中考数学一模试题分类汇编——相似综合含详细答案

中考数学一模试题分类汇编——相似综合含详细答案
一、相似
1．在△ABC中，∠ABC=90°．
（1）如图1，分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线，垂足分别为M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图2，P是边BC上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求tanC的值；
（3）如图3，D是边CA延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ，，直接写出tan∠CEB的值．
【答案】（1）解：∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AMB=∠NBC，
∴△ABM∽△BCN
（2）解：如图2，过点P作PM⊥AP交AC于M，PN⊥AM于N.
∵∠BAP+∠1=∠CPM+∠1=90°，
∴∠BAP=∠CPM=∠C，
∴MP=MC
∵tan∠PAC=，
设MN=2m,PN=m,
根据勾股定理得，PM=,
∴tanC=
（3）解：在Rt△ABC中，sin∠BAC= = ，
过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴ =
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH
∴，
设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，
∴，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在Rt△CEH中，tan∠BEC= =
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得出∠AMB=∠BNC=90°，根据同角的余角相等得出∠BAM=∠CBN，利用两个角对应相等的两个三角形相似得出：△ABM∽△BCN；
（2）过点P作PF⊥AP交AC于F，在Rt△AFP中根据正切函数的定义，由
tan∠PAC=,同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，故,设AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），然后判断出△ABP∽△CQF，得
从而表示出CQ，进根据线段的和差表示出BC，再判断出△ABP∽△CBA，得出
再得出BC，从而列出方程，表示出BC,AB，在Rt△ABC中，根据正切函数的定义得出tanC的值；
（3）在Rt△ABC中，利用正弦函数的定义得出：sin∠BAC=,过点A作AG⊥BE于G，过点C作CH⊥BE交EB的延长线于H，根据平行线分线段成比例定理得出
，同（1）的方法得，△ABG∽△BCH ，故，设BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，根据等腰三角形的三线合一得出EG=BG=4m，故GH=BG+BH=4m+3n，根据比例式列出方程，求解得出n与m的关系，进而得出EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，在Rt△CEH中根据正切函数的定义得出tan∠BEC的值。

2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题：
（1）求证：△BEF∽△DCB；
（2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值；
（3）如图2过点Q作QG⊥AB，垂足为G，当t为何值时，四边形EPQG为矩形，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由．
【答案】（1）解：证明：∵四边形是矩形，
在中，
分别是的中点，
（2）解：如图1，过点作于，
（舍）或秒
（3）解：四边形为矩形时,如图所示：
解得：
（4）解：当点在上时，如图2，
当点在上时，如图3，
时，如图4，
时，如图5，
综上所述，或或或秒时，是等腰三角形．
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可证得AD∥BC，∠A=∠C，根据中位线定理可证得EF∥AD，就可得出EF∥BC，可证得∠BEF=∠C，∠BFE=∠DBC，从而可证得结论。

（2）过点Q作QM⊥EF，易证QM∥BE，可证得△QMF∽△BEF，得出对应边成比例，可求出QM的值，再根据△PQF的面积为0.6cm2，建立关于t的方程，求解即可。

（3）分情况讨论：当点 Q 在 DF 上时，如图2， PF=QF；当点 Q 在 BF 上时， PF=QF，如图3；PQ=FQ 时，如图4；PQ=PF 时，如图5，分别列方程即可解决问题。

