苏科七年级苏科初一下册数学月考试卷及答案

苏科七年级苏科初一下册数学月考试卷及答案
一、选择题
1．在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是()
A．B．
C．D．
2．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（）
A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形
3．计算（﹣2a2）•3a的结果是（）
A．﹣6a2B．﹣6a3C．12a3D．6a3
4．把一块直尺与一块含30°的直角三角板如图放置，若∠1＝34°，则∠2的度数为
（）
A．114°B．126°C．116°D．124°
5．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．8x2y3＝2x2⋅4 y3B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1
C．3x﹣3y﹣1＝3（x﹣y）﹣1 D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）2
6．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1=115°，则∠2的度数为
（）
A．65°B．70°C．75°D．80°
7．若（x2-x+m）（x-8）中不含x的一次项，则m的值为（）
A．8B．-8C．0D．8或-8
8．小红问老师的年龄有多大时，老师说：“我像你这么大时，你才4岁，等你像我这么大时，我就49岁了，设老师今年x岁，小红今年y岁”，根据题意可列方程为（）
A．
4
49
x y y
x y x
-=+
⎧
⎨
-=+
⎩
B．
4
49
x y y
x y x
-=+
⎧
⎨
-=-
⎩
C．
4
49
x y y
x y x
-=-
⎧
⎨
-=+
⎩
D．
4
49
x y y
x y x
-=-
⎧
⎨
-=-
⎩
9．如图所示的四个图形中，∠1和∠2不是同位角的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．如图，∠ACB＞90°，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为点D、点E、点F，△ABC 中AC边上的高是（）
A．CF B．BE C．AD D．CD
11．点M位于平面直角坐标系第四象限，且到x轴的距离是5，到y轴的距离是2，则点M的坐标是（）
A．（2，﹣5）B．（﹣2，5）C．（5，﹣2）D．（﹣5，2）12．下列方程组中，是二元一次方程组的为（）
A．1
5
1
2
n
m
m
n
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
B．
2311
546
a b
b c
-=
⎧
⎨
-=
⎩
C．
29
2
x
y x
⎧=
⎨
=
⎩
D．
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
二、填空题
13．如图，根据长方形中的数据，计算阴影部分的面积为______ ．
14．分解因式：m2﹣9＝_____．
15．如图，直线//
AB CD，直线GE交直线AB于点E，EF平分AEG
∠．若∠1=58°，则AEF
∠的大小为____.
16．等式01a =成立的条件是________．
17．若多项式29x mx ++是一个完全平方式，则m =______.
18．一个多边形的内角和与外角和之差为720︒，则这个多边形的边数为______. 19．如果()()
2
x 1x 4ax a +-+的乘积中不含2x 项，则a 为______ ．
20．如图，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，E 、F 分别为AD 、CE 的中点，且
ABC S ∆=8cm 2，则BEF S ∆=____．
21．a m =2，b m =3，则（ab ）m =______．
22．关于,x y 的方程组3x y m x my n -=⎧⎨-=⎩的解是1
1
x y =⎧⎨=⎩，则n 的值是______．
23．把一根 9m 长的钢管截成 1m 长和 2m 长两种规格均有的短钢管，且没有余料，设某种截法中 1m 长的钢管有 a 根，则 a 的值可能有_____种． 24．分解因式：m 2﹣9＝_____．
三、解答题
25．（1）已知2
(1)()2x x x y ---=，求22
2
x y xy +-的值．
（2）已知等腰△ABC 的三边长为,,a b c ，其中,a b 满足：a 2+b 2=6a+12b-45，求△ABC 的周
长． 26．计算：
（1）2x 3y •（﹣2xy ）+（﹣2x 2y ）2； （2）（2a +b ）（b ﹣2a ）﹣（a ﹣3b ）2．
27．认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提出的问题．
（探究1）：如图1，在ΔABC中，O是∠ABC与∠ACB的平分线BO和CO的交点，通过分
析发现∠BOC=90º+1
2
∠A，（请补齐空白处
．．．．．．）
理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，_________________，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（________）=90º+1
2
∠A．
（探究2）：如图2，已知O是外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BO和CO的交点，则
∠BOC与∠A有怎样的关系？请说明理由．
（应用）：如图3，在RtΔAOB中，∠AOB=90º，已知AB不平行与CD，AC、BD分别是
