中考数学 第1编 教材知识梳理篇 第8章 圆 第22讲 圆的

第八章圆
第二十二讲圆的有关性质
,考标完全解读) 考点考试内容考试要求
圆的相关概念
圆的定义理解弦、弧、圆心角的定义理解圆的对称性了解
圆的有关性质及定
理
垂径定理掌握
圆周角定理了解弦、弧、圆心角之间的关系了解圆内接四边形的性质了解
,感受宜宾中考)
1.(2016宜宾中考)在平面直角坐标系内，以点P(1，1)为圆心，5为半径作圆，则该圆与y 轴的交点坐标是__(0，3)或(0，－1)__
2．(2015宜宾中考)如图，AB 为⊙O 的直径，延长AB 至
点D ，使BD ＝OB ，DC 切⊙O 于点C ，点B 是CF ︵
的中点，弦CF 交AB 于点E ，若⊙O 的半径为2，则CF ＝
__．,核心知识梳理)
与圆有关的概念及其性质
1．圆的定义
(1)到定点距离__相等__的所有点构成的图形叫做圆；
(2)在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做__圆心__，线段OA叫做__半径__．
2．圆心确定圆的____位置__，半径确定圆的__大小__．圆心相同的圆叫做同心圆，能够重合的两个圆叫做等圆．
3．圆的有关概念
(1)弦：连接圆上任意两点的线段；
(2)直径：经过圆心的弦，直径等于半径的2倍；
(3)弧：圆上任意两点间的部分．
【温馨提示】圆上任一条弦都对应两条弧．
4．圆的对称性
(1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在__直线__都是圆的对称轴．
(2)圆是中心对称图形，对称中心是__圆心__．
垂径定理及其推论
5．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 6．垂径定理的推论：
(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； (2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3)平分弦及其所对的一条弧的弦经过圆心，并且平分弦所对的另一条弧； (4)圆的两条平行弦所夹的弧__相等__． 7．垂径定理及其推论的延伸．
根据圆的对称性，如图，在以下五条结论：①AC ︵＝BC ︵；②AD ︵＝BD ︵
；③AE＝BE ；④AB⊥CD；⑤CD 是直径，只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即“知二推三”．
【针对练习】
已知，AB 是⊙O 的直径，弦C D⊥AB 于点P ，CD ＝10 cm ，AP ∶PB ＝1∶5，则⊙O 的半径为__35__ cm . 8．垂径定理的应用
用垂径定理进行证明或计算时，常需作出圆心到弦的垂线段(弦心距)，则垂足为弦的中点，再利用由半径、弦心距和半弦构成直角三角形来达到求解的目的，这样圆中的弦长a 、半径r 、弦心距d 及弓形高h 四者之间就可以做到“知二求二”．
【针对练习】
如图，一个宽为2 cm 的刻度尺(刻度单位：cm )，放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为__13
4
__ cm .
弦、弧、圆心角之间的关系
9．定理：在__同圆__或__等圆__中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．
10．推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弦__相等____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，
那么它们所对的圆心角__相等__，所对的弧__相等__． 【针对练习】
如图，在⊙O 中，已知BD ︵＝CE ︵
，那么图中共有__4__对全等三角形．
圆周角定理
11．圆周角的定义：顶点在__圆__上，并且两边都与圆相交，这样的角叫做圆周角．12．圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__一半__．
13．推论：
(1)同弧或等弧所对的圆周角__相等__；
(2)半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
【针对练习】
如图，在⊙O中，AD是直径，∠ABC＝40°，则∠CAD＝____50°__．
圆内接四边形的性质
14．圆内接四边形的对角__互补__，它的任意一个外角等于这个角的__对角__．
,重点难点解析)
有关圆中圆心角与圆周角的计算
【命题规律】考查对圆心角、圆周角定理的理解和运用．基础题目，以填空、选择题的形式出现．
【例1】 (2017招远期中)如图， ⊙O 直径为10 cm ，两条直径AB ，CD 相交成90°角．∠AOE＝50°，OF 是∠BOE 的平分线．求圆心角∠COF 的度数．
【解析】由平角的定义得到∠BOE＝130°，由角平分线的定义得到∠BOF＝1
2∠BOE ＝65°，于是得结论．
【答案】解：∵∠AOB＝180°，∠AOE ＝50°， ∴∠BOE ＝130°， ∵OF 是∠BOE 的平分线， ∴∠BOF ＝1
2
∠BOE ＝65°，
∵两条直径AB ，CD 相交成90°角， ∴∠COF ＝90°－65°＝25°. 【针对训练】
