2014-2015年湖北省武汉市武昌区高二(下)期末数学试卷(文科)与解析

2014-2015学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学试卷（文
科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N=（）A．∅B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3} 2．（5分）已知i为虚数单位，则复数=（）
A．i B．﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i 3．（5分）命题“所有实数的平方根都是正数”的否定为（）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方不是正数
D．至少有一个实数的平方是正数
4．（5分）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于y轴对称，则（）
A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（﹣1）=f（3）
D．f（0）=f（3）
5．（5分）化简=（）
A．sin2αB．cos2αC．sinαD．cosα
6．（5分）已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，且（3﹣）
=0，则||的最大值是（）
A．3B．4C．5D．6
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）
A．3B．6C．9D．12
8．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
9．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）
A．B．C．D．
10．（5分）关于x的不等式+≥4在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．（0，]B．（1，]C．[1，]D．[，]
11．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
12．（5分）已知a，b，c，d均为实数，函数（a＜0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），满足f（x2）=x1．则关于实数x的方程a[f（x）]2+bf （x）+c=0的实根个数为（）
A．0B．2C．3D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）函数f（x）=+log3（2x+1）的定义域为．
14．（5分）已知A、B、C、D是以O为球心的球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的半径为．
15．（5分）已知双曲线有方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其上一个焦点为F
（c，0），如果顶点B（0，b）使得BF垂直于该双曲线的一条渐近线，则此双曲线的离心率为．
16．（5分）已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m、n∈N*），且对任意的m，n ∈N*，都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+2；
②f（m+1，1）=2f（m，1）．
则f（2014，1008）的值为．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）在数列{a n]中a1=1，a n+1=2a n﹣n+2，n∈N*．记b n=a n﹣n+1．（Ⅰ）计算b1，b2，b3，b4，并写出数列{b n}的通项b n（不需要说明理由）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求数列{a n}的通项a n及前n项和S n．
18．（12分）某校为了调查高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，抽取了50名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，得到如下的频数分布表：
（Ⅰ）若该校高三年级每位学生被抽取的概率为0.1，求该校高三年级学生的总
人数；
（Ⅱ）估计这次联考该校高三年级学生数学成绩的平均分及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）根据以上抽样数据，能否认为该校高三年级本次联考数学成绩符合“优秀（80分及80分以上为优秀）率不低于25%”的要求？
19．（10分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足•tanB
﹣tanA﹣tanB=．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a2+b2的取值范围．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，点E在棱SC上．
（Ⅰ）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CE与平面BDE所成的角．
21．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0），ab=2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．
22．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，g（x）=x3+x2+m．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=﹣1时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
2014-2015学年湖北省武汉市武昌区高二（下）期末数学
试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合M={x|x2﹣2x﹣3≤0}，N={x|﹣2＜x＜2}，则M∩N=（）A．∅B．{x|﹣1≤x＜2}C．{x|﹣2≤x＜﹣1}D．{x|2≤x＜3}【解答】解：由M中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≤0，
解得：﹣1≤x≤3，即M={x|﹣1≤x≤3}，
∵N={x|﹣2＜x＜2}，
∴M∩N={x|﹣1≤x＜2}，
故选：B．
2．（5分）已知i为虚数单位，则复数=（）
A．i B．﹣i C．﹣﹣i D．﹣+i
【解答】解：==，
故选：A．
3．（5分）命题“所有实数的平方根都是正数”的否定为（）
A．所有实数的平方都不是正数
B．有的实数的平方是正数
C．至少有一个实数的平方不是正数
D．至少有一个实数的平方是正数
【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定：
至少有一个实数的平方不是正数，
故选：C．
4．（5分）定义在R上的函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，且f（x+2）的图象关于y轴对称，则（）
A．f（﹣1）＜f（3）B．f（0）＞f（3）C．f（﹣1）=f（3）