∠BAO和∠ABO的角平分线，又CE、DE分别是∠ACD和∠BDC的角平分线，则
∠E=_______；
（拓展）：如图4，直线MN与直线PQ相交于O，∠MOQ=60º，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，延长BA至G，已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线交于E、F，在ΔAEF中，如果有一个角是另一个角的4倍，则
∠ABO=______．
28．如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE平分∠ACB，求∠BEC的度数．
29．计算
（1）（π-3.14）0-|-3|+（1
2
）1--（-1）2012
（2）（-2a2）3+（a2）3-4a．a5（3）x（x+7）-（x-3）（x+2）（4）（a-2b-c）（a+2b-c）
30．如图①，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．
（1）将图①中的三角尺OCD 沿AB 的方向平移至图②的位置，使得顶点O 与点N 重合，CD 与MN 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（2）将图①中三角尺OCD 绕点O 按顺时针方向旋转，使一边OD 在∠MON 的内部，如图③，且OD 恰好平分∠MON ，CD 与MN 相交于点E ，求∠CEN 的度数；
（3）将图①中三角尺OCD 绕点O 按每秒15°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转过程中，在第 秒时，边CD 恰好与边MN 平行；在第 秒时，直线CD 恰好与直线MN 垂直．
31．如图，有一块长为(3)a b +米，宽为(2)a b +米的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余进行绿化（阴影部分），已知道路宽为a 米，东西走向的道路与空地北边界相距1米，则绿化的面积是多少平方米？并求出当a ＝3，b ＝2时的绿化面积．
32．如图，一个三角形的纸片ABC ，其中∠A=∠C ,
（1）把△ABC 纸片按 (如图1) 所示折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，DE 是折痕．说明 BC ∥DF ；
（2）把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内时 (如图2)，探索∠C 与∠1+∠2之间的大小关系，并说明理由；
（3）当点A 落在四边形BCED 外时 (如图3)，探索∠C 与∠1、∠2之间的大小关系.(直接写出结论)
33．阅读理解并解答：
为了求1+2+22+23+24+…+22009的值． 可令S ＝1+2+22+23+24+…+22009 则2S ＝2+22+23+24+…+22009+22010
因此2S ﹣S ＝（2+22+23+24+…+22009+22010）﹣（1+22+23+24+…+22009）＝22010﹣1 所以S ＝22010﹣1即1+2+22+23+24+…+22009＝22010﹣1
请依照此法，求：1+5+52+53+54+…+52020的值．
34．解方程组：
41 325 x y
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
．
35．如图1，在△ABC的AB边的异侧作△ABD，并使∠C＝∠D，点E在射线CA上．（1）如图，若AC∥BD，求证：AD∥BC；
（2）若BD⊥BC，试解决下面两个问题：
①如图2，∠DAE＝20°，求∠C的度数；
②如图3，若∠BAC＝∠BAD，过点B作BF∥AD交射线CA于点F，当∠EFB＝7∠DBF时，求∠BAD的度数．
36．如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，ΔABC经过平移后得到ΔA B C
'''，图中标出了点B的对应点B'，点A'、C'分别是A、C的对应点．
（1）画出平移后的ΔA B C
'''；
（2）连接BB'、CC'，那么线段BB'与CC'的关系是_________；
（3）四边形BCC B''的面积为_______．
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一、选择题
1．C
解析：C
【分析】
根据三角形的高的概念判断．
【详解】
解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键.三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．
2．D
解析：D
【分析】
一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．
【详解】
解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．
设多边形的边数是n，
则（n-2）•180=1080，
解得：n=8．
即这个多边形是正八边形．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．
3．B
解析：B
【分析】
用单项式乘单项式的法则进行计算．
【详解】
解：(-2a2)·3a=(-2×3)×(a2·a)=-6a3
故选：B．
【点睛】
本题考查单项式乘单项式，掌握运算法则正确计算是解题关键．
4．D
解析：D
【分析】
利用平行线的性质求出∠3即可解决问题．
【详解】
如图，
∵a∥b，
∴∠2=∠3，
∵∠3=∠1+90°，∠1=34°，
∴∠3=124°，
∴∠2=∠3=124°，
故选：D．
【点睛】
此题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.