3．综合题
（1）【探索发现】
如图①，是一张直角三角形纸片，∠B=90°，小明想从中剪出一个以∠B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为多少．
（2）【拓展应用】
如图②，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为多少．（用含a，h的代数式表示）
（3）【灵活应用】
如图③，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（∠B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积．
（4）【实际应用】
如图④，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108cm，CD=60cm，且
tanB=tanC= ，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M、N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积．
【答案】（1）解：∵EF、ED为△ABC中位线，
∴ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，
又∠B=90°，
∴四边形FEDB是矩形，
则；
（2）解：∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，即，
∴PN=a- PQ，
设PQ=x，
则S矩形PQMN=PQ•PN=x（a- x）=- x2+ax=- （x- ）2+ ，
∴当PQ= 时，S矩形PQMN最大值为 .
（3）解：如图1，延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，
由题意知四边形ABCH是矩形，
∵AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，
∴EH=20、DH=16，
∴AE=EH、CD=DH，
在△AEF和△HED中，
∵，
∴△AEF≌△HED（ASA），
∴AF=DH=16，
同理△CDG≌△HDE，
∴CG=HE=20，
∴BI= =24，
∵BI=24＜32，
∴中位线IK的两端点在线段AB和DE上，
过点K作KL⊥BC于点L，
由【探索发现】知矩形的最大面积为×BG• BF= ×（40+20）× （32+16）=720，
答：该矩形的面积为720；
（4）解：如图2，延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，
∵tanB=tanC= ，
∴∠B=∠C，
∴EB=EC，
∵BC=108cm，且EH⊥BC，
∴BH=CH= BC=54cm，
∵tanB= = ，
∴EH= BH= ×54=72cm，
在Rt△BHE中，BE= =90cm，
∵AB=50cm，
∴AE=40cm，
∴BE的中点Q在线段AB上，
∵CD=60cm，
∴ED=30cm，
∴CE的中点P在线段CD上，
∴中位线PQ的两端点在线段AB、CD上，
由【拓展应用】知，矩形PQMN的最大面积为BC•EH=1944cm2，
答：该矩形的面积为1944cm2．
【解析】【分析】（1）由三角形的中位线定理可得ED∥AB，EF∥BC，EF= BC，ED= AB，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形FEDB是平行四边形，而∠B=90°，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形FEDB是矩形，所以
;
(2）因为PN∥BC，由相似三角形的判定可得△APN∽△ABC，则可得比例式,即,解得,设PQ=x，则S矩形PQMN=PQ•PN=x（）
,因为0，所以函数有最大值，即当PQ=时，
S矩形PQMN有最大值为;
（3）延长BA、DE交于点F，延长BC、ED交于点G，延长AE、CD交于点H，取BF中点I，FG的中点K，由矩形的判定可得四边形ABCH是矩形，根据矩形的性质和已知条件易得AE=EH、CD=DH，于是用角边角可得△AEF≌△HED，所以AF=DH=16，同理可得
△CDG≌△HDE，则CG=HE=20，所以=24,BI=24＜32，所以中位线IK的两端点在线段AB和DE上，过点K作KL⊥BC于点L，由（1）得矩形的最大面积为×BG• BF=
×（40+20）×（32+16）=720；
（4）延长BA、CD交于点E，过点E作EH⊥BC于点H，因为tanB=tanC，所以∠B=∠C，
则EB=EC，由等腰三角形的三线合一可得BH=CH=BC=54cm；由tanB可求得EH=BH=
×54=72cm，在Rt△BHE中，由勾股定理可得BE=90cm,所以AE=BE-AB=40cm，所以BE的中点Q在线段AB上，易得CE的中点P在线段CD上，由（2）得矩形PQMN的最大面积为
BC•EH=1944cm2。

4．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）求证：CE2=EH•EA；
（3）若⊙O的半径为，sinA= ，求BH的长．【答案】（1）证明：如图，
∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，
∴∠ODB=∠ABC，
∵OF⊥BC，
∴∠BFD=90°，
∴∠ODB+∠DBF=90°，
∴∠ABC+∠DBF=90°，
即∠OBD=90°，
∴BD⊥OB，
∴BD是⊙O的切线
（2）证明：连接AC，如图2所示：
∵OF⊥BC，
∴，
∴∠CAE=∠ECB，
∵∠CEA=∠HEC，
∴△CEH∽△AEC，
∴，
∴CE2=EH•EA
（3）解：连接BE，如图3所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵⊙O的半径为，sin∠BAE= ，
∴AB=5，BE=AB•sin∠BAE=5× =3，
∴EA= =4，
∵，
∴BE=CE=3，
∵CE2=EH•EA，
∴EH= ，
∴在Rt△BEH中，BH= .
【解析】【分析】（1）要证BD是⊙O的切线，只需证∠OBD=90°，因为∠OBC+∠BOD=90°，所以只须证∠ODB=∠OBC即可。

