高三数学摸底测试试题文试题

高三数学摸底测试试题文
本套试卷分选择题和非选择题两局部。

第一卷〔选择题〕1至2页，第二卷〔非选择题〕3至4页，一共4页，满分是150分，考试时间是是120分钟。

考前须知：
1．在答题之前，必须将本人的姓名、考籍号填写上在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。

5．在在考试完毕之后以后，只将答题卡交回。

第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1．设集合}20|{<<=x x A ，}1|{≥=x x B ，那么=B A
(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x (C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x 2．复数i i
i
z (22-=
为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
3．函数⎩⎨
⎧>≤-=.
0,ln 0|,1|)(x x x x x f ，那么=))1
((e f f
(A)0 (B)1 (C)1-e (D)2
4．为了加强全民爱眼意识，进步民族安康素质，1996年，卫生部，教育部，团HY 等12个部委结合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日〞．某校高-(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．随机数表中第6行至第7行的各数如下：
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 假设从随机数表第6行第9列的数开场向右读，那么抽取的第5名学生的学号是 (A)17 (B)23 (C)35 (D)37
5．记函数)(x f 的导函数是)('x f ．假设2
()cos x f x x π=
-，那么=)6
('π
f
(A)61-
(B)65
(C)6332- (D)6332+
6． “3=
k 〞是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切〞的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
7．离心率为2的双曲线22
221(0x y a a b
-=>，)0>b 与椭圆22184x y +=有公一共焦点，那么
双曲线的方程为
(A)
221412x y -=(B)221124x y -=(C)22
13y x -=(D)2213
x y -= 8．执行如下图的程序框图，那么输出的结果S 为
(A)1- (B)
2 (C)0 (D)12
--
9．如图是某几何体的三视图．假设三视图中的圆的半径均为2，那么该几何体的外表积为 (A)π14 (B)π16 )(C π18 )(D π20
10．在平面直角坐标系xOy 中，直线)1(:+=x k y l 与曲线θθθθ
(cos sin 2sin 1:⎩
⎨
⎧+=+=y x C 为参数
)在第一象限恰有两个不同的交点，那么实数k 的取值范围为
(A)(0,1) (B)1
(0,)2 (C)2[
3 (D)21[)32
11．函数3||2)(2
++-=x x x f ．假设)2(ln f a =，)3ln (-=f b ，)(e f c =，，那么c b a ,,的大小关系为
(A)c a b >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >>
12．设R b k ∈,，假设关于x 的不等式x b kx ln 1≥++在),0(+∞上恒成立，那么k
b
的最小值是
(A)2
e - (B)1e - (C)21
e
-
(D)e -
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上． 13．呈线性相关的变量y x ,之间的关系如下表：
由表中数据得到的回归直线方程为a x y
ˆ6.1ˆ+=．那么当8=x 时，y ˆ的值是 ． 14．函数32)(+-=x
e x
f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为 ．
15．甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会〞；乙说：“我不会〞；丙说：“甲不会〞，假如这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 ．
16．点P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆
2222b a y x -=+上．记直线1PF 的斜率为k ，假设1≥k ，那么椭圆离心率的最小值
为 ．
三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔本小题满分是12分〕
