【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 立体几何(1) 理

【备战2012】高考数学 最新专题冲刺 立体几何（1） 理
1．（2012某某市高三统一考试理）四棱锥P —ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长
为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为
（ ）
A ．5
5 B ．255 C ．45 D ．35
【答案】 A
【解析】本题主要考查异面直线所成角和余弦定理. 属于基础知识、基本运算的考查.
∵CD 平行于AB ，则CD 与PA 所成角就是∠PAB ；由余弦定理
∠PAB ＝
2225455
25252PA AB PB PA AB +-+-==
⋅⨯⨯ 2．（2012某某市高三模拟理）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，
则这个几何体的外接球的表面积为
（ ）
A ．163π
B ．83π
C ．43
D ．23π
【答案】 A
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图和球的表面积公式. 属于基础知识、基本能力的考查.
这个几何体是如图所示的三棱锥，，设外接球的半径为R,则
2223
1(3)3R R R =+-⇒=
，这个几何体的外接球
的表面积为
22231644(
)33R πππ==
3．（2012某某师大附中高三模拟理）如图甲所示，三棱锥P ABC -的高
8,3,30,PO AC BC ACB M N ===∠=︒、分别在BC 和PO 上，且
,2((0,3])CM x PN x x ==∈，图乙中的四个图像大致描绘了三棱锥N AMC -的体积V 与
x 的变化关系，其中正确的是（ ）
【答案】A
【解析】本题主要考查三棱锥的体积，三角形的面积公式，函数图像以及基本不等式的基本运算. 属于基础知识、基本运算、基本能力的考查.
1933sin 3024ABC S ︒∆=⨯⨯=, 19279344P ABC V -=⨯⨯=
,0,0,N AMC x V -→→
13
3sin 3024N AMC S x x
︒-=⨯⨯⨯=((0,3])x ∈
1319
(92)()
3422
N AMC V x x x x -=⨯⨯-=-((0,3])x ∈是抛物线的一部分，答案A 4.(2012某某市普通高中高三联考理)一个棱锥的三视图如右图所示，则这个棱锥的体积是 A.6 B.12 C.24 D.36
【答案】B
【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、棱锥的体积公式. 属于基础知识、基本思维的考查.
由题意，多面体是一个四棱锥E-ABCD,ED 垂直于平面ABCD ，ED=3,AB=4,AD=3,四边形ABCD 是矩形
这个棱锥的体积＝1
34312
3⨯⨯⨯=
5．(2012某某市高三模拟质检理)已知直线m 、n 和平面α、
β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，要使n ⊥β，则应增加的条件是
A. m ∥n
B. n ⊥m
C. n ∥α
D. n ⊥α 【答案】B
【解析】本题主要考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系 . 属于基础知识、基本运算的考查.
已知直线m 、n 和平面α、β，若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，应增加的条件n ⊥m ，才能使得n ⊥β。

6．(2012年某某市高中毕业班教学质检1)将长方体截去一个四棱锥后，得到的几何体的
长方体的侧面与底面垂直，所以俯视图是C
7．(2012某某市高三质检)已知体积为3的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为
A.31
B.32
C.1
D. 34
【答案】C
【解析】本题主要考查正棱柱的体积、空间几何体的三视图. 属于基础知识、基本运算的考查.
由俯视图的高等于侧视图的宽，正三棱柱的底面三角形高为3，故边长为2，设正三棱
柱的高为h ，则有正三棱柱的体积公式，1
3231
2h h =⨯⨯⨯⇒=
8．（2012某某十校高三模拟联考理）一空间几何体的三视图如图所
示 ，则该几何体的体积为
（ ）
A ．533π
B ．55
3π
C ．18π
D ．76
3π
【答案】 B
【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、圆柱、圆台的体积计算公式. 属于基础知识、
基本运算的考查.
【解析】本题主要考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的有关知识. 属于基础知识、基本运算的考查.
,,,,m n l m l n αα⊂⊂⊥⊥需要m n A =才有l α⊥，A 错误.
若,,,m n l n αα⊂⊥⊥l 与m 可能平行、相交、也可能异面，B 错误. 若,,l m l n ⊥⊥l 与m 可能平行、相交、也可能异面，D 错误.
10.(2012某某市普通高中高三联考理)设α、β、γ是三个互不重合的平面，m 、n 是两条不重合的直线，下列命题中正确的是 A. 若αβ⊥，βγ⊥，则αγ⊥ B. 若//m α，//n β，αβ⊥，则m n ⊥ C. 若αβ⊥，m α⊥，则//m β
D. 若//αβ，m β⊄，//m α，则//m β
【答案】D
【解析】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系. 属于基础知识的考查.
对于A, 若αβ⊥，βγ
⊥,
,αγ可以平行，也可以不垂直相交
对于B ，若//m α，//n β，αβ⊥，则,m n 可以平行 对于C, 若αβ⊥，m α⊥，则m 可以在平面β答案D 正确
由三视图知，几何体是一个底面是边长为1的等腰直角三角形，高为1的三棱柱。

