2020届高考数学一轮第二篇函数导数及其应用第节函数与方程理新人教A版

返回导航
1．(2019 黄山一模)函数 f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是(
)
(A)(0,1)
(B)(1,2)
(C)(2,3)
(D)(3,10)
C 解析：函数 f(x)＝lg x－1x在定义域(0，＋∞)上连续且单调递增，f(2)
＝lg 2－12＝lg 2－lg 10<0，f(3)＝lg 3－lg 3 10>0，所以 f(2)·f(3)<0，函数 f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是(2,3)．
返回导航
5．若函数 f(x)＝|x|，则函数 y＝f(x)－log12|x|的零点个数是(
)
(A)5 个
(B)4 个
(C)3 个
(D)2 个
返回导航
D 解析：如图：函数 f(x)与函数 g(x)＝log12|x|有 2 个交点，所以选 D.
返回导航
考点一 函数零点所在区间
(1)函数 f(x)＝log3x＋x－2 的零点所在的区间为( )
所以 x0∈(－3，－2)或 x0∈(2,3)， 所以[x0]的值为－3 或 2. 答案：(1)D (2)－3 或 2
返回导航
考点二 函数零点个数的判断
(1)已知函数 y＝f(x)(x∈R)满足 f(x＋3)＝f(x＋1)，且 x∈
[－1,1]时，f(x)＝|x|，则 y＝f(x)与 y＝log5x 的图象交点的个数是( )
返回导航
3．函数 f(x)＝ln x＋2x－1 的零点的个数为( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
B 解析：f(x)在定义域上为单调函数，故选 B.
返回导航
4．函数 f(x)＝e－x－x 的零点所在的区间为( )
(A)－1，－12 (C)0，12
(B)－12，0 (D)12，1
返回导航
【反思归纳】 判断函数零点个数的 3 种方法 (1)解方程法：若对应方程 f(x)＝0 可解时，通过解方程，则有几个解 就有几个零点． (2)零点存在性定理法：利用定理不仅要判断函数在区间[a，b]上是连 续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、 奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点． (3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个 函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
返回导航
2．(2019 郑州质检)函数 f(x)＝x2－2x 在 R 上的零点个数是( )
(A)0
(B)1
(C)2
(D)3
D 解析：注意到 f(－1)×f(0)＝12×(－1)＜0，因此函数 f(x)在(－1,0)内
必有零点，又 f(2)＝f(4)＝0，因此函数 f(x)的零点个数是 3，故选 D.
返回导航
考查角度 3：利用函数零点比较大小．
已知函数
f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－
1 的零点 x
依次为 a，b，c，则( )
(A)a＜b＜c
(B)c＜b＜a
(C)c＜a＜b
(D)b＜a＜c
返回导航
解析：在同一坐标系下分别画出函数
y＝2x，y＝log3x，y＝－
1 的图 x
返回导航
考点三 函数零点的应用 考查角度 1：根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数取值范 围．
已知 a 是实数，函数 f(x)＝2a|x|＋2x－a，若函数 y＝f(x) 有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是________．
返回导航
解析：由题意易知 a≠0，令 f(x)＝0，即 2a|x|＋2x－a＝0，变形得|x| －12＝－1ax，
又 f(1)＝－1＜0，f(2)＝log32＞0，f(3)＝2＞0，根据零点存在性定理， 可知函数 f(x)＝log3x＋x－2 有唯一零点，且零点在区间(1,2)内．
(2)由二分法知 x0∈(0,0.5)，取 x1＝0.25， 这时 f(0.25)＝0.253＋3×0.25－1＜0， 故 x0∈(0.25,0.5)． 答案：(1)B (2)(0,0.5) f(0.25) (0.25,0.5)
返回导航【即时训练Fra bibliotek (1)已知函数 f(x)＝2mx2－x－1 在区间(－2,2)内恰有
一个零点，则 m 的取值范围是( )
(A)－38，18
(B)－38，18
(C)－38，18
(D)－18，38
(2)若 x0 是函数 f(x)＝2x－x－3 的零点，则[x0](表示不超过 x0 的最大
18＜m＜0 或 0＜m＜38；解②得 m∈∅，解③得 m＝38.
综上可知－18＜m≤38，故选 D.
返回导航
(2)函数 f(x)＝2x－x－3 的零点即函数 y＝2x 与 y＝x＋3 的交点的横 坐标．因为 f(－3)·f(－2)＝18×14－1<0，f(2)·f(3)＝(－1)×2＝－2<0.
返回导航
D 解析：函数 f(x)＝e－x－x 的图像是连续的，且： f(－1)＝e1－(－1)＝e＋1＞0， f－12＝e12＝ e＋12＞0， f(0)＝e0－0＝1＞0， f12＝e－12－12＝ 1e－12＞0， f(1)＝e－1－1＝1e－1＜0， 由函数零点存在定理可得函数点所在的区间为12，1. 故选 D.
设 f(x)＝(x2－1) (4＋x)，若函数 y＝f(x)＋k 的图象与 x 轴恰有三个不
同交点，则 k 的取值范围是( )
(A)(－2,1)
(B)[0,1]
(C)[－2,0)
(D)[－2,1)
返回导航
D 解析：解不等式：x2－1－(4＋x)≥1，得：x≤
－ 2 或 x≥3 ， 所 以 ， f(x) ＝
整数)的值为________．
返回导航
解析：(1)当 m＝0 时，函数 f(x)＝－x－1 有一个零点 x＝－1，满足 条件．当 m≠0 时，函数 f(x)＝2mx2－x－1 在区间(－2,2)内恰有一个零点，
f－ ＝0，
f ＝0，
需满足①f(－2)·f(2)＜0 或②－2＜41m＜0 或③0＜41m＜2. 解①得－
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
返回导航
【反思归纳】 根据已知函数的零点或方程的根所在区间求参数的 取值范围，先判断函数的单调性，再利用零点存在性定理，建立参数所 满足的不等式，解不等式，即得参数的取值范围．
返回导航
考查角度 2：已知函数的零点或方程根的个数求参数取值范围．
对任意实数 a，b 定义运算“ ”：a b＝ab，，aa－－bb＜≥11， .