2021年12月，?生活垃圾分类标志?新HY 发布并正式施行，为进一步普及生活垃圾分类知识，理解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进展了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组
[25,30)
200
第二组 [30,35) 300
第三组 [35,40) m
第四组 [40,45) 150
第五组 [45,50) n
第六组 [50,55]
50 合计
1000
各年龄段频数分布表
(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中n m ,的值； (Ⅱ)现从年龄在)40,30[
段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段中的概率．
18．〔本小题满分是12分〕
函数12)(2
3
-+++=a bx ax x x f 在1-=x 处获得极值0，其中a ，R b ∈． (I)求b a ,的值；
(Ⅱ)当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最大值．
19．〔本小题满分是12分〕
如图①，在菱形ABCD 中，
60=∠A 且2=AB ，E 为AD 的中点．将ABE ∆沿BE 折起使2=
AD ，得到如图②所示的四棱锥BCDE A -．
(I)求证：平面⊥ABE 平面ABC ；
(Ⅱ)假设P 为AC 的中点，求三棱锥ABD P -的体积．
20．〔本小题满分是12分〕
在同—平面直角坐标系xOy 中，圆42
2=+y x 经过伸缩变换⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x
x 21'':ϕ后，
得到曲线C ． (I)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)设曲线C 与x 轴和y 轴的正半轴分别相交于B A ,两点，P 是曲线C 位于第二象限上的一点，且直线PA 与y 轴相交于点M ，直线PB 与x 轴相交于点N ．求ABM ∆与BMN ∆的面积之和．
21.〔本小题满分是12分〕 函数x x x f ln )1()(-=． (I)判断)(x f 的单调性；
(Ⅱ)设1)1()(2
+-+-=x a ax x g ，R a ∈．当],1[2
2
e e x ∈时，讨论函数)(x
f 与)(x
g 图象的公一共点个数．
22．〔本小题满分是10分〕选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (222
21⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=为参数)．以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=． (I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (Ⅱ)点)0,1(P ．假设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求2
2||1
||1PB PA +的值．
2021级高中毕业班摸底测试
数 学〔文科〕
本套试卷分选择题和非选择题两局部。

第一卷〔选择题〕1至2页，第二卷〔非选择题〕3至4页，一共4页，满分是150分，考试时间是是120分钟。

考前须知：
1．在答题之前，必须将本人的姓名、考籍号填写上在答题卡规定的位置上。

2．答选择题时，必须使需要用2B 铅笔将答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4．所有题目必须在答题卡上答题，在试题卷上答题无效。

5．在在考试完毕之后以后，只将答题卡交回。

第一卷〔选择题，一共60分〕
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．
1．设集合}20|{<<=x x A ，}1|{≥=x x B ，那么=B A C
(A)}10|{≤<x x (B)}10|{<<x x (C)}21|{<≤x x (D)}20|{<<x x 解：{|12}A
B x x =≤<，应选C
2．复数i i
i
z (22-=
为虚数单位)在复平面内对应的点位于B (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 解：22(2)2424
2(2)(2)555
i i i i z i i i i +-+=
===-+--+，其在复平面内对应的点的坐标为
24
(,)55
-，应选B 3．函数⎩⎨
⎧>≤-=.
0,ln 0|,1|)(x x x x x f ，那么=))1
((e f f D
(A)0 (B)1 (C)1-e (D)2 解：1
1()ln
1f e e ==-，1
(())(1)|2|2f f f e
=-=-=，应选D 4．为了加强全民爱眼意识，进步民族安康素质，1996年，卫生部，教育部，团HY 等12个部委结合发出通知，将爱眼日活动列为国家节日之一，并确定每年的6月6日为“全国爱眼日〞．某校高-(1)班有40名学生，学号为01到40，现采用随机数表法从该班抽取5名学生参加“全国爱眼日’’宣传活动．随机数表中第6行至第7行的各数如下：