【详解】
①是单项式的变形，不是因式分解；
②是多项式乘以多项式的形式，不是因式分解；
③左侧是多项式加减，右侧也是多项式加减，不是因式分解；
④符合因式分解的定义，结果是整式的积，因此D正确；
故选D．
【点睛】
本题考查因式分解的定义．正确理解因式分解的结果是“整式的积”的形式，是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
先将一缺了一角的等腰直角三角板补全，再由直尺为矩形，则两组对边分别平行，即可根据∠1求∠4的度数，即可求出∠4的对顶角的度数，再利用等角直角三角形的性质及三角形内角和求出∠2的对顶角，即可求∠2．
【详解】
解：如图，延BA，CD交于点E．
∵直尺为矩形，两组对边分别平行
∴∠1+∠4=180°，∠1=115°
∴∠4=180°-∠1=180°-115°=65°
∵∠EDA 与∠4互为对顶角 ∴∠EDA=∠4=65°
∵△EBC 为等腰直角三角形 ∴∠E=45°
∴在△EAD 中，∠EAD=180°-∠E-∠EDA=180°-45°-65°=70° ∵∠2与∠EAD 互为对顶角 ∴∠2=∠EAD =70° 故选：B ． 【点睛】
此题主要考查平行线的性质，等腰直角三角形的性质，挖掘三角板条件中的隐含条件是解题关键．
7．B
解析：B 【解析】
（x 2-x +m ）（x -8）=3
2
2
3
2
8889(8)8x x mx x x m x x m x m -+-+-=-++- 由于不含一次项，m+8=0,得m=-8.
8．D
解析：D 【分析】
根据题设老师今年x 岁，小红今年y 岁，根据题意列出方程组解答即可． 【详解】
解：老师今年x 岁，小红今年y 岁，可得：449
x y y x
y
x
，
故选：D ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的应用和理解题意能力，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．
9．C
解析：C 【分析】
根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】
A. ∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角，不符合题意；
B. ∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角，不符合题意；
C. ∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角，符合题意；
D. ∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角，不符合题
意．
故选C．
【点睛】
本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键．
10．B
解析：B
【解析】
试题分析：根据图形，BE是△ABC中AC边上的高．故选B．
考点：三角形的角平分线、中线和高．
11．A
解析：A
【分析】
先根据到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，进而判断出点的符号，得到具体坐标即可．
【详解】
∵M到x轴的距离为5，到y轴的距离为2，∴M纵坐标可能为±5，横坐标可能为±2．
∵点M在第四象限，∴M坐标为（2，﹣5）．
故选：A．
【点睛】
本题考查点的坐标的确定；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值．
12．D
解析：D
【分析】
组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【详解】
A、属于分式方程，不符合题意；
B、有三个未知数，为三元一次方程组，不符合题意；
C、未知数x是2次方，为二次方程，不符合题意；
D、符合二元一次方程组的定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】
考查了二元一次方程组的定义，一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”．
二、填空题
【解析】
两个阴影图形可以平移组成一个长方形，长为，宽为8，故阴影部分的面积13×8=104，故答案为104.
解析：104
【解析】
-=，宽为8，故阴影部分的面积两个阴影图形可以平移组成一个长方形，长为15213
13×8=104，故答案为104.