1
2111111123+2
2S ⨯⨯⨯⨯⨯⨯三棱柱底面积侧面积＝2S +S ＝＋＋＋＝
12. （2012年某某市高三年级第一次质检理） —个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A.48
B.
C.
D. 80 【答案】C
【解析】本题主要空间几何体的三视图和棱柱的表面积计算公式 . 属于基础知识、基本运算
的考查.
由三视图可知几何体是一个平放的直棱柱，底面是上底为2，下底为4，高为4的直角梯形，棱柱的高为4，因此梯形的周长为217＋6
该几何体的表面积为
13．（2012•某某模拟质检理8）已如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M
为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是 A.D 1O ∥平面A 1BC 1 B. D 1O ⊥平面MAC
C.异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°
D.二面角M－AC－B等于90°
【答案】D
【解析】因为D1O∥平面A1BC1，D1O⊥平面MAC,异面直线BC1与AC所成的角等于60°二面角M－AC－B等于90°错误，选D;
16．（2012•某某质检理5）若,,
αβγ是三个互不重合的平面，l是一条直线，则下列命题中正确的是（）
A．若
,,//
l l
αββα
⊥⊥则B．若,//,
l l
αβαβ
⊥⊥
则
C．若
,
lαβ
与的所成角相等，则//
αβD．若l上有两个点到α的距离相等，则//
lα【答案】B
【解析】若
,//,
l l
αβαβ
⊥⊥
则，此推理符合平面与平面垂直的判
定；
17．（2012•某某质检理13）一个空间几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积
为。

13、【答案】4
【解析】几何体是平躺的三棱柱，4V Sh ==
18.（2012•某某第一次调研理12）如图BD 是边长为3的ABCD 为正方形的对角线，将
BCD ∆绕
直线AB 旋转一周后形成的几何体的体积等于 【答案】18π，
【解析】BCD ∆绕直线AB 旋转一周后形成的几何体是圆柱去掉一个圆锥，
221
3333183V πππ
=⨯⨯-⨯⨯=
19. (2012•某某中学模拟理7)在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是（ ）
A 3239R π
B 3
439R π C 3233R π D 3
4
9R π
【答案】A
【解析】解：设圆柱的高为h,则圆柱的底面半径为
22R h -，圆柱的体积为
V=
22
()R h h π-=32h R h ππ-+(0<h<R),2230V h R ππ'=-+=,3R
h =
时V 有最大值为
323
9V R π=。

20.（2012•某某嘉积中学模拟理6）正四棱锥S
ABCD 的侧棱长为2，底面边长为3，
E 为SA 中点，则异面直线BE 与SC 所成的角是（ ）
A 、30°
B 、45°
C 、60°
D 、90°
【答案】C
【解析】取AC 中点F,
26,,2,22EF BF AE AEF =
==∆中，由余弦定理得
1
cos ,602BEF BEF ∠=∠=.
21.（2012•某某嘉积中学模拟理16）一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的
体积为. 【答案】312
22. （2012•某某某某市一模理4）若某一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方
23. （2012•某某某某市一模理8）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，底
面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则
1BB 与平面11AB C 所成的角为（ ）
A. 6π
B. 4π
C. 3π
D. 2π
【答案】A
25.（2012•某某瑞安模拟质检理2）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ▲ ）
A ．533
B ．433
C ．53
6 D ．3
【答案】A
【解析】几何体可以拼接成高为2的正三棱柱，231532213433V =
⨯⨯-⨯⨯=
26.（2012•某某瑞安模拟质检理16）在正方体
!111D C B A ABCD -中,Q P N M 、、、分别是
1111CC D C AA AB 、、、的中点,给出以下四个结论:
①
1AC MN ⊥； ②1AC //平面MNPQ ； ③1AC 与PM 相交； ④1NC 与PM 异面
其中正确结论的序号是▲. 【答案】（1）（3）（4）
【解析】由图形可以观察出1AC 与平面MNPQ 相交于正方体中心
27.（2012·某某四校二次联考理7）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．23a π
B ．26a π
C ．212a π
D ．2
24a π 【答案】B
【解析】由题意，球的直径是长方体的对角线，所以
2
264,62a r S a r ππ=== 28.（2012·某某四校二次联考理13）四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰
好是A ，
其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形。