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 假设从随机数表第6行第9列的数开场向右读，那么抽取的第5名学生的学号是C (A)17 (B)23 (C)35 (D)37 解：读取的前5名学生的学号依次是：39，17，37，23，35， 应选C
5．记函数)(x f 的导函数是)('x f ．假设2
()cos x f x x π=
-，那么=)6
('π
f B
(A)61-
(B)65
(C)6332- (D)6332+
解：2'()sin x
f x x π=+，21156'()sin 66326
f π
πππ⨯
=
+=+=，应选B 6． “3=
k 〞是“直线2+=kx y 与圆122=+y x 相切〞的A
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
解：直线2+=kx y 与圆12
2
=+y x
1=
，解得k =．应选A
7．离心率为2的双曲线22
221(0x y a a b
-=>，)0>b 与椭圆22184x y +=有公一共焦点，那么
双曲线的方程为C
(A)
221412x y -=(B)221124x y -=(C)22
13y x -=(D)2213
x y -= 解：设与椭圆22184x y +=有公一共焦点的双曲线方程为22
1(48)84
x y λλλ-=<<--，由题意知，
2
4218λλ
-=+
-，解得7λ=，所以22
13y x -=为所求，应选C 8．执行如下图的程序框图，那么输出的结果S 为B
(A)1- (B)
22 (C)0 (D)2
12
--
解： 开场 0S =
1n =
①
22 2n =
②
22
3n =
③
0 4n =
④ 1- 5n =
⑤
212--
6n = ⑥
212
--
7n = ⑦ 1- 8n = ⑧ 0
9n =
⑨
22
10n =
应选B
9．如图是某几何体的三视图．假设三视图中的圆的半径均为2，那么该几何体的外表积为C (A)π14 (B)π16 )(C π18 )(D π20
解：其直观图如下图．即球中减去上半球的右前的
18球，及下半球的左后的1
8
球．
去掉的两个
18球的球面面积为224248ππ⋅⋅=，因此而显出来的截面面积为六个14
圆的面
积，为
21
(2)664
ππ⋅⋅=，所以该几何体的外表积为：222
(4242)6126188
ππππππ⋅-⋅⋅+=+=，应选C
10．在平面直角坐标系xOy 中，直线)1(:+=x k y l 与曲线θθθθ
(cos sin 2sin 1:⎩
⎨
⎧+=+=y x C 为参数
)在第一象限恰有两个不同的交点，那么实数k 的取值范围为D
(A)(0,1) (B)1
(0,)2 (C)2[
,1)3 (D)21[,)32
解：曲线21sin 2(sin cos ):sin cos x C y θθθθθ
⎧=+=+⎨=+⎩的普通方程为2
(02)y x x =≤≤．
结合图象：
过点(1,0)-，2)的直线的斜率为
202
2(1)3
=
--， 设过点(1,0)-与抛物线2
(02)y x x =≤≤相切时的斜率为k ，由2(1)
(02)y k x y x x =+⎧⎨=≤≤⎩
消去
x ，得20ky y k -+=，由140k k ∆=-⋅=得，1
2
k =
，应选D 11．函数3||2)(2
++-=x x x f ．假设)2(ln f a =，)3ln (-=f b ，)(e f c =，，那么c b a ,,的大小关系为A
(A)c a b >> (B)a c b >> (C)c b a >> (D)b c a >>
解：显然()f x 为偶函数，定义域为R ，所以(ln3)(ln3)b f f =-=．
2
2
223,0()2||323,0
x x x f x x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩．如图．
由于0ln 21<<，所以(ln 2)(3,4)a f =∈；2
2ln ln3e e =<<，所以
(ln3)(ln3)()b f f f e c =-=>=，所以a c b <<，应选A
12．设R b k ∈,，假设关于x 的不等式x b kx ln 1≥++在),0(+∞上恒成立，那么k
b
的最小值是D
(A)2
e - (B)1e - (C)21
e
-
(D)e - 解：因为不等式x b kx ln 1≥++在),0(+∞上恒成立，所以不等式ln 1kx b x +≥-在),0(+∞上恒成立．
令()ln 1(0)f x x x =->，那么1
'()0f x x
=>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增． 又因为21
''()0f x x
=-
<，所以()f x 在(1,)+∞上是上凸的． 因此关于x 的不等式x b kx ln 1≥++在),0(+∞上恒成立，只需直线y kx b =+与函数
()ln 1(0)f x x x =->在任意点00(,)P x y 处的切线重合即可．
因为1
'()f x x