14．（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为
解析：（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
15．61°
【分析】
根据平行线的性质可得∠GEB的度数，进而得的度数，再根据角平分线的定义即得答案．
【详解】
解：，
，
．
．
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角
解析：61°
【分析】
∠的度数，再根据角平分线的定义即得根据平行线的性质可得∠GEB的度数，进而得AEG
答案．
【详解】
AB CD，
解：//
∴∠=∠=︒，
GEB
158
∴∠=︒-︒=︒．
AEG
18058122
∠，
EF平分AEG
∴∠=︒．
61
AEF
故答案为：61°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线和平角的定义，属于基础题型，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
16．．
【分析】
根据零指数幂有意义的条件作答即可．
【详解】
由题意得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查零指数幂有意义的条件.熟练掌握非零的零次幂等于1是解题的关键．a≠．
解析：0
【分析】
根据零指数幂有意义的条件作答即可．
【详解】
a≠．
由题意得：0
a≠．
故答案为：0
【点睛】
本题考查零指数幂有意义的条件.熟练掌握非零的零次幂等于1是解题的关键．
17．-6或6
【分析】
首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．
【详解】
解：∵x2+mx+9=x2+mx+32，
∴mx=±2×3×x，
解得m=6或-6．
故答案为
解析：-6或6
【分析】
首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．
【详解】
解：∵x2+mx+9=x2+mx+32，
∴mx=±2×3×x，
解得m=6或-6．
故答案为-6或6．
【点睛】
本题考查完全平方式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
18．8
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．
【详解】
设这个多边形的边数是n，
则（n-2）•180°-360°=720°，
解得n=8．
故答案为
解析：8
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．
【详解】
设这个多边形的边数是n，
则（n-2）•180°-360°=720°，
解得n=8．
故答案为8．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．
19．【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出，求出即可；
【详解】
解：
，
的乘积中不含项，
，
解得：.
故答案为：．
【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则和解一元 解析：14
【分析】
先根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，根据已知得出4a 10-+=，求出即可；
【详解】
解：()()
2x 1x 4ax a +-+ 322x 4ax ax x 4ax a =-++-+
()32x 4a 1x 3ax a =+-+-+，
()()2x 1x 4ax a +-+的乘积中不含2x 项，
4a 10∴-+=， 解得：1a 4
=. 故答案为：14
． 【点睛】
本题考查了多项式乘以多项式法则和解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式法则是解此题的关键.
20．2
【分析】
根据点F 是CE 的中点，推出S△BEF=S△BEC，同理得S△EBC=S△ABC，由此可得出答案．
【详解】
∵点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=EC 解析：2
【分析】
根据点F是CE的中点，推出S△BEF=1
2
S△BEC，同理得S△EBC=
1
2
S△ABC，由此可得出答案．
【详解】
∵点F是CE的中点，
∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=1
2
EC，高相等；
∴S△BEF=1
2
S△BEC，
同理得S△EBC=1
2
S△ABC，
∴S△BEF=1
4
S△ABC，且S△ABC=8，
∴S△BEF=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了三角形的性质，充分运用三角形的面积公式以及三角形的中线的性质是解本题的关键．
21．6
【分析】
根据积的乘方运算法则，底数的积的乘方等于乘方的积，即可转化计算．
【详解】
解：因为am=2，bm=3，
所以（ab）m=am•bm=2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查积
解析：6
【分析】
根据积的乘方运算法则，底数的积的乘方等于乘方的积，即可转化计算．
【详解】
解：因为a m=2，b m=3，
