北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试(答案解析)(1)

一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11
2
a =
，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+，则2021S =（ ）
A ．
2019
2020
B ．
2020
2021
C ．2021
2022
D ．
1010
1011
2．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376
B ．382
C ．749
D ．766
3．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列
{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）
A ．5049
B ．5050
C ．5051
D ．5101
4．在等比数列{n a }中，13a =，424a =，则345a a a ++的值为（ ） A ．33
B ．72
C ．84
D ．189
5．已知数列{}n a 中，13n n a S +=，则下列关于{}n a 的说法正确的是（ ） A ．一定为等差数列 B ．一定为等比数列
C ．可能为等差数列，但不会为等比数列
D ．可能为等比数列，但不会为等差数列
6．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则
cos B 的最小值为（ ）
A ．
12
B ．
22
C ．
34
D ．
32
7．数列{}n a 的前n 项和为()21n S n n =-（*n ∈N ），若173a a ka +=，则实数k 等于（ ） A ．2
B ．3
C ．
269
D ．
259
8．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线11
2
y a x m =
+
与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为（ ） A ．
10
11
B ．
910
C ．
89
D ．2
9．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线22
22x y m n
-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若
c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( )
A
B
C ．
14 D ．
12
10．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <
B ．110S >
C ．120S <
D ．67a a >
11．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2
B ．1或－2
C ．1或2
D ．－1或－2
12．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12
n n
a n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2
B ．
13 C ．12
-
D ．3-
二、填空题
13．数列{}n a 中，1
111,,21
n n n a a a a --==
+则n a =_____________.
14．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且2122n n n a a a ++-+=，则n a =______. 15．已知等差数列{}n a 中，268,0a a ==，等比数列{}n b 中， 122123,b a b a a a ==++，那么数列{}n b 的前4项和4S =________ 16．无穷数列{}n a 满足：只要(
)*
,p q a a p q N
=∈，必有1
1p q a
a ++=，则称{}n a 为“和谐
递进数列”．已知{}n a 为“和谐递进数列”，且前四项成等比数列，151a a ==，22a =，则
2021S =_________．
17．数列{}n a 的通项()
sin
2
n n a n n N π
*=⋅∈，则前10项的和12310a a a a ++++=______
18．若数列{}n a 满足12a =
，141n n a a +=+，则使得2
2020n a ≥成立的最小正整
数n 的值是______.
19．已知数列{}n a 与{}n b 满足11222n n a a a +++
+=-，1(1)(1)
n
n n n a b a a +=
--，数列
{}n b 的前n 项的和为n S ，若n S M ≤恒成立，则M 的最小值为_________.
20．已知数列{}n a 满足112
a =，()*
112n n a a n +=∈N .设2n n n b a λ-=，*n ∈N ，且数列
{}n b 是递增数列，则实数λ的取值范围是________.
三、解答题
21．已知{}n a 为等差数列，数列{}n b 的前n 和为1128,22,10n S a b a a ==+=，
___________.
在①
1
12
n n S b =-，②2n a n b λ=这两个条件中任选其中一个，补充在上面的横线上，并完成下面问题的解答(如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分).
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b +的前n 项和n T .
22．在①数列{}n a 为递增的等比数列，且23
12a a +=，②数列{}n a 满足
122n n S S +-=，③数列{}n a 满足1121222n n n n a a a na -+++
+=这三个条件中任选一
个，补充在下面问题中，再完成解答．
问题：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，__________． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设222
1
log log n n n b a a +=
⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
23．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和为n S ，且满足___________(从①()101051S a =+﹔②1a ，2a ，6a 成等比数列；③535S =，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题). （1）求n a ﹔ （2）设11n n n b a a +=
，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1
3
n T <. 24．已知数列{}n a 的首项为4． （1）若数列{
}2
n
n a -是等差数列，且公差为2，求{}n
a 的通项公式．
（2）在①3248a a -=且20a >，②364a =且40a >，③20212201716a a a =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并解答． 问题，若{}n a 是等比数列，__________，求数列
(){}31n
n a -的前n 项和n
S
．
25．已知数列{}n a 是等差数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，35a =，749=S . （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
（2）若数列{}n b 满足2n b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .
26．在①420S =,②332S a =，③3423a a b -=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．
问题：已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 是各项均为正数的等比数列，14a b =，
______，213
8,34b b b =-=，是否存在正整数k ，使得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前k 项和3
4k T >？若存在，求k 的最小值；若不存在，说明理由，
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由1(2)n n na n a +=+，可得1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，数列{}(1)n n n a +为常数列，令1n =，可得1(1)21n n n a a +==，进而可得1
(1)
n a n n =+，利用裂项求和即可求解.
【详解】 数列{}n a 满足11
2
a =
，对任意的*n ∈N 都有1(2)n n na n a +=+， 则有1(1)(1)(2)n n n n a n n a ++=++，可得数列{}(1)n n n a +为常数列， 有1(1)2n n n a a +=，得(1)1n n n a +=，得1
(1)
n a n n =+，
又由111
(1)1
n a n n n n =
=-++，
所以20211111112021112232021202220222022
S =-+-+⋅⋅⋅-=-=． 故选：C 【点睛】
方法点睛：数列求和的方法
（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于
同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法
（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；
（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；
（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；
（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如
()()1n
n a f n =-类型，可采用两项合并求解.
2．C
解析：C 【分析】
利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】
由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q
，
∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+
-=2
3632
n -++
+⨯11332323
12
n n ---⨯==⨯--，
1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，
8
7
8128123(122)2831612
S a a a -=++
=⨯++
+-⨯=⨯--83219749=⨯-=
故选：C 【点睛】
关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.
3．B
解析：B 【分析】
观察数列的前4项，可得(1)
2
n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】
由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)
1232
n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以100100101
50502
a ⨯==. 故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.
4．C
解析：C 【分析】
根据3
41a a q =，可求出q ，再根据等比数列通项公式求出35,a a 即可.
【详解】
因为341a a q =，即3
243q =，所以2q
，所以22313212a a q ==⨯=，
44513248a a q ==⨯=，
所以34512244884a a a ++=++=. 故选：C 【点睛】
本题主要考查等比数列的通项公式的应用，属于基础题.
5．C
解析：C 【分析】
根据13n n a S +=得14n n S S +=，分类讨论当10S =和10S ≠两种情况分析得数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 【详解】
解：13n n a S +=，
13n n n S S S +∴=-， 14n n S S +∴=，
若10S =，则数列{}n a 为等差数列；
若10S ≠，则数列{}n S 为首项为1S ，公比为4的等比数列，1
14n n S S -∴=⋅，
此时2
1134
n n n n a S S S -==-⋅﹣（2n ≥），即数列从第二项起，后面的项组成等比数列.
综上，数列{}n a 可能为等差数列，但不会为等比数列. 故选：C. 【点睛】
本题考查等差数列、等比数列的判断，考查学生分析解决问题的能力，正确分类讨论是关键.
6．A
解析：A 【解析】
分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac
+-=．由222,,a b c 成等差数列，可得
222
2a c b += ，所以22222
cos 24a c b a c B ac ac
+-+==，利用重要不等式可得2221
cos 442
a c ac B ac ac +=≥=．
详解：因为2
2
2
,,a b c 成等差数列，
所以22
2
2
a c
b += ． 由余弦定理推论得2222221
cos 2442
a c
b a
c ac B ac ac ac +-+==≥=
当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．
点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．
7．C
解析：C 【分析】
由已知结合递推公式可求n a ，然后结合等差数列的通项公式即可求解. 【详解】
因为()21n S n n =-， 所以111a S ==，
当2n ≥时，()()()12112343n n n a S S n n n n n -=-=----=-，
111a S ==适合上式，故43n a n =-，
因为173a a ka +=， ∴1259k +=， 解可得269
k = 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了由数列前n 项和求数列的通项公式，考查来了运算能力，属于中档题.
8．A
解析：A 【分析】
由题意可知，直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，
可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和. 【详解】 由于直线112
y a x m =+与圆()2
221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线11
2
y a x m =
+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则11
12
a =，可得12a =， 且直线0x y d +-=过圆()2
221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，
()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()12212
2
n n n a a n n S n n ++=
=
=+，
()111111
n S n n n n ∴
==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为
1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
.
故选：A. 【点睛】
本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．D
解析：D 【解析】
由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=
2
c
． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =， ∴2
2
ac c =， ∴1
2
c e a =
=．选D ． 10．C
解析：C 【分析】
根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为
7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.
【详解】
数列{}n a 是等差数列675S S S >>，
7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，
所以0d <，()
111116111102a a S a +=
=>， ()
()
1126712121202
2
a S a a a ++=
=
>，67a a >，
故选：C 【点睛】
本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.