D．f（0）=f（3）
【解答】解：∵f（x+2）的图象关于y轴对称，
∴将函数f（x+2）向右平移2个单位，得到f（x）的图象，此时f（x）的图象关于x=2对称，
f（3）=f（1），
∵函数f（x）在（﹣∞，2）上是增函数，
∴f（﹣1）＜f（1），f（0）＜f（1），
即f（﹣1）＜f（3），f（0）＜f（3），
故A正确，
故选：A．
5．（5分）化简=（）
A．sin2αB．cos2αC．sinαD．cosα
【解答】解：
==
==sin2α，
故选：A．
6．（5分）已知向量、是平面内两个互相垂直的单位向量，且（3﹣）
=0，则||的最大值是（）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：设=（1，0），=（0，1），=（x，y），则3﹣=（3﹣x，﹣y）=0，=（﹣x，4﹣y），由（3﹣）=0得到﹣x（3﹣x）﹣y（4﹣y）=0，即（x﹣）2+（y﹣2）2=，
所以在以（，2）为圆心，为半径的圆上，所以||的最大值是（=5；
故选：C．
7．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为（）
A．3B．6C．9D．12
【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，
经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z取得最小值，
由，解得，即A（2，1）．
代入z=2x﹣y，得z=4﹣1=3，
即目标函数z=2x﹣y的最小值为3．
故选：A．
8．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱切去一个同底等高的三棱锥所得的几何体，
其直观图如下图所示：
它们底面面积S=×2×2=2，
高h=2，
故几何体的体积V=（1﹣）Sh=，
故选：A．
9．（5分）已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于55的概率为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设实数x∈[1，9]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2
经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3
经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=3此时输出x
输出的值为8x+7
令8x+7≥55，得x≥6
由几何概型得到输出的x不小于55的概率为==．
故选：C．
10．（5分）关于x的不等式+≥4在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围为（）
A．（0，]B．（1，]C．[1，]D．[，]
【解答】解：由+≥4，得≥4=，即
=，
∵x∈[1，2]，∴，则∈[]．
∴，则0＜a．
∴实数a的取值范围为（0，]．
故选：A．
11．（5分）设抛物线y2=4x的焦点为F，顶点为O，M是抛物线上的动点，则的最大值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：焦点F（1，0），设M（m，n），则n2=4m，m＞0，设M 到准线x=﹣1的距离等于d，
则===．
令2m﹣1=t，t＞﹣1，则m=（t+1），
∴=≤=（当且仅当t=3时，等号成立）．
故的最大值为，
故选：B．
12．（5分）已知a，b，c，d均为实数，函数（a＜0）有两个极值点x1，x2（x1＜x2），满足f（x2）=x1．则关于实数x的方程a[f（x）]2+bf （x）+c=0的实根个数为（）
A．0B．2C．3D．4
【解答】解：∵f′（x）=ax2+bx+c，
由题意知x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，即x1，x2是函数的两个极值点，
x2＞x1，从而关于f（x）的方程a[f（x）]2+b[f（x）]+c=0有两个根，
所以f（x）=x1，或f（x）=x2根据题意画图，
所以f（x）=x1有两个不等实根，f（x）=x2只有一个不等实根，
综上方程a[f（x）]2+bf（x）+c=0的不同实根个数为3个．
故选：C．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）函数f（x）=+log3（2x+1）的定义域为（﹣，0] ．【解答】解：由题意得：
，解得：﹣＜x＜0，
故答案为：（﹣，0）．
14．（5分）已知A、B、C、D是以O为球心的球面上的四点，AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则球的半径为3．
【解答】解：空间四个点P、A、B、C在同一球面上，AB、AC、AD两两垂直，且AB=3，AC=4，AD=，则AB，AC，AD可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱，所以过空间四个点A、B、C、D的球面即为长方体的外接球，球的直径即是长方体对角线=6，所以球的半径为3；
故答案为：3．
15．（5分）已知双曲线有方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其上一个焦点为F
（c，0），如果顶点B（0，b）使得BF垂直于该双曲线的一条渐近线，则此双
曲线的离心率为．
【解答】解：由题意可得=﹣1，∴ac=b2，∴c2﹣a2﹣ac=0，
∴e2﹣e﹣1=0，
∵e＞1，
∴e=．
故答案为：．
16．（5分）已知f（1，1）=1，f（m，n）∈N*（m、n∈N*），且对任意的m，n ∈N*，都有：
①f（m，n+1）=f（m，n）+2；
②f（m+1，1）=2f（m，1）．
则f（2014，1008）的值为22013+2014．
【解答】解：∵f（m，n+1）=f（m，n）+2，f（1，1）=1，
∴{f（1，n）}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴f（1，n）=2n﹣1．
又∵f（m+1，1）=2f（m，1），
∴{f（m，1）}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴f（m，1）=2m﹣1，
∴f（m，n）=2m﹣1+2n﹣2．
∴f（2014，1008）=22014﹣1+2•1008﹣2=22013+2014，
故答案为：22013+2014．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17．（10分）在数列{a n]中a1=1，a n+1=2a n﹣n+2，n∈N*．记b n=a n﹣n+1．（Ⅰ）计算b1，b2，b3，b4，并写出数列{b n}的通项b n（不需要说明理由）；（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，求数列{a n}的通项a n及前n项和S n．
【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，a n+1=2a n﹣n+2，n∈N*．
∴a2=2a1﹣1+2=2﹣1+2=3，
a3=2a2﹣2+2=6﹣2+2=6，
a4=2a3﹣3+2=12﹣3+2=11，
∵b n=a n﹣n+1，
∴b1=a1﹣1+1=1﹣1+1=1，
b2=a2﹣2+1=3﹣2+1=2，
b3=a3﹣3+1=6﹣3+1=4，
b4=a4﹣4+1=11﹣4+1=8，
∴数列{b n}是以1为首项、2为公比的等比数列，