则在四棱 锥P ABCD -的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线 共有______对． 【答案】6
【解析】因为//,,//,//m m m αββαβ
⊄若则，此推理符合线面平行的判定定理。

30.（2012某某某某市模拟理）下列命题中，错误的是（ ）
俯视图
A
B
C
（A ）一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交 （B ）平行于同一平面的两个不同平面平行
（C ）若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 （D ）如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 【答案】C
【解析】C 错，直线l 不平行平面α，可能直线l 在平面α内，故在平面α内不存在与l 平行的直线。

31.（2012某某某某市模拟理）如图是一个组合几何体的三视图，则该几何体的体积是. 【答案】π12836+
【解析】由三视图还原可知该几何体是一个组合体，下面是一个圆柱，上面是一个三棱柱，故所求体积为
1
346168361282
V ππ=⨯⨯⨯+⨯=+。

32.（2012某某某某市模拟理）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：
33.（2012某某某某市模拟理）已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若
c a b a ⊥⊥,则b ∥c ；②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥.
其中正确的个数为
A ．0个
B ．1个
C ． 2个
D ． 3个
【答案】B
【解析】①不对，b ，c 可能异面；②不对，b ，c 可能平行；③对，选Ｂ。

34.（2012某某某某市模拟理）已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为. 【答案】14π
【解析】因长方体对角线长为214914r =++=，所以其外接球的表面积
2414S r ππ==．
35.（2012某某市模拟质检理）一个正方体的展开图如图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中
A.CD AB //
B. AB 与CD 相交
C.CD AB ⊥
D. AB 与CD 所成的角为
60
【答案】D
【解析】将平面展开图还原成几何体，易知AB 与CD 所成的角为
60，选D 。

36.（2012某某市模拟质检理）右图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积是.
【答案】π+16
【解析】由三视图可知原几何体是一个长方体中挖去半球体，故所求表面积为4814216S πππ=+⨯+-+=+。

37.（2012某某某某市调研理）已知、为不重合的两个平面，直线m
，那么“m ⊥”是“⊥”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】A
侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．②③
C ．③④
D ．①④
【答案】B
【解析】由三视图的成图原则可知，正视图、侧视图的宽度不一样，故俯视图②正方形；③圆，选B 。

1
2122
2V =⨯⨯⨯=,选B 。

40.（2012某某某某市质检理）在三棱锥A-BCD 中，AB=CD=6，AC=BD=AD=BC=5，则该三棱锥的外接球的表面积为 .
【答案】43π.
【解析】构造一个长方体，因为对棱垂直，故底面可看成一个正方形，不妨设长宽高为,,a a c ，
则a c ==
，三棱锥的外接球即为长方体的外接球，其直径为体对角线，
即
2r ==2443S r ππ==。

41.（2012海淀区模拟理）已知正三棱柱'''ABC A B C 的正（主）视图和侧（左）视图如
图所示. 设,'''ABC A B C ∆∆的中心分别是
,'O O ，现将此三棱柱绕直线'OO 旋转，射线
OA 旋转所成的角为x 弧度（x 可以取到任意
一个实数），对应的俯视图的面积为()S x ，则函数()S x 的最大值为；最小正周期为.
说明：“三棱柱绕直线'OO 旋转”包括逆时针方向和顺时针方向，逆时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为正角，顺时针方向旋转时，OA 旋转所成的角为负角.
【答案】8；3π
【解析】由三视图还原可知，原几何体是一个正三棱柱横放的状态，则俯视图对应的是一个矩形，由旋转的过程可知()S x 取得最大值时俯视图投影的长为4，宽为2的矩形，即
max
()8S x ，又每旋转3π个单位又回到初始状态，故周期为3π。