第二篇 函数、导数及其应用 (必修1、选修2-2)
1
第 8 节 函数与方程
最新考纲 (1)结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次 方程根的存在性及根的个数． (2)根据具体函数的图象，能用二分法求相应方程的近似解.
返回导航
【教材导读】 1．当函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点时，是否一定有 f(a)f(b)<0? 提示：当函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点时，不一定有 f(a)·f(b)<0，例 如：f(x)＝x2 在区间(－1,1)内有零点 0，却有 f(－1)·f(1)>0. 2．函数 y＝f(x)在[a，b]上图象是连续不断的、单调的，且 f(a)·f(b)<0， 那么它在[a，b]上有多少个零点？ 提示：只有 1 个零点．
象，如图，观察它们与 y＝－x 的交点可知 a＜b＜c.故选 A.
(A)(0 1)
(B)(1,2)
(C)(2,3)
(D)(3,4)
(2)用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计算 f(0)
＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点 x0∈____________，第二次应计算
________，这时可判断 x0∈________.
返回导航
解析：(1)函数 f(x)＝log3x＋x－2 的定义域为(0，＋∞)，并且 f(x)在 (0，＋∞)上单调递增，图像是一条连续曲线．
函数零点存在的 函数 f(x)图象在[a，b]上连续不断，若__f_(_a_)f_(_b_)_＜__0__，
判定方法
则 y＝f(x)在(a，b)内存在零点．
返回导航
解方程 f(x)＝0 函数存在零点的判断方 利用端点函数值异号判断 法
数形结合
返回导航
2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数 y＝ax2＋bx＋ c(a>0)的图
象
与x轴 的交点 零点个数
(x1,0)，(x2,0) 2
(x1,0) 1
无交点 0
返回导航
【重要结论】 1．若函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有 f(a)·f(b)<0，则函数 y＝f(x)一定有零点．特别是，当 y＝f(x)在[a，b] 上单调时，它仅有一个零点． 2.由函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不能推出 f(a)·f(b)<0，如图所 示，所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
返回导航
分别作出函数 y1＝|x|－12，y2＝－1ax 的图像，如图所示．由图易知， 当 0＜－1a＜1 或－1＜－1a＜0，即 a＜－1 或 a＞1 时，y1 和 y2 的图像有两 个不同的交点，
所以当 a＜－1 或 a＞1 时，函数 y＝f(x)有且仅有两个零点，即实数 a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
x＋4，x∈（－∞，－2]∪[3，＋∞），
x2－1，x∈（－2，3）
.
函数 y＝f(x)＋k 的图象与 x 轴恰有三个不同
交点转化为函数 y＝f(x)的图象和直线 y＝－k 恰
有三个不同交点．
如图，所以－1<－k≤2，故－2≤k<1.
返回导航
【反思归纳】 已知函数零点或方程根的个数求参数的取值范围， 先对解析式变形，再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，数形结 合求解．
返回导航
1．函数的零点
对于函数 y＝f(x)，把_f_(_x_)＝___0_使的实数 x 叫做函数 y＝
函数零点的概念 f(x)的零点．
方程的根与函数 方程 f(x)＝0 有_实__数___根__⇔函数 y＝f(x)的图象与__x_轴___
零点的关系
有交点⇔函数 y＝f(x)有__零__点___．
返回导航
解法二 函数 f(x)的图像如图所示，由图像知函数 f(x)共有 2 个零点．
返回导航
【反思归纳】 判断函数 y＝f(x)零点个数的常用方法 (1)直接法．令 f(x)＝0，则方程实根的个数就是函数零点的个数． (2)零点存在的判定方法．判断函数在区间[a，b]上是连续不断的曲 线，且 f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、 对称性)可确定函数的零点个数． (3)数形结合法．转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函 数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)．
返回导航
【即时训练】(2017 佳木斯一模)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
当 x>0 时，f(x)＝ex＋x－3，则 f(x)的零点个数为( )
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
返回导航
解析：因为函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数， 所以 f(0)＝0，所以 0 是函数 f(x)的一个零点． 当 x>0 时，令 f(x)＝ex＋x－3＝0， 则 ex＝－x＋3. 分别画出函数 y＝ex 和 y＝－x＋3 的图象，如图所示， 有一个交点，所以函数 f(x)在(0，＋∞)上有一个零点． 又根据对称性知，当 x<0 时函数 f(x)也有一个零点． 综上所述，f(x)的零点个数为 3 个．故选 C.
(A)3
(B)4
(C)5
(D)6
(2)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤＞0，0 的零点个数为(
)
(A)3
(B)2
(C)7
(D)0
返回导航
解析：(1)B 由 f(x＋3)＝f(x＋1)知 f(x＋2)＝f(x)， 故 f(x)是周期为 2 的函数，在同一坐标系中作出 y＝f(x)与 y＝log5x 的图象，可以看出，交点个数为 4.故选 B. (2)B 解法一 由 f(x)＝0 得xx2≤＋0x，－2＝0 或－x＞10＋，ln x＝0， 解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点．