由圆周角定理和已知条件易得∠ODB=∠ABC，则∠OBC+∠BOD=90°=∠ODB+∠BOD，由三角形内角和定理即可得∠OBD=90°；
（2）连接AC，要证CE2=EH•EA；只需证△CEH∽△AEC，已有公共角∠AEC，再根据圆周角定理可得∠CAE=∠ECB，即可证△CEH∽△AEC，可得比例式求解；
（3）连接BE，解直角三角形AEB和直角三角形BEH即可求解。

5．如图,在一间黑屋子里用一盏白炽灯照一个球.
（1）球在地面上的影子是什么形状?
（2）当把白炽灯向上平移时,影子的大小会怎样变化?
（3）若白炽灯到球心的距离是1 m,到地面的距离是3 m,球的半径是0.2 m,则球在地面上影子的面积是多少?
【答案】（1）解：球在地面上的影子的形状是圆.
（2）解：当把白炽灯向上平移时,影子会变小.
（3）解：由已知可作轴截面，如图所示：
依题可得：OE=1 m，AE=0.2 m，OF=3 m，AB⊥OF于H，
在Rt△OAE中，
∴OA= = = (m)，
∵∠AOH=∠EOA，∠AHO=∠EAO=90°，
∴△OAH∽△OEA，
∴，
∴OH= == (m)，
又∵∠OAE=∠AHE=90°，∠AEO=∠HEA，
∴△OAE∽△AHE，
∴ = ，
∴AH= ==2625 (m).
依题可得：△AHO∽△CFO，
∴ AHCF=OHOF ，
∴CF= AH⋅OFOH = 2625×32425=64 (m)，
∴S影子=π·CF2=π· (64)2 = 38 π=0.375π(m2).
答：球在地面上影子的面积是0.375π m2.
【解析】【分析】（1）球在灯光的正下方，根据中心投影的特点可得影子是圆.
（2）根据中心投影的特点：在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长；所以白炽灯向上移时，阴影会逐渐变小.
（3）作轴截面（如图）由相似三角形的判定得三组三角形相似，再根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得阴影的半径，再根据面积公式即可求出面积.
6．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， =________；②当α=180°时， =________．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
【答案】（1）；
（2）解：如图2，
，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴
（3）解：①如图3，
，
∵AC=4 ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD=
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC= ．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，
，
∵AC= ，CD=4，CD⊥AD，
∴AD= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE= =2，
∴AE=AD-DE=8-2=6，
由（2），可得
，
∴BD= ．
综上所述，BD的长为或．
【解析】【解答】（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC= ，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴ ,BD=8÷2=4，
∴．
②如图1，
，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴
【分析】（1）①当α=0°时，Rt△ABC中，根据勾股定理算出AC的长，根据中点的定义得出AE,BD的长，从而得出答案；②如图1，当α=180°时，根据平行线分线段成比例定理得出AC∶AE=BC∶BD,再根据比例的性质得出AE∶BD=AC∶BC,从而得出答案。

（2）当0°≤α＜360°时，A E∶ B D 的大小没有变化，由旋转的性质得出∠ECD=∠ACB，进
而得出∠ECA=∠DCB，又根据EC∶DC=AC∶BC=,根据两边对应成比例，及夹角相等的三
角形相似得出△ECA∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例得出AE∶BD=EC∶DC=;（3）①如图3，在Rt△ADC中，根据勾股定理得出AD的长，根据两组对边分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形得出四边形ABCD是矩形，根据矩形对角线相等得出BD=AC=；②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，在Rt△ADC中，利用勾股定理得出AD的长，根据中点的定义得出DE的
长，根据AE=AD-DE算出AE的长，由（2），可得AE∶BD=,从而得出BD的长度。