所以（ab）m=a m•b m=2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】
此题考查积的乘方，关键是根据积的乘方运算法则将未知转化为已知．
22．【分析】
将，代入方程组，首先求得，进而可以求得．
【详解】
解：将代入方程组得：，
解得：，
故的值为-1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，难度不大，理解二元一次方程组的解的含义是顺利解
解析：1-
【分析】
将x，y代入方程组，首先求得m，进而可以求得n．
【详解】
解：将
1
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
代入方程组得：
31=
1
m
m n
-
⎧
⎨
-=
⎩
，
解得：
2
1
m
n
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
故n的值为-1．
【点睛】
本题考查二元一次方程组，难度不大，理解二元一次方程组的解的含义是顺利解题的关键．
23．4
【分析】
根据题意列二元一次方程即可解决问题．
【详解】
设2m的钢管b根，根据题意得：
a＋2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴，，，．
a 的值可能有4种，
故答案为：4．
【点睛】
本题运
解析：4
【分析】
根据题意列二元一次方程即可解决问题．【详解】
设2m的钢管b根，根据题意得：
a＋2b＝9，
∵a、b均为正整数，
∴
1
4
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
3
3
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
5
2
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
，
7
1
a
b
=
⎧
⎨
=
⎩
．
a 的值可能有4种，
故答案为：4．
【点睛】
本题运用了二元一次方程的整数解的知识点，运算准确是解此题的关键．
24．（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为
解析：（m+3）（m﹣3）
【分析】
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．
【详解】
解：m2﹣9
＝m2﹣32
＝（m+3）（m﹣3）．
故答案为：（m+3）（m﹣3）．
【点睛】
此题考查的是因式分解，掌握利用平方差公式因式分解是解决此题的关键．
三、解答题
25．（1）2；（2）15．
【分析】
（1）先化简条件，再把求值的代数式变形，整体代入即可，
（2）利用两个非负数之和为0的性质得到等腰三角形的两边长，后分类讨论即可得到答案．
【详解】
解：（1） 2(1)()2x x x y ---=，
222,x x x y ∴--+=
2,y x ∴-=
222222
2()2 2.2222
x y x xy y y x xy +-+-∴-==== （2） a 2+b 2=6a+12b-45，
226912360,a a b b ∴-++-+=
22(3)(6)0,a b ∴-+-=
3,6,a b ∴==
当3a =为腰时，三角形不存在，
当6b =为腰时，三角形三边分别为：6,6,3,
∴ △ABC 的周长为：15.
【点睛】
本题考查的是代数式的求值，熟练整体代入的方法，同时考查非负数之和为零的性质，三角形三边的关系，等腰三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
26．（1）0；（2）﹣5a 2+6ab ﹣8b 2．
【分析】
（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式利用平方出根是，以及完全平方公式化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：（1）原式＝﹣4x 4y 2+4x 4y 2
＝0；
（2）原式＝﹣4a 2+b 2﹣（a 2﹣6ab +9b 2）
＝﹣4a 2+b 2﹣a 2+6ab ﹣9b 2
＝﹣5a 2+6ab ﹣8b 2．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
27．【探究1】∠2=12∠ACB ，90º－12∠A ；【探究2】∠BOC ＝90°﹣12
∠A ，理由见解
析；【应用】22.5°；【拓展】45°或36°．【分析】
【探究1】根据角平分线的定义可得∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，根据三角形的内角和
定理可得∠1+∠2=90º－1
2
∠A，再根据三角形的内角和定理即可得出结论；
【探究2】如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义可得∠OBC＝1 2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝1
2
（∠A+∠ABC），然后再根据三角形的内角和定理即可得出结
论；
【应用】延长AC与BD，设交点为G，如图5，由【探究1】的结论可得∠G的度数，于是可得∠GCD+∠GDC的度数，然后根据角平分线的定义和角的和差可得∠1+∠2的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出结果；