42.（2012
某某某某市调研理）三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视
侧（左）视图
正（主）视图
1
222(2222)21242
2s =⨯⨯⨯+++⨯=+，选A 。

43.（2012某某十校高三模拟联考理）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BD 1与平面A 1B 1CD 所成
角的正切值是。

44．（本小题满分12分）
∵SD ＝AD ，E 是SA 的中点，∴DE ⊥SA ， ∵AB ∩SA ＝A ，∴DE ⊥平面SAB ∴平面BED ⊥平面SAB ．
…6分
（Ⅱ）作AF ⊥BE ，垂足为F ．
由（Ⅰ），平面BED ⊥平面SAB ，则AF ⊥平面BED ，
则∠AEF 是直线SA 与平面BED 所成的角．
C
D
E
S
F
…8分
设AD＝2a，则AB＝a，SA＝2a，AE＝a，
△ABE是等腰直角三角形，则AF＝a．
在Rt△AFE中，sin∠AEF＝＝，
故直线SA与平面BED所成角的大小45︒．…12分
45.（2012年某某市高三年级第一次质检理）如图，在四棱锥
P-ABCD中，PA丄平面ABCD，底面ABCD是菱形AB = 2, =
60°.
(I )求证:BD丄平面PAC;
(II)若PA =Ab，求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】
46．（本题满分14分）
（2012某某十校高三模拟联考理）如图，三棱锥P
—ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB
上一点，且CD⊥平面PAB。

（1）求证：AB⊥平面PCB；
（2）求二面角C—PA—B的余弦值。

【答案】
【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法.
47．(本小题满分12分)
(2012年某某市高中毕业班教学质检1理)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面A 1B 1C 1，∠B 1A 1C 1=90°，D 、E 分别为CC 1和A 1B 1的中点，且A 1A=AC=2AB=2． (I)求证：C 1E ∥平面A 1BD ； (Ⅱ)求点C 1到平面A 1BD 的距离．
【解析】本题主要考查集合的基本运算. 属于基础知识、基本运算的考查. （Ⅰ）证明：取
1A B 中点F ，连结EF ，FD ．
∵
11,2EF
B B ,又11B B
C C ,1
11
2C D C C =,
∴EF 平行且等于11
,2C D
所以1C EFD 为平行四边形，……………4分
∴1//C E DF ，又DF ⊂平面1A DB , ∴
1//C E 平面1A DB .……………6分
（Ⅱ）15A B AD ==，6BD =,……………8分
所
以
11316521222A BD S ∆=
⋅-=,
11
111211323B A C D V -=⋅⋅⨯⨯=
1111B A C D C A BD
V V --=，………………10分
及1112132
3d ⋅⋅=
， 221
21d =
.
所以点1C 到平面1
A BD 的距离为221
21.………………12分
48.（2012某某师大附中高三开学考卷理）一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中N M 、分别是AC AB 、的中点，G 是DF 上的一动点. （1）求证：;AC GN ⊥
（2）当GD FG =时，在棱AD 上确定一点P ，使得GP //平面FMC ，并给出证明.
【解析】本题主要考查多面体的直观图和三视图、空间直线与直线、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维的考查.
证明：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF 中AD ⊥DF,DF =AD =DC (1)连接DB ，可知B 、N 、D 共线，且AC ⊥DN 又FD ⊥ADFD ⊥CD ，
∴FD ⊥面ABCD ∴FD ⊥AC
∴AC ⊥面FDN FDN GN 面⊂ ∴GN ⊥AC
（2）点P 在A 点处
证明：取DC 中点S ，连接AS 、GS 、GA
G 是DF 的中点，∴GS //FC ,AS //CM ∴面GSA //面FMC
GSA GA 面⊂
∴GA //面FMC 即GP //面FMC
49.(2012某某市普通高中高三联考理)如图，已知四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ，
45=∠ABC ，1DC =，2=AB ，⊥PA 平面ABCD ，1=PA ． （Ⅰ）求证：//AB 平面PCD ；
（Ⅱ）求证：⊥BC 平面PAC ； （Ⅲ）若M 是PC 的中点，求三棱锥M ACD -的体积．
【解析】本题主要考查棱锥的体积公式、直线与平面的位置关系. 属于基础知识、基本思维
的考查. 证明：（Ⅰ）由已知 底面ABCD 是直角梯形，//AB DC ， …………………… 1分
又AB ⊄平面PCD , CD ⊂平面PCD …………………… 3分
∴AB ∥平面PCD …………………… 4分
（Ⅱ）在直角梯形ABCD 中，过C 作CE AB ⊥于点E ， ………………… 5分
则222AC AD CD =+=，222AC BC AB +=
∴BC AC ⊥………………… 7分
又PA ⊥平面ABCD ，∴PA BC ⊥………………… 8分
111111()(11)3232212M ACD ACD V S PA -∆=⋅=⨯⨯⨯⨯=………………… 12分
50．（本小题满分12分）
(2012某某市高三模拟质检理)如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ，BD
⊥AC ，E 为PC 的中点。