11．A
解析：A 【解析】
分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：
546,,a a a -成等差数列，
所以5642a a a -+=，
24442a q a q a ∴-+=，
220q q ∴--=，
()()120q q ∴+-=，
1q ∴=-或2，故选A.
点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.
12．D
解析：D 【分析】
先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，
进而求得结果. 【详解】
由已知得12a =，2211123
a =-=+，321
11213a =-=-+， 4213
112
a =-
=--，52
1213
a =-
=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】
该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.
二、填空题
13．【分析】对两边取到数可得从而可得数列是等差数列求出数列的通项公式即可求出【详解】因为所以即又所以数列是以为首项2为公差的等差数列所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查取到数构造新数列同时考查等差数列
解析：
1
21
n - 【分析】 对1121
n n n a a a --=+两边取到数可得1112n n a a --=，从而可得数列
1{}n a 是等差数列，求出数列1
{
}n
a 的通项公式，即可求出n a . 【详解】 因为1
121
n n n a a a --=
+，所以11121112n n n n a a a a ---+==+，即1112n n a a --=，又111a ，
所以数列1
{}n
a 是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以1
1(1)221n n n a =+-⨯=-，所以121
n a n =-. 故答案为：1
21
n - 【点睛】
本题主要考查取到数构造新数列，同时考查等差数列的概念及通项公式，属于中档题.
14．【分析】构造求出由题意可得利用等差数列的通项公式可得利用累加法即可求得【详解】构造则由题意可得故数列是以4为首项2为公差的等差数列故
所以以上n-1个式子相加可得解得故答案为：【点睛】本题考查等差数列 解析：()()*
1n n n N
+∈
【分析】
构造1n n n b a a +=-，求出1b ，由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=，利用等差数列的通项公式可得n b ，利用累加法即可求得n a . 【详解】
构造1n n n b a a +=-，则1214b a a =-=，
由题意可得()()21112n n n n n n a a a a b b ++++---=-=， 故数列{}n b 是以4为首项2为公差的等差数列， 故(
)*
142(1)22n n n b a a n n n N +=-=+-=+∈，
所以21324314,6,8,2n n a a a a a a a a n --=-=-=-=，
以上n -1个式子相加可得1(1)(42)2
n n n a a -+-=，解得(
)
*
(1)n a n n n N =+∈，
故答案为：()(
)*
1n n n N +∈
【点睛】
本题考查等差数列，累加法求数列通项公式，属于基础题.
15．320【分析】先求出等差数列的通项公式即可求出即可得通项再利用等比数列前项和公式求【详解】设等差数列的公差为则解得所以所以数列的公比为所以故答案为：320【点睛】本题主要考查了等比数列求和涉及等差数
解析：320 【分析】
先求出等差数列{}n a 的通项公式，即可求出1b ，2b ，即可得{}n b 通项，再利用等比数列前
n 项和公式求4S
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则216
1850a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩，解得110
2a d =⎧⎨
=-⎩ ， 1(1)10(1)(2)212n a a n d n n =+-=+-⨯-=-+ ，
所以128b a ==，2123108624b a a a =+=++=+， 所以数列{}n b 的公比q 为
2
1
3b b = ， 所以448(13)
32013
S ⨯-==-.
故答案为：320 【点睛】
本题主要考查了等比数列求和，涉及等差数列通项公式，等比数列通项公式，属于基础题.
16．7576【分析】根据新定义得数列是周期数列从而易求得【详解】∵成等比数列∴又为和谐递进数列∴…∴数列是周期数列周期为4∴故答案为：7576【点睛】本题考查数列新定义解题关键是由数列新定义性质得出数列
解析：7576 【分析】
根据新定义得数列是周期数列，从而易求得2021S ． 【详解】
∵1234,,,a a a a 成等比数列，121,2a a ==，∴344,8a a ==，
又15a a =，{}n a 为“和谐递进数列”，∴26a a =，37a a =，48a a =，59a a =，…， ∴数列{}n a 是周期数列，周期为4． ∴2021505(1248)17576S =⨯++++=． 故答案为：7576． 【点睛】
本题考查数列新定义，解题关键是由数列新定义性质得出数列为周期数列，从而易得结论．
17．5【分析】利用的周期性求解即可【详解】的周期当时的值为10-10则前10项的和故答案为：5【点睛】本题考查利用数列的周期性求和属于基础题
解析：5 【分析】
利用()
sin
2
n n N π
*∈的周期性求解即可. 【详解】
()
sin 2n n N π*∈的周期2=42
T π
π=，当1,2,3,4n =时sin 2
n π的值为1,0，-1,0,
则前10项的和123101+0305070905a a a a ++++=-+++-+++=，
故答案为：5 【点睛】
本题考查利用数列的周期性求和，属于基础题.