∴b n=2n﹣1；
（Ⅱ）∵b n=2n﹣1，b n=a n﹣n+1，
∴a n=n﹣1+b n=n﹣1+2n﹣1，
∴S n=0+20+1+21+2+22+…+（n﹣1）+2n﹣1
=[0+1+2+…+（n﹣1）]+（20+21+…+2n﹣1）
=+
=+2n﹣1．
18．（12分）某校为了调查高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，抽取了50名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，得到如下的频数分布表：
（Ⅰ）若该校高三年级每位学生被抽取的概率为0.1，求该校高三年级学生的总人数；
（Ⅱ）估计这次联考该校高三年级学生数学成绩的平均分及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅲ）根据以上抽样数据，能否认为该校高三年级本次联考数学成绩符合“优秀（80分及80分以上为优秀）率不低于25%”的要求？
【解答】解：（Ⅰ）设高三年级的总人数为n，由=0.1，得到n=500，
所以高三年级的总人数为500人，
（Ⅱ）以题意，求得各组成绩的频率分别为0.06，0.26，0.38，0.22，0.08，
所以成绩的平均分为=55×0.06+65×0.26+75×0.38+85×0.22+95×0.08=75，
成绩的样本方差为s2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，
所以估计这次联考该校高三年级学生数学成绩的平均分为75分，方差为1﹣4，（Ⅲ）成绩分数为优秀所占的比例的估计值为0.22+0.08=0.30，
由于该估计值大于25%，所以该校高三年级本次联考数学成绩符合“优秀（80分及80分以上为优秀）率不低于25%”的要求．
19．（10分）△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a，b，c，且满足•tanB
﹣tanA﹣tanB=．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=2，求a2+b2的取值范围．
【解答】解：（I）∵•tanB﹣tanA﹣tanB=，∴tan（A+B）
===﹣，
∴tan（π﹣C）=﹣，化为tanC=，∵C∈（0，π），∴．
（II）由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
∴4=a2+b2﹣ab≥，∴a2+b2≤8，当且仅当a=b是取等号．
又a2+b2＞4，
∴（a2+b2）∈（4，8]．
20．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SA⊥平面ABCD，SA=AB，点E在棱SC上．
（Ⅰ）若E为SC的中点，求证：SA∥平面BDE；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求CE与平面BDE所成的角．
【解答】（Ⅰ）证明：设AC与BD的交点为O，连接OE，
因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，
又E为SC的中点，所以OE为三角形SAC的中位线，所以SA∥OE，
又OE⊂面BDE，SA⊄面BDE，
所以，SA∥平面BDE；
（Ⅱ）解：因为SA⊥平面ABCD，所以SA⊥OC，
因为SA∥EO，所以EO⊥OC，
因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥OC，
所以OC⊥平面BDE，
所以∠CEO为CE与平面BDE所成的角．
设正方形的边长为a，则EO=SA=a，
Rt△COE中，tan∠CEO==1，所以∠CEO=45°，
所以CE与平面BDE所成的角为45°．
21．（12分）已知椭圆=1（a＞b＞0），ab=2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵ab=2，e===，
∴a2=6，b2=2，
∴椭圆的方程为：；
（Ⅱ）由（I）知椭圆的右焦点F（2，0），
设直线l方程为：y=k（x﹣2），
联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：
（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1•x2=，x1+x2=，
∴|AB|=|x1﹣x2|=，
设AB的中点为M（x0，y0），则x0=（x1+x2）=，
y0=（y1+y2）==﹣，
即有M（，﹣），
若△ABP为等边三角形，则直线MP的斜率为﹣，且x P=3，
∴|MP|=|x0﹣x P|=•，
∵|MP|=|AB|，
∴•=•，
解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=±（x﹣2），
∴所求直线方程为：x﹣y﹣2=0或x+y﹣2=0．
22．（12分）已知函数f（x）=（ax2+x﹣1）e x，g（x）=x3+x2+m．
（Ⅰ）当a＜0时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a=﹣1时，若函数h（x）=f（x）﹣g（x）有3个不同的零点，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）∵f′（x）=e x（ax2+x+1+2ax+1）=axe x（x+），且a＜0，
∴当a∈（﹣，0）时，f（x）在（﹣∞，0）上是减函数，在（0，﹣）上是增函数，在（﹣，+∞）上是减函数，
当a=﹣时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递减；
当a∈（﹣∞，﹣）时，f（x）在（﹣∞，﹣）上是减函数，在（﹣，
0）上是增函数，在（0，+∞）上是减函数；
（2）由h（x）=f（x）﹣g（x）=（﹣x2+x﹣1）e x ﹣（x3+x2+m），
则h′（x）=（﹣2x+1）e x+（﹣x2+x﹣1）e x﹣（x2+x）=﹣（e x+1）（x2+x），
令h′（x）＞0得﹣1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜﹣1，
∴h（x）在x=﹣1处取得极小值h（﹣1）=﹣﹣﹣m，在x=0处取得极大值h （0）=﹣1﹣m，
∵函数f（x），g（x）的图象有三个交点，即函数h（x）有3个不同的零点，
∴即
，
解得：﹣﹣＜m＜﹣1．
赠送—高中数学知识点
【1.3.1】单调性与最大（小）值
（1）函数的单调性
②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去
一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)a
f x x a x
=+
>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在
[,0)a -、]a 上为减函数．
（3）最大（小）值定义
①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数
M 满足：
（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作
max ()f x M =．
②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．
【1.3.2】奇偶性
（4）函数的奇偶性
①定义及判定方法
y
x
o
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。