7．书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小．如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……
若这张矩形印刷用纸的短边长为a．
（1）如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(AB BC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经
过点B，得到折痕BG，求的值．
（2）如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM．说明HC⊥HM．（3）将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I，则四边形ABMI的面积是________.（用含a的代数式表示，直接写出结果）
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC ∠C 90°．
∵第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B，
∴∠CBE ∠FBE 45°，
∴∠CBE ∠CEB 45°，
∴BC CE a，BE ．
∵第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，
∴AB BE ，
∴
（2）解：根据题意和（1）中的结论，有AH BH ，．
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A ∠B 90°，
∴△MAH∽△HBC，
∴∠AHM ∠BCH．
∵∠BCH ∠BHC 90°，
∴∠AHM ∠BHC 90°，
∴∠MHC 90°，
∴HC⊥HM．
（3）
【解析】【解答】解：（3）如图④，
根据题意知（1）中的结论，有BC=AD= a，AF=IG= a，NI=MP= a，OP= a，
又∵∠C=∠ADE=90°, ∠BEC=∠AED,
∴∆BCE≌∆ADE，
∴S ∆BCE=S ∆ADE,
同理可得，S ∆AFH=S ∆IGH, S ∆INQ=S ∆MPQ,
∴四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC
= ．
【分析】（1）利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在AB上的F处，可得出∠CBE=∠FBE=∠CEB=45°，可得出CE=BC，利用勾股定理可用含a的代数式求出BE的长，再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，可用含a的代数式表示出AB的长，然后求出AB与BC的比值。

（2）利用（1）的结论，可用含a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出
，利用矩形的性质可得出∠A = ∠B，再根据相似三角形的性质，证明△MAH∽△HBC，利用相似三角形的性质，去证明∠AHM + ∠BHC = 90°，然后利用垂直的定义可解答。

（3）利用已知条件证明∆BCE≌∆ADE，可证得S ∆BCE=S ∆ADE， S ∆AFH=S ∆IGH, S ∆INQ=S ∆MPQ，再根据四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC，可求出答案。

8．如图1，△ABC与△CDE是等腰直角三角形，直角边AC、CD在同一条直线上，点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，连接AE、BD.
（1）请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系________；
（2）现将图1中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图2，AE与MP、BD分别交于点G、H.请直接写出PM与PN的数量关系及位置关系________；
（3）若图2中的等腰直角三角形变成直角三角形，使BC＝kAC，CD＝kCE，如图3，写出PM与PN的数量关系，并加以证明.
【答案】（1）PM⊥PN，PM＝PN
（2）PM＝PN，PM⊥PN
（3）解：PM＝kPN，
∵△ACB和△ECD是直角三角形，
∴∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE.
∴∠ACE＝∠BCD.
∵BC＝kAC，CD＝kCE，
∴＝k.
∴△BCD∽△ACE.
∴BD＝kAE，
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM＝ BD，PN＝ AE.
∴PM＝kPN.
【解析】【解答】解：（1）PM＝PN，PM⊥PN，
理由如下：
∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
在△ACE和△BCD中，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠BCD＝90°，
∴∠CBD+∠BDC＝90°，
∴∠EAC+∠BDC＝90°
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM＝ BD，PN＝ AE，
∴PM＝PN，
∵点M、N分别是斜边AB、DE的中点，点P为AD的中点，
∴PM∥BC，PN∥AE，
∴∠NPD＝∠EAC，∠MPN＝∠BDC，
∵∠EAC+∠BDC＝90°，
∴∠MPA+∠NPC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
即PM⊥PN，
故答案为：PM⊥PN，PM＝PN；
（ 2 ）PM＝PN，PM⊥PN，
理由：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°.
∴∠ACB+∠BCE＝∠ECD+∠BCE.
∴∠ACE＝∠BCD，
∴△ACE≌△BCD（SAS）.
∴AE＝BD，∠CAE＝∠CBD.
又∵∠AOC＝∠BOE，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BHO＝∠ACO＝90°.
∵点P、M、N分别为AD、AB、DE的中点，
∴PM＝ BD，PM∥BD；
PN＝ AE，PN∥AE.
∴PM＝PN.
∴∠MGE+∠BHA＝180°.
∴∠MGE＝90°.
∴∠MPN＝90°.
∴PM⊥PN.
故答案为：PM⊥PN，PM＝PN
【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出结论判断出△ACE≌△BCD，得出AE=BD，再用三角形的中位线即可得出结论；（2）同（1）的方法即可得出结论；（3）利用两边对应成比例夹角相等，判断出△BCD∽△ACE，得出BD=kAE，最后用三角形的中位线即可得出结论.
9．已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P.
（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；
（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长.
【答案】（1））证明：∵∠A+∠APQ=90°，∠A+∠C=90°，∴∠APQ=∠C.
在△APQ与△ABC中，∵∠APQ=∠C，∠A=∠A，
∴△APQ∽△ABC.
（2）解：在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，由勾股定理得：AC=5.
∵∠BPQ为钝角，∴当△PQB为等腰三角形时，只可能是PB=PQ.
（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示，
由（1）可知，△APQ∽△ABC，
∴，即，解得： .
∴ .
（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示,
∵BP=BQ，∴∠BQP=∠P.
∵∠BQP+∠AQB=90°，∠A+∠P=90°，∴∠AQB=∠A。