1．(2017青岛中考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED＝20°，则∠BCD 的度数为( B )
A ．100°
B ．110°
C ．115°
D ．120°
,(第1题图))
,(第2题图))
2．(泰安中考)如图，点A，B，C是⊙O上的三点，且四边形ABCO是平行四边形，OF⊥OC交⊙O于点F，则∠BAF等于( B)
A．12.5°B. 15°C. 20°D. 22.5°
3．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D.若∠A＝30°，CD ＝23，则⊙O 的半径长为__2__．
垂径定理
【命题规律】考查垂径定理的应用，题目常与勾股定理结合，是中考的热点．题目以填空、选择题的形式出现．
【例2】如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为P ，BP ＝2 cm ，CD ＝6 cm ，求直径AB 的长．
【解析】连接OC ，由垂径定理可知CP ＝1
2CD ＝3，设半径为r ，由勾股定理可求出r 的值．
【答案】解：连结OC. ∵OB ⊥CD ，O 为圆心， ∴CP ＝1
2
CD ＝3，
设OC ＝OB ＝r ， ∴OP ＝r －2，
在Rt △OCP 中，由勾股定理得： (r －2)2
＋32
＝r 2
， ∴r ＝134
，
∴直径AB ＝2r ＝13
2.
【针对训练】
4．如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD ，垂足为E ，连结CO ，AD ，∠BAD ＝20°，则下列说法中正确的是( D )
A ．AD ＝2O
B B ．CE ＝EO
C ．∠OCE ＝40°
D ．∠BOC ＝2∠BA D
,(第4题图))
,(第5题图))
5．如图，AD和AC分别是⊙O的直径和弦，且∠CAD＝30°，OB⊥AD，交AC于点B，若OB＝3，则BC＝__3__．
6．已知⊙O的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB＝24 cm，CD＝10 cm，则AB，CD之间的距离为( D)
A．7 cm B．17 cm
C．12 cm D．17 cm或7 cm
圆的性质的综合应用
【命题规律】考查利用圆的性质解决问题的能力．题目以解答题形式出现较多．
【例3】(2017崇左中考)如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连结DE，
现给出两个命题： ①若AC ＝AB ，则DE ＝CE ；
②若∠C＝45°，记△CDE 的面积为S 1，四边形DABE 的面积为S 2，则S 1＝S 2，那么( )
A ．①是真命题，②是假命题
B ．①是假命题，②是真命题
C ．①是假命题，②是假命题
D ．①是真命题，②是真命题
【解析】根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B，根据圆内接四边形的性质得到∠B＝∠C DE ，根据等腰三角形的判定判断①；根据相似三角形的面积比等于相似比的平方判断②.
【答案】D 【针对训练】
7．(2017苏州中考)如图，已知△ABC 内接于☉O，AB 是直径，点D 在☉O 上，DO ∥BC ，过点D 作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 边于点F.
(1)求证：△DOE∽△ABC； (2)求证：∠ODF＝∠BDE；
(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝2
7
，求sin A 的值．
解：(1)∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵DE ⊥AB ， ∴∠DEO ＝90°， ∴∠DEO ＝∠ACB.
∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC， ∴△DOE ∽△ABC ；
(2)∵△DOE∽△ABC，∴∠ODE ＝∠A.
∵∠A 和∠BDC 是BC ︵
所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC， ∴∠ODE ＝∠BDC，∴∠ODF ＝∠BDE； (3)∵△DOE∽△ABC，∴S △DOE S △ABC ＝(OD AB )2＝1
4，
即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1. ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝1
2S △ABC ，
即S △BOC ＝2S 1.
∵S 1S 2＝2
7，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ， ∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝1
2OE ，
即OE ＝23OB ＝2
3OD ，
∴sin A ＝sin ∠ODE ＝OE OD ＝2
3
.