18．【分析】根据递推关系式可证得数列为等比数列根据等比数列通项公式求得代入不等式结合可求得结果【详解】数列是以为首项为公比的等比数列由得：即且满足题意的最小正整数故答案为：【点睛】本题考查根据数列递推关 解析：11
【分析】
根据递推关系式可证得数列
}
1
，代
入不等式，结合n *∈N 可求得结果. 【详解】
()
2
1411n n a a +=+=，1=，
)
12
1=，
∴数列}111=为首项，2为公比的等比数列， )
1
112n -+=⨯，)
1121n -=
⨯-，
由2
2020
n a ≥2020≥，即)
1
2
20211837n -≥
=⨯≈，
92512=，1021024=且n *∈N ，∴满足题意的最小正整数11n =.
故答案为：11. 【点睛】
本题考查根据数列递推关系式求解数列通项公式并解不等式的问题，关键是能够通过构造的方式，通过递推关系式得到等比数列的形式，进而利用等比数列通项公式来进行求解.
19．【分析】由已知式写出为的式子相减求得检验是否相符求得用裂项相消法求得和由表达式得的范围从而得最小值【详解】∵所以时两式相减得又所以有从而显然所以的最小值为1故答案为：1【点睛】方法点睛：本题主要考查 解析：1
【分析】
由已知式写出n 为1n -的式子，相减求得n a ，检验1a 是否相符，求得n b ，用裂项相消法求得和n S ，由n S 表达式得M 的范围，从而得最小值． 【详解】 ∵11222n n a a a +++
+=-，所以2n ≥时，12122n n a a a -+++=-，
两式相减得1222n n n
n a +=-=，
又21222a =-=，所以*n N ∈，有2n
n a =，
从而11211
(21)(21)2121n n n n n n b ++==-----，
1222311
1111
1212121212121n n n n S b b b +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++
+=-+-+
+- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
1
112
1
n +=-
-，显然1n S <，所以1M ≥，M 的最小值为1．
故答案为：1． 【点睛】
方法点睛：本题主要考查求数列的通项公式，考查裂项相消法求和，数列求和的常用方法有：（1）公式法，（2）错位相减法，（3）裂项相消法，（4）分组（并项）求和法，
（5）倒序相加法．
20．【分析】根据题意可得数列的通项公式代入表示根据数列是递增数列所以得恒成立参变分离以后计算【详解】由可得数列是首项和公比均为的等比数列所以则又因为是递增数列所以恒成立即恒成立所以所以故答案为：【点睛】
解析：3,2⎛
⎫-∞ ⎪⎝
⎭
【分析】
根据题意可得数列{}n a 的通项公式，代入表示n b ，根据数列{}n b 是递增数列，所以得
10n n b b +->恒成立，参变分离以后计算.
【详解】 由()
*112n n a a n +=∈N 可得，数列{}n a 是首项和公比均为1
2的等比数列，所以12
n n a =，
则()222n n n
n b n a λ
λ-=
=-，又因为{}n b 是递增数列，所以()()()11122222220n n n n n b b n n n λλλ++=+---=+->-恒成立，即220
n λ+->恒成立，所以()min 223n λ<+=，所以32
λ<. 故答案为：3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
. 【点睛】
关于数列的单调性应用的问题，一般需要计算1n n a a +-判断其正负，将不等式再转化为恒成立问题，通过参变分离的方法求解min ()a f n <或者max ()a f n >.
三、解答题
21．条件选择见解析；（1）n a n =，2n
n b =；（2）21
2222
n n n n T +=-++.