【拓展】根据角平分线的定义和平角的定义可得∠EAF=90°，然后分三种情况讨论：若
∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，根据角平分线的定义和三角形的外角性质可得∠ABO=2∠E，于是可得结果；若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，由【探究2】的结论可求出∠ABO=135°，然后由三角形的外角性质即可判断此种情况不存在；若∠F=4∠E，则∠E=18°，然后再由第一种情况的结论∠ABO=2∠E即可求出结果，进而可得答案．
【详解】
解：【探究1】理由如下：∵BO和CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠1=1
2
∠ABC，∠2=
1
2
∠ACB，
在ΔABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180º．
∴∠1+∠2=1
2
（∠ABC+∠ACB）=
1
2
（180º－∠A）=90º－
1
2
∠A，
∴∠BOC=180º－（∠1+∠2）=180º－（90º－1
2
∠A）=90º+
1
2
∠A；
故答案为：∠2=1
2
∠ACB，90º－
1
2
∠A；
【探究2】∠BOC＝90°﹣1
2
∠A；理由如下：
如图2，由三角形的外角性质和角平分线的定义，∠OBC＝1
2
（∠A+∠ACB），∠OCB＝
12（∠A +∠ABC ）， 在△BOC 中，∠BOC ＝180°﹣∠OBC ﹣∠OCB
＝180°﹣
12（∠A +∠ACB ）﹣12（∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣
12（∠A +∠ACB +∠A +∠ABC ）， ＝180°﹣
12（180°+∠A ）， ＝90°﹣12
∠A ；
【应用】延长AC 与BD ，设交点为G ，如图5，由【探究1】的结论可得：∠G=1901352
O ︒+∠=︒， ∴∠GCD+∠GDC=45°，
∵CE 、DE 分别是∠ACD 和∠BDC 的角平分线，
∴∠1=12∠ACD=()11802GCD ︒-∠，∠2=12∠BDC=()11802
GDC ︒-∠， ∴∠1+∠2=
()11802GCD ︒-∠+()11802GDC ︒-∠=()136045157.52︒-︒=︒, ∴()1801222.5E ∠=︒-∠+∠=︒；
故答案为：22.5°；
【拓展】如图4，∵AE 、AF 是∠BAO 和∠OAG 的角平分线，
∴∠EAQ+∠FAQ=
()111809022BAO GAO ∠+∠=⨯︒=︒， 即∠EAF=90°，
在Rt△AEF中，若∠EAF=4∠E，则∠E=22.5°，
∵∠EOQ=∠E+∠EAQ，∠BOQ=2∠EOQ，∠BAO=2∠EAQ，∴∠BOQ=2∠E+∠BAO，
又∠BOQ=∠BAO+∠ABO，
∴∠ABO=2∠E=45°；
若∠EAF=4∠F，则∠F=22.5°，
则由【探究2】知：
1
9022.5
2
F ABO
∠=︒-∠=︒，∴∠ABO=135°，
∵∠ABO＜∠BOQ=60°，∴此种情况不存在；
若∠F=4∠E，则∠E=18°，
由第一种情况可知：∠ABO=2∠E，∴∠ABO=36°；
综上，∠ABO=45°或36°；
故答案为：45°或36°．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理、平角的定义和三角形的外角性质等知识，具有一定的综合性，熟练掌握上述知识、灵活应用整体思想是解题的关键．28．131°
【解析】
【分析】
先根据∠A=65°，∠ACB=72°得出∠ABC的度数，再由∠ABD=30°得出∠CBD的度数，根据CE平分∠ACB得出∠BCE的度数，根据∠BEC=180°-∠BCE-∠CBD即可得出结论
【详解】
在△ABC中，
∵∠A=65°，∠ACB=72°
∴∠ABC=43°
∵∠ABD=30°
∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=13°
∵CE平分∠ACB
∴∠BCE=∠ACB=36°
∴在△BCE中，∠BEC=180°﹣13°﹣36°=131°．
【点睛】
本题考察了三角形内角和定理，在两个三角形中，三个角之间的关系是解决此题的关键
29．（1）-1；（2）611a -；（3）86x +；（4）222a ac c -+ -24b
【分析】
（1）直接利用零指数幂，绝对值，负指数幂，乘方法则运算．
（2）先利用幂的运算法则，再合并同类项．
（3）利用整式的乘法法则进行运算．
（4）利用平方差公式进行运算．
【详解】
解：（1）原式=1-3+2-1=-1
（2）原式=68a - +6a -64a =611a -
（3）原式=27x x + -()26x x -- =27x x +26x x -++ =86x +
（4）原式=()2a c - -()22b =222a ac c -+ -24b
【点睛】
本题主要考查了数的计算，整式的加减与乘法，解题的关键要对零指数幂，绝对值，负指数幂以及幂的运算和整式的乘法法则熟悉．
30．（1）105°；（2）150°；（3）5或17；11或23．
【分析】
（1）根据三角形的内角和定理可得180CEN DCN MNO ∠=︒-∠-∠，代入数据计算即可得解；
（2）根据角平分线的定义求出45DON ∠=︒，利用内错角相等两直线平行求出//CD AB ，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可；