∴BQ=AB。

∴AB=BP，点B为线段AB中点。

∴AP=2AB=2×3=6.
综上所述，当△PQB为等腰三角形时，AP的长为或6.
【解析】【分析】（1）由两对角相等（∠APQ=∠C，∠A=∠A），证明△APQ∽△ABC。

（2）当△PQB为等腰三角形时，有两种情况，需要分类讨论.（I）当点P在线段AB上时，如题图1所示.由三角形相似（△APQ∽△ABC）关系计算AP的长；（II）当点P在线段AB的延长线上时，如题图2所示.利用角之间的关系，证明点B为线段AP的中点，从而可以求出AP.
10．在平面直角坐标系中，点 A 点 B 已知满足
.
（1）点A的坐标为________，点B的坐标为________；
（2）如图1，点E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE，且AF=AE，连接BF交轴于点D，若点D(-1,0)，求点E的坐标；
（3）在(2)的条件下，如图2，过E作EH⊥OB交AB于H，点M是射线EH上一点(点M不在线段EH上)，连接MO，作∠MON=45°，ON交线段BA的延长线于点N，连接MN，探究线段MN与OM的关系,并说明理由。

【答案】（1）（-4,0）；（0，-4）
（2）解：作FH⊥OA于H，
∵AF⊥AE，
∴∠FAE=∠AHF=∠AOE=90°，
∴∠FAH+∠OAE=90°，∠FAH+∠AFH=90°，
∴∠AFH=∠OAE,
∵AF=OA，
∴△AFH≌△EAO，
∴FH=OA，
∵点A（-4,0），点B（0，-4）
∴FH=OA=OB=4，
∵∠FHD=∠BOD=90°，∠FDH=∠BDO,
∴△FDH≌△BDO，
∴OD=DH=1，
∴AH=OH=OE=2，
∴E（0，-2）
（3）解：结论：MN=OM,MN⊥OM，
理由：连接OH，OM与BN交于G，
∵OA=OB,∠AOB=45°，
∴∠OAB=45°
∵OE=EB=2，EH∥OA,
∴AH=BH,OH⊥AB,∠AHM=∠OAB=45°，
∵∠MON=45°
∴∠GON=∠GHM,
∵∠NGO=∠MGH,
∴△NGO∽△MGH，
∴ = ,
∴ = ,
∵∠NGM=∠OGH,
∴△NGM∽△OGH，
∴∠NMG=∠OHG=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形
∴MN=OM,MN⊥OM.
【解析】【解答】（1）∵ =0,
∴a=-4，b=-4,
∴点A的坐标为（-4,0），点B的坐标为（0，-4）
【分析】（1）先将式子变形为完全平方公式的形式，再根据平方的非负性求解;（2）如图1中，作FH⊥OA于H，由△AFH≌△EAO，推出FH=OA,由△FDH≌△BDO,推出
AH=OH=OE=2;（3）连接OH，OM与BN交于G，由△NGO∽△MGH，推出 = ,再推出
= ,再得出△NGM∽△OGH，推出∠NMG=∠OHG=90°，推出△OMN是等腰直角三角形即可解决问题.
11．操作：和都是等边三角形，绕着点按顺时针方向旋转，是、的中点，有以下三种图形.
探究：
（1）在上述三个图形中，是否一个固定的值，若是，请选择任意一个图形求出这个比值；
（2）的值是否也等于这个定值，若是，请结合图（1）证明你的结论；
（3）与有怎样的位置关系，请你结合图（2）或图（3）证明你的结论.
【答案】（1）解：∵是等边三角形，由图（1）得AO⊥BC，
∴，∴；
（2）证明：，
，
∴
∴
∴
（3）证明：在图（3）中，由（2）得
∴，
∴∠2+∠4=∠1+∠3，即∠AEF =∠AOB
∵∠AOB=90°，
∴
∴ .
【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质可得AO⊥BC，BO= BC= AB，根据勾股定理计算即可求得AO= BO，即AO∶BO是一个固定的值∶1；（2）由等边三角形的性质可得AO⊥BC，，由同角的余角相等可得，由（1）可得
，可得，根据相似三角形的性质可得；（3）在图（3）中，由（2）得，根据相似三角形的性质可得∠1=∠2，根据对顶角相等得∠3=∠4，则∠2+∠4=∠1+∠3=∠AOB=90°，即 .