8．(2017武汉中考)如图，△ABC 内接于⊙O，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.
(1)求证：AO 平分∠BAC；
(2)若BC ＝6，sin ∠BAC ＝3
5，求AC 和CD 的长．
解：(1)延长AO 交BC 于点H ，连结BO.
∵AB ＝AC ，OB ＝OC ，∴A ，O 在线段BC 的中垂线上，
∴AO ⊥BC.
又∵AB＝AC ，∴AO 平分∠BAC； (2)过点D 作DK⊥AO 于K.
∵由(1)知AO⊥BC，OB ＝OC ，BC ＝6， ∴BH ＝CH ＝12BC ＝3，∠COH ＝1
2∠BOC.
∵∠BAC ＝1
2∠BOC ，∴∠COH ＝∠BAC.
在Rt △COH 中，∠OHC ＝90°，sin ∠COH ＝HC
CO .
∵CH ＝3，∴sin ∠COH ＝3CO ＝3
5，∴CO ＝AO ＝5.
∵CH ＝3，∴OH ＝OC 2
－HC 2
＝52
－32
＝4. ∴AH ＝AO ＋OH ＝5＋4＝9，
tan ∠COH ＝tan ∠DOK ＝34
.
在Rt △ACH 中，∠AHC ＝90°，AH ＝9，CH ＝3， ∴tan ∠CAH ＝CH AH ＝39＝1
3，
AC ＝AH 2
＋HC 2
＝92
＋32
＝310.
由(1)知∠COH＝∠BOH，tan ∠BAH ＝tan ∠CAH ＝1
3.
设DK ＝3a.
在Rt △ADK 中，tan ∠BAH ＝1
3.
在Rt △DOK 中，tan ∠DOK ＝3
4.
∴OK ＝4a ，DO ＝5a ，AK ＝9a ， ∴AO ＝OK ＋AK ＝13a ＝5. ∴a ＝513，DO ＝5a ＝2513，
CD ＝OC ＋OD ＝5＋2513＝9013，
∴AC ＝310，CD ＝90
13
.
,当堂过关检测)
1．同圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是( A)
A.2：1
B. 3：1 C．2：1 D．3：1
2．已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧CD上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是( A)
A．45°B．60°C．75°D．90°
,(第2题图))
,(第3题图))
3．如图，CD 是⊙O 的弦，点P 在弦CD 上，过点P 作PA⊥OP 交⊙O 于点A ，已知，CP ＝2 cm ，PD ＝8 cm ，则PA ＝__4______cm .
4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝9，连接AC ，D 是圆周上一点，连接DB ，DC ，且tan ∠BDC ＝3
4，求
⊙O 的直径AB 的长．
解：∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°. 又∵ ∠A＝∠D，
∴tan ∠BAC ＝BC AC ＝tan ∠BDC ＝3
4.
又∵BC＝9，∴9AC ＝3
4，
∴AC ＝12，
∴AB ＝AC 2
＋BC 2
＝122
＋92
＝15.
5．如图是一块车轮碎片的示意图，点O 是这块轮片的圆心，AB ＝24 cm ，C 是弧AB 上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，CD ＝4 cm ，求原轮片的半径．
解：在Rt △OAD 中，设半径是x ，则OA ＝x ，OD ＝x －4，AD ＝1
2AB ＝12.
根据勾股定理定理得到： x 2
＝(x －4)2
＋122
， 解得x ＝20.
所以原轮片的半径是20 cm .
6．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E ，点P 在⊙O 上，∠1＝∠C.
(1)求证：CB∥PD；
(2)若BC ＝3，sin P ＝3
5，求⊙O 的直径．
解：(1)∵∠C＝∠P，∠1＝∠C， ∴∠1＝∠P，∴CB ∥PD ；
(2)连接AC ，∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°.
又∵CD⊥AB，
∴ BC ︵＝BD ︵
，∴∠P ＝∠CAB.
又∵sin P ＝35，∴sin ∠CAB ＝35，即BC AB ＝3
5，
又知，BC ＝3，∴AB ＝5，∴直径为5.。