,方差s 2= .
17.4
2,3,3,7,a ,b ,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5.若要使该总体的方差最小,则a ,b 的取值分别是 .
中位数为10.5,∴
a+b
2
=10.5,即a+b=21. ∵x =2+3+3+7+a+b+12+13.7+18.3+20
10
=10,
∴s 2=1
10[(10-2)2+(10-3)2+(10-3)2+(10-7)2+(10-a )2+(10-b )2+(10-12)2+(10-13.7)2+(10-18.3)2+(10-20)2].
令y=(10-a )2+(10-b )2=2a 2-42a+221=2(a -212)2+1
2,
当a=10.5时,y 取最小值,方差s 2也取最小值. .5,b=10.5.
.5,10.5
20名同学在一次英语听力比赛中的成绩(单位:分)为56,68,68,64,65,70,72,73,71,71,76,76,77,80,86,88,89,80,82,88. (1)这20名同学的平均成绩x 是多少?标准差s 是多少?
成绩位于x -s 与x +s 之间的有多少名同学?所占的百分比是多少?
平均成绩为
x =1
20(56+68+68+64+65+70+72+73+71+71+76+76+77+80+86+88+89+80+82+88)=75(分);
方差s 2=1
20[(56-75)2+2×(68-75)2+(64-75)2+(65-75)2+(70-75)2+(72-75)2+(73-75)2+2×(71-75)2+2×(76-75)2+(77-75)2+2×(80-75)2+(86-75)2+2×(88-75)2+(89-75)2+(82-75)2]=75.5,标准差s ≈8.689.
(2)因为x -s=75-8.689=66.311,x +s=75+8.689=83.689,
成绩位于x -s 与x +s 之间的有68,68,70,72,73,71,71,76,76,77,80,80,82共13个,所占的百分比为
1320
×100%=65%. 所以成绩位于x -s 与x +s 之间的有13名同学,所占的百分比是65%.
8.甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
(1)中的结果,对两人的训练成绩作出评价.
由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 分,13分,12分,14分,16分; 乙:13分,14分,12分,12分,14分.
x 甲=
10+13+12+14+16
5
=13(分), x 乙=13+14+12+12+14
5
=13(分), s 甲2
=15[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
s 乙2
=15[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)由s 甲2>s 乙2可知乙的成绩较稳定.
从折线图上看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩无明显提高也无明显下降.。