12．在直角坐标系中，过原点O及点A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、连结OB，点D 为OB的中点，点E是线段AB上的动点，连结DE，作DF⊥DE，交OA于点F，连结EF．已知点E从A点出发，以每秒1个单位长度的速度在线段AB上移动，设移动时间为t 秒．
（1）如图1，当t=3时，求DF的长．
（2）如图2，当点E在线段AB上移动的过程中，∠DEF的大小是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出tan∠DEF的值．
（3）连结AD，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，求相应的t的值．【答案】（1）解：当t=3时，点E为AB的中点，
∵A（8，0），C（0，6），
∴OA=8，OC=6，
∵点D为OB的中点，
∴DE∥OA，DE= OA=4，
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴DE⊥AB，
∴∠OAB=∠DEA=90°，
又∵DF⊥DE，
∴∠EDF=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=3
（2）解：∠DEF的大小不变；理由如下：
作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如图2所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴OA⊥AB，
∴四边形DMAN是矩形，
∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，
∴，，
∵点D为OB的中点，
∴M、N分别是OA、AB的中点，
∴DM= AB=3，DN= OA=4，
∵∠EDF=90°，
∴∠FDM=∠EDN，
又∵∠DMF=∠DNE=90°，
∴△DMF∽△DNE，
∴，
∵∠EDF=90°，
∴tan∠DEF=
（3）解：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，
若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，
设AD交EF于点G，则点G为EF的三等分点；
①当点E到达中点之前时，如图3所示，NE=3﹣t，
由△DMF∽△DNE得：MF= （3﹣t），
∴AF=4+MF=﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（），
设直线AD的解析式为y=kx+b，
把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，
∴直线AD的解析式为y= x+6，
把G（）代入得：t= ；
②当点E越过中点之后，如图4所示，NE=t﹣3，
由△DMF∽△DNE得：MF= （t﹣3），
∴AF=4﹣MF=﹣ t+ ，
∵点G为EF的三等分点，
∴G（），
代入直线AD的解析式y=﹣ x+6得：t= ；
综上所述，当AD将△DEF分成的两部分的面积之比为1：2时，t的值为或
【解析】【分析】（1）由t=3可得此时E为AB的中点，进而可得DE为△ABO的中位线，从而可得DE∥OA，DE的长，再由矩形的性质和判断可得四边形DFAE是矩形，，进而求出DF的长；
（2）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，可证得四边形DMAN是矩形，则DM∥AB，DN∥OA，再由平行线分线段成比例和已知可求出DM和DN的长，由两角相等可证△DMF∽△DNE，可得DF：DE=DM：DN，由三角函数可求出tan∠DEF的值；
（3）作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD将△DEF的面积分成1：2的两部分，设AD 交EF于点G，则点G为EF的三等分点；分点E到达中点之前、点E越过中点之后两种情况来求.都先求出直线AD的解析式，由△DMF∽△DNE求出用t的代数式表示的点G的坐标，代入直线AD的解析式可求出t的值.。