=
，所以在点点00(,)P x y 处的切线方程为：0001()y y x x x -=-， 即000000
111
11ln 1ln 2y x y x x x x x x x =
-+=-+-=+-， 所以0001(0)ln 2
k x x b x ⎧=⎪
>⎨
⎪=-⎩
，从而0000ln 2(0)b x x x x k =->． 令00000()ln 2(0)x x x x x ϕ=->，那么00'()ln 1x x ϕ=-，易知，()t ϕ在(0,)e 上单调递减，在(,)e +∞上单调递增，所以0min ()()x e e ϕϕ==-，应选D
第二卷〔非选择题，一共90分〕
二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答题卡上． 13．呈线性相关的变量y x ,之间的关系如下表：
由表中数据得到的回归直线方程为a x y ˆ6.1ˆ+=．那么当8=x 时，y ˆ的值是 3.12 ．
解：因为1234542x +++=
=，1346742y +++==，所以75ˆ1.622a
=⨯+，从而1
ˆ2
a =-，即ˆ 1.60.5y
x =-．当8=x 时，y ˆ的值是1.680.512.3⨯-=，填12.3 14．函数32)(+-=x
e x
f 的图象在点))0(,0(f 处的切线方程为 012=-+y x ．
解：因为'()2x
f x e =-，所以0
'(0)22f e =-=-，且0
(0)231f e =-+=，所以切线方程
为12(0)y x -=--，即210x y +-=，填210x y +-=．
15．甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋．甲说：“我会〞；乙说：“我不会〞；丙说：“甲不会〞，假如这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是 乙 ．
解：假设甲会，那么甲、乙均为真，不合题；假设乙会，那么丙为真，符合题意；假设丙会，那么丙、乙均为真，不合题意．故填乙
16．点P 在椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>上，1F 是椭圆的左焦点，线段1PF 的中点在圆
2222b a y x -=+上．记直线1PF 的斜率为k ，假设1≥k ，那么椭圆离心率的最小值为
21- ．
解：设椭圆的右焦点为2F ，线段1PF 的中点为M ，如图．
注意到222
a b c -=，所以线段1PF 的中点M 在圆2
2
2
x y c +=上．
易知，21
||||2
MO PF c =
=，即2||2PF c =．由椭圆的定义知，1||22PF a c =-，从而111
||||2
MF PF a c =
=-． 连2MF ．由于点M 在圆2
2
2
x y c +=上，所以1290
F MF ∠=．从而
222||(2)()MF c a c =--
又由直线1PF 的斜率1k ≥，所以222121(2)()||
tan 1||c a c MF k MF F MF --===≥，即
222(2)()()c a c a c --≥-，即2242()c a c ≥-2c a c ≥-，所以21)c a ≥，
从而2121
e ≥
=+2121 三、解答题：本大题一一共6小题，一共70分．解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17．〔本小题满分是12分〕
2021年12月，?生活垃圾分类标志?新HY 发布并正式施行，为进一步普及生活垃圾分类知识，理解居民生活垃圾分类情况，某社区开展了一次关于垃圾分类的问卷调查活动，并对随机抽取的1000人的年龄进展了统计，得到如下的各年龄段频数分布表和各年龄段人数频率分布直方图： 组数 分组 频数 第一组 [25,30) 200 第二组
[30,35)
300
第三组 [35,40) m
第四组 [40,45) 150
第五组 [45,50) n
第六组 [50,55]
50 合计
1000
各年龄段频数分布表
(I)请补全各年龄段人数频率分布直方图，并求出各年龄段频数分布表中n m ,的值； (Ⅱ)现从年龄在)40,30[
段中采用分层抽样的方法选取5名代表参加垃圾分类知识交流活动．应社区要求，从被选中的这5名代表中任意选2名作交流发言，求选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段中的概率．
解：(I) 第三组的频率为2.05)01.002.003.006.004.0(1=⨯++++-．……2分
∴第三组直方图的高为
04.05
2
.0=． ……3分 补全频率分布直方图如下列图：
……4分
由频率分布直方图，知200100002.0=⨯=m ，1001000)4550(02.0=⨯-⨯=n ．……6分
(Ⅱ)由(I)知年龄在)35,30[段中的人数与年龄在)40,53[段中的人数的比值为
2
3
200300=，
所以采用分层抽样法抽取5名，年龄在)35,30[段中的有3名，年龄在)40,53[段中的有2名． ……8分