（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；
（Ⅱ）求证：PA ∥平面BDE 。

【解析】本题主要考查空间直线和平面的位置关系、考查空间想象能力、逻辑思维能力、推理论证能力.考查化归和转化的数学思想方法.
51．（本小题共12分）
（2012武昌区高三年级元月调研理）如图，已知四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1
的侧棱A 1A 垂直于底面ABCD ．底面ABCD 是边长为2的正方形，四边
形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1=2．
（I ）求证：平面A 1ACC 1⊥上平面B 1BDD 1；
（II ）求侧棱DD 1与底面ABCD 所成的角；
（III ）求四棱台ABCD —A 1B 1C 1D 1的体积。

【解析】本题主要考查了棱台的概念、直线与平面、平面与平面的垂直证明、直线与平面所成角以及台体的体积公式. 属于中等题。

考查了基础知识、基本运算、识图能力. 解：（Ⅰ）∵1AA ⊥平面 ABCD ，∴BD AA ⊥1．
底面ABCD 是正方形，BD AC ⊥∴．
1AA 与AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线，
∴BD ⊥平面11ACC A
⊂BD 平面11B BDD ，
∴平面11A ACC ⊥平面11B BDD ．
（Ⅱ）过1D 作AD H D ⊥1于H ，则A A H D 11//．
∵1AA ⊥平面 ABCD ，
⊥∴H D 1平面ABCD ．
DH D 1∠∴为侧棱1DD 与底面ABCD 所成的角．
在DH D Rt 1∆中，2,1121==-=DD DH ，
21
cos 1=∠∴DH D ，
601=∠∴DH D ．
（Ⅲ） 在DH D Rt 1∆中，求得31=
H D ．
而H D A A 11=， 所以()
3373122111=++=S S S S AA V ． 52、（2012某某某某市模拟理科）如图，在梯形ABCD
中，//AB CD ，2===CB DC AD ， 30=∠CAB ，
四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，
3=CF ．
（Ⅰ）求证：BC ⊥平面ACFE ；
（Ⅱ）设点M 为EF 中点，求二面角C AM B --的
余弦值．
【解析】(1)证明：
60,2=∠===ABC CB DC AD
则4=AB ，122=AC ，则得222BC AC AB +=
AC BC ⊥∴， 面⊥ACEF 平面ABCD ，
面 ACEF 平面ABCD AC =
⊥∴BC 平面ACEF ．……7分
（II ）过C 作AM CH ⊥交AM 于点H ，连BH ,
则CHB ∠为二面角C AM B --的平面角，在BHC RT ∆中，
13,3==HB CH ，13133cos =
∠CHB ，则二面角C AM B --的余弦值为13
133．…………14分
则DE BE ⊥…………………………………………………………………………4分
（Ⅱ）作EH AB ⊥，因为面ABCD ⊥平面ABE ，所以EH ⊥面AC
因为AE BE ⊥，2AE EB BC ===，所以2EH =6分
1182222333E ABCD ABCD V EH S -=⋅=⨯=…………………………………8分
（Ⅲ）因为BE BC =，BF ⊥平面ACE 于点F
，所以F 是EC 的中点 设P 是BE 的中点，连接,MP FP …………………………………………………10分
所以MP ∥AE ,FP ∥DA
因为
AE DA A =，所以MF ∥面DAE ，则点N 就是点F …………………12分 54.（2012某某市模拟质检理）如图，在四棱锥ABCD P -中，侧棱⊥PA 底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，222===PA AB AD ，E 为PD 的上一点，且ED PE 2=.