（3）①分CD 在AB 上方时，//CD MN ，设OM 与CD 相交于F ，根据两直线平行，同位角相等可得60OFD M ∠=∠=︒，然后根据三角形的内角和定理列式求出MOD ∠，即可得解；CD 在AB 的下方时，//CD MN ，设直线OM 与CD 相交于F ，根据两直线平行，内错角相等可得60DFO M ∠=∠=︒，然后利用三角形的内角和定理求出DOF ∠，再求出旋转角即可；②分CD 在OM 的右边时，设CD 与AB 相交于G ，根据直角三角形两锐角互余求出CGN ∠，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出CON ∠，再求出旋转角即可，CD 在OM 的左边时，设CD 与AB 相交于G ，根据直角三角形两锐角互余求出NGD ∠，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出AOC ∠ ，然后求出旋转角，计算即可得解．
【详解】
解：（1）在CEN ∆中，
180CEN DCN MNO ∠=︒-∠-∠
1804530=︒-︒-︒
105=︒；
（2）OD 平分MON ∠，
11904522
DON MPN ∴∠=∠=⨯︒=︒， 45DON D ∴∠=∠=︒，
//CD AB ∴，
180********CEN MNO ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒；
（3）如图1，CD 在AB 上方时，设OM 与CD 相交于F ，
//CD MN ，
60OFD M ∴∠=∠=︒，
在ODF ∆中，180MOD D OFD ∠=︒-∠-∠，
1804560=︒-︒-︒，
75=︒，
∴旋转角为75︒，
75155t =︒÷︒=秒；
CD 在AB 的下方时，设直线OM 与CD 相交于F ，
//CD MN ，
60DFO M ∴∠=∠=︒，
在DOF ∆中，180180456075DOF D DFO ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
∴旋转角为75180255︒+︒=︒，
2551517t =︒÷︒=秒；
综上所述，第5或17秒时，边CD 恰好与边MN 平行；
如图2，CD 在OM 的右边时，设CD 与AB 相交于G ，
CD MN ⊥，
90903060NGC MNO ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
604515CON NGC OCD ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴旋转角为180********CON ︒-∠=︒-︒=︒，
1651511t =︒÷︒=秒，
CD 在OM 的左边时，设CD 与AB 相交于G ，
CD MN ⊥，
90903060NGD MNO ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，
604515AOC NGD C ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，
∴旋转角为36036015345AOC ︒-∠=︒-︒=︒，
3451523t =︒÷︒=秒，
综上所述，第11或23秒时，直线CD 恰好与直线MN 垂直．
故答案为：5或17；11或23．
【点睛】
本题考查了旋转的性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记各性质并熟悉三角板的度数特点是解题的关键．
31．()
2223a ab b ++平方米；40平方米． 【分析】
（1）根据平移的原理，四块绿化面积可拼成一个长方形，其边长为原边长减去再减去道路宽为a 米，由此即可求绿化的面积的代数式；然后利用多项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a 与b 的值代入计算即可求出值．
【详解】
解：根据题意得：22(3)(2)(2)()23a b a a b a a b a b a ab b +-+-=++=++（平方米）．
则绿化的面积是()
2223a ab b ++平方米； 当3a =，2b =时，原式2223233240=⨯+⨯⨯+=（平方米）．
故当a ＝3，b ＝2时，绿化面积为40平方米．
答：绿化的面积是()
2223a ab b ++平方米；当a ＝3，b ＝2时，绿化面积为40平方米． 【点睛】
此题考查整式的混合运算与代数式求值，掌握长方形的面积计算方法是解决问题的关键．
32．（1）见解析；（2）∠1＋∠2＝2∠C ；（3）∠1－∠2＝2∠C.
【分析】
（1）根据折叠的性质得∠DFE=∠A ，由已知得∠A=∠C ，于是得到∠DFE=∠C ，即可得到结论；
（2）先根据四边形的内角和等于360°得出∠A+∠A′=∠1+∠2，再由图形翻折变换的性质即可得出结论；
（3）∠A′ED=∠AED （设为α），∠A′DE=∠ADE （设为β），于是得到∠2+2α=180°，∠1=β-∠BDE=β-（∠A+α），推出∠2-∠1=180°-（α+β）+∠A ，根据三角形的内角和得到∠A=180°-（α+β），证得∠2-∠1=2∠A ，于是得到结论．
【详解】
解：(1) 由折叠知∠A=∠DFE,
∵∠A=∠C ，
∴∠DFE=∠C ，
∴BC ∥DF ；
(2)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：
∵∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，
∴∠1＋∠2＋2(∠ADE＋∠AED)＝360°.
∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，
∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，
∴∠1＋∠2＋2(180°－A)＝360°，
即∠1＋∠2＝2∠C.
(3)∠1－∠2＝2∠A.
∵2∠AED＋∠1＝180°，2∠ADE－∠2＝180°，
∴2(∠ADE＋∠AED)＋∠1－∠2＝360°.
∵∠A＋∠ADE＋∠AED＝180°，
∴∠ADE＋∠AED＝180°－∠A，
∴∠1－∠2＋2(180°－∠A)＝360°，
即∠1－∠2＝2∠C.
【点睛】
考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．
33．
2021 51
4
-
【分析】
根据题目信息，设S＝1+5+52+53+…+52020，求出5S，然后相减计算即可得解．【详解】
解：设S＝1+5+52+53+ (52020)
则5S＝5+52+53+54 (52021)
两式相减得：5S﹣S＝4S＝52021﹣1，
则
2021
51
.
4
S
-=
∴1+5+52+53+54+…+52020的值为
2021
51
4
-
．
【点睛】
本题考查了有理数的乘方，读懂题目信息，理解求和的运算方法是解题的关键．
34．
11
7
1
7 x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-⎪⎩
【分析】
直接利用加减消元法解方程组即可.【详解】
41325x y x y +=⎧⎨-=⎩
①② 由+2⨯①②得：7x=11， 解得117x =，
把117x =代入方程①得：17y =-， 故原方程组的解为：11717x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
. 【点睛】
本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解本题的关键.
35．（1）见解析；（2）35°；（3）117°
【分析】
（1）由AC ∥BD 得∠D ＝∠DAE ，角的等量关系证明∠DAE 与∠C 相等，根据同位角得AD ∥BC ；
（2）由BD ⊥BC 得∠HBC ＝90°，余角的性质和三角形外角性质解得∠C 的度数为35°； （3）由BF ∥AD 得∠D ＝∠DBF ，垂直的定义得∠DBC ＝90°，三角形的内角和定理，角的和差求得∠DBA ＝∠CBA ＝45°，由已知条件∠EFB ＝7∠DBF ，角的和差得出∠BAD 的度数为117°．
【详解】
解：（1）如图1所示：
∵AC ∥BD ，
∴∠D ＝∠DAE ，
又∵∠C ＝∠D ，
∴∠DAE ＝∠C ，
∴AD ∥BC ；
（2）①如图2所示：
∵BD⊥BC，
∴∠HBC＝90°，
∴∠C+∠BHC＝90°，
又∵∠BHC＝∠DAE+∠D，
∠C＝∠D，∠DAE＝20°，
∴20°+2∠C＝90°，
∴∠C＝35°；
②如图3所示：
∵BF∥AD，
∴∠D＝∠DBF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠C＝∠D＝∠DBF，
又∵BD⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
又∵∠D+∠DBA+∠BAD＝180°，
∠C+∠CBA+∠BAC＝180°．
∠BAC＝∠BAD，
∴∠DBA＝∠CBA＝45°，
又∵∠EFB＝7∠DBF，
∠EFB＝∠FBC+∠C，
∴7∠DBF＝2∠DBF+∠DBC，
解得：∠DBF＝18°，
∴∠BAD＝180°﹣45°﹣18°＝117°．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，余角的性质，三角形的内角和性质，三角形的外角性质，角的和差等相关知识点，掌握平行线的判定与性质，三角形内角和和外角的性质是解题的关键．
36．（1）见解析；（2）平行且相等；（3）28
【分析】
'''；（1）根据平移的性质画出点A、C平移后的对应点A'、C'即可画出平移后的△A B C （2）根据平移的性质解答即可；
（3）根据平行四边形的面积解答即可．
【详解】
'''即为所求；
解：（1）如图，ΔA B C
（2）根据平移的性质可得：BB'与CC'的关系是平行且相等；
故答案为：平行且相等；
（3）四边形BCC B''的面积为4×7=28．
故答案为：28．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质和平移作图，属于常考题型，熟练掌握平移的性质是解题关键．。