不妨设年龄在)35,30[段中的3名为321,,A A A ，年龄在)40,35[段中的2名为21,B B ． 由于从5名代表中任选2名作交流发言的所有可能情况有：},{},,{},,{113121B A A A A A
},{},,{},,{},,{},,{},,{},,{21231322123221B B B A B A B A B A A A B A ．一共10种．……10分
其中选取的2名发言者中恰有1名年龄在)40,35[段的情况有：},{},,{2111B A B A ，
},{},,{},,{},,{23132212B A B A B A B A ．一共6种． ……11分
故所求概率为5
3
106==
P ． ……12分 18．〔本小题满分是12分〕
函数12)(2
3
-+++=a bx ax x x f 在1-=x 处获得极值0，其中a ，R b ∈． (I)求b a ,的值；
(Ⅱ)当]1,1[-∈x 时，求)(x f 的最大值．
解：(I)b ax x x f ++=43)('2
，且函数)(x f 在1-=x 处有极值O ，
⎩⎨
⎧=-=-∴.0)1(0)1('f f 即⎩⎨⎧=-+-+-=+-0
121,
043a b a b a ． 解得⎩⎨
⎧==1
1
b a ．……5分 又当1=a ，1=b 时，)3
1
)(1(3143)('2
++=++=x x x x x f ． 当)1,(--∞∈x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增； 当)3
1,1(--∈x 时，0)('<x f ，此时)(x f 单调递减； 当),3
1(+∞-∈x 时，0)('>x f ，此时)(x f 单调递增． 故)(x f 在1-=x 处获得极大值． 综上，1=a ，1=b ． ……6分
(Ⅱ)当1=a ，1=b 时，x x x x f ++=2
3
2)(．那么)3
1)(1(3143)('2
++=++=x x x x x f ．
当x 变化时，)('x f 与)(x f 的变化情况如下表：
∴当1=x 时，)(x f 获得最大值4． ……12分
19．〔本小题满分是12分〕
如图①，在菱形ABCD 中，
60=∠A 且2=AB ，E 为AD 的中点．将ABE ∆沿BE 折起使2=
AD ，得到如图②所示的四棱锥BCDE A -．
(I)求证：平面⊥ABE 平面ABC ；
(Ⅱ)假设P 为AC 的中点，求三棱锥ABD P -的体积．
解：(I)在图①中，连接BD ．
四边形ABCD 为菱形， 60=∠A ，ABD ∆∴是等边三角形．
E 为AD 的中点，AE BE ⊥∴，DE BE ⊥． ……1分
又2==AB AD ，1==∴DE AE ． 在图②中，2=
AD ，222AD ED AE =+∴．
ED AE ⊥∴． ……2分
DE BC // ，BE BC ⊥∴，AE BC ⊥．
又E AE BE = ，AE ，⊂BF 平面ABE ．
⊥∴BC 平面ABE ． ……4分
⊂BC 平面ABC ，∴平面⊥ABE 平面ABC ． ……6分
(Ⅱ)由(I)知在图②中，DE AE ⊥，BE AE ⊥．
E DE BE = ，BE ，⊂DE 平面BCDE ．
⊥∴AE 平面BCDE ．……7分
在图①的等边ABD ∆中，2=AB ，E 为AD 的中点，3=
∴BE ．
P 为AC 的中点，BCD A ABD C ABD P V V V ---==2
1
21， ……9分
又33
1322
13131=⨯⨯⨯⨯=⋅=
∆-AE s V BCD BCD A ． (11)
63
2
1==∴--BCD A p V V ABD ． ……12分
20．〔本小题满分是12分〕
在同—平面直角坐标系xOy 中，圆42
2=+y x 经过伸缩变换⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x
x 21'':ϕ后，
得到曲线C ． (I)求曲线C 的方程；
(Ⅱ)设曲线C 与x 轴和y 轴的正半轴分别相交于B A ,两点，P 是曲线C 位于第二象限上的一点，且直线PA 与y 轴相交于点M ，直线PB 与x 轴相交于点N ．求ABM ∆与BMN ∆的面积之和．
解：(I)设圆42
2=+y x 上任意一点),(y x M 经过伸缩变换⎪⎩
⎪⎨⎧==y y x x 21'':ϕ得到对应点
)','('y x M ．
将'x x =,'2y y =代入42
2
=+y x 中，得4)'2('2
2
=+y x ，化简得1'4
'22
=+y x ．
∴曲线C 的方程为14
22
=+y x ． ……4分
(Ⅱ)由题知||||2
1
|)||(|||21BM AN ON OA BM S S BMN ABM ⋅=+=+∆∆．……6分
设),(00y x P ，那么142
020=+y x ，即442020
=+y x ． 直线PA 的方程为)2(200
--=x x y y ，设点M 的纵坐标为M y ．
令0=x ，得2
200
--=x y y M ． ……7分
那么|2
2
2||221|||00000--+=-+
=x y x x y BM ． ……8分 直线PB 的方程为11
0+-=
x x y y ，设点N 的横坐标为N x ． 令0=y ，得1
00
--=y x x N ． ……9分 那么|1
2
2||12|||00000--+=-+