【分析】
选①（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式n a ，再利用
1(2)n n n b S S n -=-≥确定数列{}n b 是等比数列，从而得出通项公式n b ；
（2）用分组（并项）求和法求和．
选②（1）由等差数列的基本量法求出公差d 后可得通项公式，由1
12a b λ=求得λ，从而
得通项公式n b ，并并确定其是等比数列； （2）用分组（并项）求和法求和． 【详解】 解：选①解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=，
由
1
12
n n S b =-，得()21n n S b =-， 当2n ≥时，()()112121n n n n n b S S b b --=-=---，
即12n n b b -=，所以{}n b 是一个以2为首项，2为公比的等比数列.
1222n n n b -∴=⨯=.
（2）由（1）知2n
n n a b n +=+，
()()()1212222n n T n ∴=++++++，
()12(12)222n n T n =++
++++
+，
()21
212(1)2221222
n
n n n n n n T +-+∴=+=-++
-. 选②解：
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
1281122,10,2810,1,1a a a a d a d =+=∴+=∴==， 1(1)1n a n n ∴=+-⨯=. 112,1,2n a n b a b λ===，
令1n =，得1
12
a b λ=，即22,1λ
λ=∴=，
22n a n n b ∴==.
（2）解法同选①的第（2）问解法相同. 【点睛】
方法点睛：本题考查求等差数列和等比数列的通项公式，考查分组（并项）求和法． 数列求和的常用方法：
设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，
（1）公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； （2）错位相减法：数列{}n n a b 的前n 项和应用错位相减法； （3）裂项相消法；数列1
{
}n n k
a a +（k 为常数，0n a ≠）的前n 项和用裂项相消法； （4）分组（并项）求和法：数列{}n n pa q
b +用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法；
（5）倒序相加法：满足m n m a a A -+=（A 为常数）的数列，需用倒序相加法求和．
22．（1）选①②③均有2n
n a =，*n N ∈；（2）32342(1)(2)
n n T n n +=
-++． 【分析】
（1）选①，运用等比数列的通项公式解方程可得公比，可得所求通项公式；选②，运用构造等比数列，以及数列的递推式，可得所求通项公式；选③，将n 换为1n -，两式相减，结合等比数列的定义和通项公式，可得所求通项公式； （2）求得22211111
()(2)22
n n n b log a log a n n n n +=
==-⋅++，由数列的裂项相消求和，化
简整理可得所求和． 【详解】
（1）选①数列{}n a 为递增的等比数列，且2312a a +=，
设等比数列{}n a 的公比为q ，(0)q >，
则1(1)2(1)12a q q q q +=+=，解得2(3q =-舍去），
所以2n
n a =；
选②数列{}n a 满足122n n S S +-=，
可得122(2)n n S S ++=+，数列{2}n S +是首项为124S +=，公比为2的等比数列，
则122n n S ++=，即为1
22n n S +=-，
当2n 时，1122222n n n n n n a S S +-=-=--+=，
12a =也满足上式，
所以2n
n a =，*n N ∈；
选③1121222n n n n a a a na -+++⋯+=（1），
当2n 时，12
121222(1)n n n n a a a n a ---++⋯+=-（2），
由（2）2⨯-（1）可得122(1)n n n a na n a +=--，即12n n a a +=， 又因为12a =，2124a a ==，也满足上式，
故数列{}n a 为首项为2，公比为2的等比数列，所以2n
n a =，*n N ∈；
（2）由（Ⅰ）可得2n
n a =，22211111
()(2)22
n n n b log a log a n n n n +=
==-⋅++，
所以1111111111
(1)232435
112
n T n n n n =
-+-+-++
-+--++ 1111323(1)221242(1)(2)
n n n n n +=+--=-++++． 【点睛】
方法点睛：本题考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下：
1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；
2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；
3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；
4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．
23．条件选择见解析；（1）32n a n =-；（2）证明见解析. 【分析】
（1）由①可得11a =，由②可得13d a =，由③可得3127a a d =+=，选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =，即得解析式；
（2）可得11133231n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭
，由裂项相消法求出n T 即可证明.
【详解】
（1）①由()101051S a =+，得()11109
105912
a d a d ⨯+
=++，即11a =； ②由1a ，2a ，6a 成等比数列，得2216a a a =，222
111125a a d d a a d ++=+，即13d a =；
③由535S =，得
()
15355352
a a a +==，即3127a a d =+=； 选择①②､①③､②③条件组合，均得11a =，3d =， 故()13132n a n n =+-=-. （2）()()111111323133231n n n
b a a n n n n +⎛⎫
=
==- ⎪-+-+⎝⎭
∴123n n T b b b b =+++
+
1111111
1134477103231n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦
111331n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
， ∵n *∈N ，∴1031
n >+，∴1
3n T <.
