苏教版高二数学选修4-5 综合法、放缩法 课件(20张)

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>
2 ������+
(k
������+1
∈N+)等
.
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(3)放 缩 法的理论依据主要有:①不等式的传递性;②等量加不等量为不 等 量 ;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④均值不等式 和 绝 对值不等式的性质;⑤三角函数的有界性.
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2.放 缩 法 (1)定义:通过缩小(或放大)分式的分母(或分子),或通过放大(或缩小)被 减式(或减式)来证明不等式,这种证明不等式的方法称为放缩法.
(2)放缩法证明不等式的主要依据:①不等式的传递性;②等量加不等量 为不等量;③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较;④均值不 等式和绝对值不等式的性质;⑤三角函数的有界性.
证 明 :∵S =���4���������������������,R=1,S =14,∴ab c=1,
且 a,b,c 不全相等,否则 a=1 与 a=2Rsin 60°= 3矛盾,
∴1
������
+
1 ������
+
1������ =bc+ac+ab.
又 bc+ac≥2 ������������������2=2 ������,
+
������+������������-������>6-3=3.
反思在利用 a+b≥2 ������������时,必须满足“一正二定三相等”,而本题中 a,b,c
为不全相等的正数,故三项之和取不到 6,即等号不能传递下去.
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的.
(2)放缩时使用的主要方法有:①舍去或加上一些项,如 ������ + 1 2 + 3 >
2
4
������
1 ������2
+ <
���12���(���1���2-1;②)(k将>1分),���1���子2 >(或������(分������1+母1) ), 放1������大<(或������+缩2 ���小���-1),,如1������
又1
a+b
+
1 b+c
+
c
1+a≥3·3
(������+������)(������1+������)(������+������),

(a+b+c)
1 +1
������+������ ������+�����

12·3·3
(������
+
������)(������
求证过程
求证目标 方向
综合 基本不等式或已经证 法 明过的不等式
实施一系列的推理或等 价变换
要求证的 由因
结论
导果
分析 法
要求证的不等式
寻求结论成立的充分条 件并证明其成立
所需条件 执果 全都成立 索因
(2)用 综 合 法与分析法证明不等式的逻辑关系.
综 合 法:A(已知)⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(结论)(逐步推演不等式成立的必 要 条 件),
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题型一 题型二
边长【分变别式为训a,练b,c1,求】证在:1������△+AB1������ C+中1������ >,已知������ △+AB���C��� +的面������.积为14,外接圆半径为 1,三
<
1������.
∴1
2
=
������ 2������

1 ������+1
+
������1+2+… +21������
<
������������=1,
即 原 不等式成立.
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法.
(2)证明原理:A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B,即从已知条件 A 出发,逐步推演不 等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论 B.
【 做 一做
1】

a,b,c
都是正数,求证:(a+b+c)·������1+������
+
1 ������+������
+
1 ������+������
≥ 92.
证明:∵(a+b)+(b+c)+(c+a)≥3·3 (a + b)(b + c)(c + a),
ca+ab≥2 ������2������������=2 ������,
bc+ab≥2 ������������2������=2 ������,
∵a,b,c 不全相等,∴上述三式中“=”不能同时成立.
∴2(bc+ac+ab)>2( ������ + ������ + ������),
即 bc+ac+ab> ������ + ������ + ������.
2
2
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1 .分 析 法与综合法的比较 剖 析 :(1)综 合法与分析法的比较如下表.
方法 起始步骤
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1.理解综合法的方法与步骤,会用综合法证明简单的不等式. 2.认识放缩法,了解它的方法与步骤,会用放缩法证明简单的不等式.
即 由 条件出发推导出所要证明的不等式成立. 分 析 法:B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(已知或明显成立的条件)(步步寻 求 不 等式成立的充分条件).
总 之 ,分析法与综合法是对立统一的两种方法.
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=������������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������������-3.
∵a,b,c 为不全相等的正数,
∴������
������
+
������������≥2,������������
+
������������≥2,������������
∴1 + 1 + 1 >
������ ������ ������
������ +
������ +
������.
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证明:由 2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),

1 2������

当 k=1
���时���1+���,���21<������ ≤1������.������1+1
<
1������;

k =2
时,21������

1 ������+2
<
1������;
……

k =n
时,21������

1 ������+������
+ ������)(������
+
������)·3·3
1
=
(������+������)(������+������)(������+������)
92.
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题型一 题型二
反思放缩法证明不等式,放缩要适度,否则会陷入困境,例如证明112 +
212+… +���1���2
<
74,根据���1���2
<
1 ������-1

1������,如果从第
3
项开始放缩,正好可证明;如果从
第 2 项开始放缩,可证得小于 2.当放缩方式不同时,结果也在变化.
题型一 题型二
题型二 利用放缩法证明不等式
【 分
例 析
:2要】求设一个n 是n 正项整分数式,������求1+1证+:12������1+≤2���+���1+…1 ++21������������1+的2+范…围+,它21������<的1和. 又求不出来,
可 以 采用“化整为零”的方法,先观察每一项的范围,再求整体的范围.
主 要 形式.
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题型一 题型二
题型一 利用综合法证明不等式
【例
1】

a,b,c
为不全相等的正数,求证:������+������������-������
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2 .用 放 缩法证明不等式
剖 析 :(1)为 了证明不等式,有时需舍去或添加一些项,使不等式一边放
大 或 缩小,利用不等式的传递性,达到证题的目的,这种方法就是放缩法.运
用 放 缩法要注意放缩必须适当,放得过大或缩得过小都不能达到证题的目
对 不 等式而言,放缩法的本质是“不等式的加强”.
(4)运 用 放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当.如果所要证 明 的 不等式中含有分式,那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小;反
之 ,如果把分母缩小,则相应分式的值就会放大.有时也会把分子、分母同时 放 大 ,这时应该注意不等式的变化情况,可以与相应的函数相联系,以达到判 断 大 小的目的,这些都是我们在证明中的常用方法与技巧,也是放缩法中的
+
������������≥2
中 的 等号不可能同时成立,

������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
+
������ ������
>6,
∴������+������-������
������
+
������+������-������ ������
������(������ + 1) < (������+21)2.
∴ 1 × 2 + 2 × 3+…+ ������(������ + 1)
<32 + 52+…+2������2+1 =
������(3+2������+1) 2
2
= ������(������+2)
2
=������2+2������ < (������+1)2.
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1 .综 合 法
(1)定义:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数和几何平均数
的定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这种证明方法叫综合
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【做一做 2】若 n∈N+,求证: 1 × 2 + 2 × 3+…+
分 证
析 明
:利用 ������(������
:∵ ������(������ +
+ 1)
1) <
< ������+������+1 ������+������+21 =
2
=2������22+���1���2+, 1来证明.
名师点拨放 缩法证明不等式常见以下四种类型:(1)直 接放缩;(2)裂项放
缩 ;(3)利 用数列或函数的单调性放缩;(4)利用基本不等式放缩.
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+
������+������-������ ������
+
������+������������-������>3.
分 析 :利用不等式的性质,对不等式的左边进行整理,化简.
证明:左边=������������ + ������������-1+������������ + ������������-1+������������ + ������������-1
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