=y y x y x AN ． ……10分
|222|.|122|||||000000--+--+=⋅∴x y x y y x BM AN |2
248444|000000002020+--+--++=y x y x y x y x y x 4|2
28844|00000000=+--+--=y x y x y x y x ． ……11分 2||||2
1=⋅=+∴∆∆BM AN S S BMN ABM ． ……12分 21.〔本小题满分是12分〕
函数x x x f ln )1()(-=．
(I)判断)(x f 的单调性；
(Ⅱ)设1)1()(2+-+-=x a ax x g ，R a ∈．当],1[
22
e e x ∈时，讨论函数)(x
f 与)(x
g 图象的公一共点个数． 解：(I)x x x f ln )1()(-= ，11ln )('+-
=∴x
x x f ． ……1分 设11ln )(')(+-==x x x f x F ，0>x ．那么0111)('22>+=+=x x x x x F ．． ……2分 )(x F ∴在),0(+∞上单调递增． ……3分
又0)1(=F ，
∴当)1,0(∈x 时，0)('<x f ；当),1(+∞∈x 时，0)('>x f ．
所以)(x f 在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增． ……5分
(Ⅱ)讨论函数)(x f 与)(x g 图象在],1[22e e
上的公一共点个数，等价于讨论方程0)()(=-x g x f 在],1[
22
e e 上的根的个数． 即方程0)1)(ln 1(=++-ax x x 在],1[22e e
上的根的个数． 易知1=x 是0)()(=-x g x f 在],1[22e e
上的一个根． ……6分 设1ln )(++=ax x x G ，],1[22e e
x ∈． 那么方程0)()(=-x g x f 在],1[22e e 上的根的个数即函数)(x G 在],1[22e e 上不等于1的零点个数加1．
令0)(=x G ，那么x x a 1ln +=-．设x x x K 1ln )(+=，],1[22e e
x ∈． 故)(x G 的零点个数等价于直线a y -=与曲线)(x K y =的公一共点个数． ……7分
2ln )('x
x x K -=
， ∴当)1,1[2e x ∈时，0)('>x K ，此时)(x K 在)1,1[2e 上单调递增； 当],1(2e x ∈时，0)('<x K ，此时)(x K 在],1(2
e 上单调递减． )(x K ∴的最大值为1)1(=K ． 又22)1(e e K -=，2
23)(e e K =． ……8分 ∴由其函数图象性质，可得：
①1=-a ，即1-=a 时，直线a y -=与曲线)(x K y =有1个公一共点，但此时0)1(=G ．……9分
②当1>-a 或者2e a -<-，即1-<a 或者2e a >时，直线a y -=与曲线)(x K y =无公一共点；……10分 ③当132<-≤a e ，即231e
a -≤<-时，直线a y -=与曲线)(x K y =有2个公一共点；……11分 ④当223e a e <
-≤-，即223e a e ≤<-时，直线a y -=与曲线)(x K y =有1个公一共点， 综上所述，在],1[22e e
上，当1-≤a 或者2e a >时，)(x f 与)(x g 的图象有且只有1个公一共点；当231e a -≤<-时，)(x f 与)(x g 的图象有3个公一共点；当223e a e
≤<-时，)(x f 与)(x g 的图象有2个公一共点． ……12分
22．〔本小题满分是10分〕选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22221⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+=为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=．
(I)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)点)0,1(P ．假设直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，求2
2||1||1PB PA +的值． 解：(I)由直线l 的参数方程，消去参数t ，得直线l 的普通方程为01=--y x ．……2分 由222y x +=ρ，x =θρcos ，y =θρsin ，得曲线C 的直角坐标方程为9)3(22=+-y x ．……4分
(Ⅱ)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理得05222
=--t t ．…(*) ……6分
设1t ，2t 是方程(*)的两个实数根，那么有028>=∆，2221=+t t ，521-=t t ． ……8分 2518|5|)5(2)22(||2)(||||||||||1||12222
121221222222=--⨯-=-+=⋅+=+∴t t t t t t PB PA PB PA PB PA ．……10分。