【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法；
（4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 24．（1）22n
n a n =+；（2）()132483
n n n S +-+=
【分析】 （1）求出{
}2
n
n a -首项，即可求出{}2n n
a
-通项公式，得出{}n a 的通项公式；
（2）设出公比，建立关系求出公比，再利用错位相减法即可求出n S . 【详解】
解：（1）因为14a =，所以122a -=， 因为数列{
}2n
n a -是等差数列，且公差为2，
所以()2
2212n
n a n n -=+-=，
则22n n a n =+.
（2）选①：设公比为q ，由3248a a -=，得2
4448q
q -=，
解得4q =或3-，因为20a >，所以4q =. 故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 选②：设公比为q ，由364a =，得2
464q
=，
解得4q =±，因为20a >，所以4q =. 故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 选③：设公比为q ，由20212201716a a a =，得20211201820181664a a a a ==，
则3
64q =，所以4q =.
故4n
n a =.
()22454314n n S n =⨯+⨯++-⨯， ()23142454314n n S n +=⨯+⨯+
+-⨯，
两式相减得()()231383444314n n n
S n +-=++++--，
即()2114438313414
n n n S n ++--=+⨯+--()1
2348n n +=--，
故()132483
n n
n S +-+=
. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 25．（1）21n a n =-，2
n s n =；（2）21
n n
T n =
+. 【分析】
（1）根据条件列出式子求出数列{}n a 的首项和公差，即可求出通项公式和前n 项和； （2）可得112+1n b n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法即可求出. 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，
则3171+2576
7+492a a d S a d ==⎧⎪⎨⨯==⎪⎩
，解得1a 1,d 2， ()1+1221n a n n ∴=-⨯=-，
()
21+212
n n n S n -=
=； （2
）()2112+1+1n b n n n n ⎛⎫
=
==- ⎪⎝⎭
， 111
11221223
11
n n
T n n n ⎛⎫∴=-+-+
+
-=
⎪++⎝⎭. 【点睛】
方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于{}n n a b 结构，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于{}+n n a b 结构，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
结构，其中{}n a 是等差数列，公差为d ，则
111111n n n n a a d a a ++⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
，利用裂项相消法求和. 26．选①k 的最小值为4；选②k 的最小值为4；选③k 的最小值为3； 【分析】
先由条件求出1
1162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，得出142a b ==，若选①可得2d =，则2n a n =，从而
1111
n S n n =-+，由裂项相消法求出k T ，可得答案；若选②可得12a d ==，所以2n a n =，一下同选①；若选③可得4
3
d =
，从而131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，由裂项相消法求出k T ，可得答案. 【详解】
设等比数列{}n b 的公比为q ，由2138,34b b b =-= 所以18b q =
，则8384q q -⨯=，解得1
2q =或23
q =-（舍） 则1816b q ==，所以11162n n b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
则142a b ==
若选① 由4143486202
S a d d ⨯=+=+=，则2d = 所以2n a n =， 则212
n n a a S n n n +=⨯=+ 所以()111111
n S n n n n ==-++ 则1211111111122311n n n T S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
+++=-+-++-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 由314
k k T k =>+，则3k >，由k 为正整数，则k 的最小值为4. 若选② 由332S a =，即()11323222
a d a d ⨯+=+ ，可得12a d == 所以2n a n =，一下同选①. 若选③ 由3423a a
b -=，可得()()113238a d a d +-+=，即43d =
所以()()14222233n n n S n n n -=+⨯=+ ()1313112242n S n n n n ⎛⎫=⨯=⨯- ⎪++⎝⎭
12111311111311111432424212n n T S S S n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯-+-++-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以93118412
n T n n ⎛⎫=
-+ ⎪+
+⎝⎭ 所以9311124438k k k T ⎛⎫-+ ⎪++⎭>⎝=，即111122k k +<++，也即240k k --> 解得k >23<<，又k 为正整数，则k 的最小值为3. 【点睛】
关键点睛：本题考查等差、等比数列求通项公式和等差数列的前n 项和以及用裂项相消法求和，解答本题的关键是将所要求和的数列的通项公式裂成两项的差，即
1111n S n n =-+，131142n S n n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭
，注意裂项和的系数和求和时相抵消的项以及最后余下的项，属于中档题.。