（Ⅰ）若F 为PE 的中点，求证：//BF 平面AEC ；
（Ⅱ）求三棱锥AEC P -的体积.
P 为正三棱锥【解析】证明（1）E为BC的中点，又ABC
【解析】（1）证明：∵⊥PB 底面ABC ，且⊂AC 底面ABC ，∴AC PB ⊥…1分 由90BCA ∠=，可得CB AC ⊥…………………2分
又 PB CB B =，∴AC ⊥平面PBC …………………3分
注意到⊂BE 平面PBC ，∴AC BE ⊥………………4分
BC PB = ,E 为PC 中点，∴BE PC ⊥…………………………5分
PC AC C =，∴BE ⊥平面PAC …………………………6分
57.（2012某某某某市质检理）如图，在四棱锥S-ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ∥CD ，CD=3AB=3，平面SAD ⊥平面ABCD ，E 是线段AD 上一点，AE=ED=3，SE ⊥AD.
（Ⅰ）证明：平面SBE ⊥平面SEC; （Ⅱ）若SE=1，求三棱锥E-SBC 的高.
【解析】（Ⅰ）证明: 平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,
SE ⊂平面SAD ，SE AD ⊥，
SE ∴⊥平面ABCD . …………2分
BE ⊂平面,ABCD .SE BE ∴⊥
AB AD ⊥，//AB CD ，3CD AB ==3, AE =ED =3
30,60.AEB CED ∴∠=∠=
所以90BEC ∠=即.BE CE ⊥…………4分
结合SE CE E =得BE ⊥平面SEC ,
BE ⊂平面SBE ， ∴平面SBE ⊥平面SEC.…………6分
（Ⅱ）如图，作EF ⊥BC 于F ,连结SF .由BC ⊥SE ,SE 和EF 相交得，
BC ⊥平面SEF ,由BC 在平面SBC 内，得平面SEF ⊥平面SBC .
作EG ⊥SF 于G ,
则EG ⊥平面SBC .即线段EG 的长即为三棱锥E -SBC 的高.…………9分
由SE =1，BE =2，CE =23得BC =4，EF =3.
在Rt SEF ∆中，32ES EF EG SF ⋅==,
所以三棱锥E -SBC 的高为3
2.…………12分
58.（2012海淀区模拟理）在四棱锥P ABCD 中，底面
ABCD 是菱形，AC BD O .
（Ⅰ）若AC PD ⊥，求证：AC ⊥平面PBD ；
（Ⅱ）若平面PAC 平面ABCD ，求证：PB PD ；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点M （异于点C ）使得BM
∥平面PAD ，若存在，求PM
PC 的值；若不存在，说明理
由.
【解析】（Ⅰ）证明：因为 底面ABCD 是菱形
所以 AC BD ⊥. ………………………………………1分 因为 AC PD ⊥，PD BD D =，
所以 AC ⊥平面PBD . ………………………………………3分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知AC BD ⊥.
因为 平面PAC 平面ABCD ，平面PAC 平面ABCD AC ，
BD 平面ABCD ，
所以 BD ⊥平面PAC . ………………………………………5分
因为PO平面PAC，
所以BD PO
⊥. ………………………………………7分因为底面ABCD是菱形，
所以BO DO
=.
所以PB PD. ………………………………………8分
60.（2012某某某某市调研理）如图所示，圆柱的高为27,AE、DF是圆柱的两条母线，过AD作圆柱的截面交下底面于BC.
（1）求证：//
BC EF；
（2）若四边形ABCD是正方形，求证BC BE
⊥；
（3）在（2）的条件下，求四棱锥A BCE
-的体积.
【解析】（1）证明：在圆柱中：
上底面//下底面，
且上底面∩截面ABCD＝AD，下底面∩截面ABCD＝BC
∴BC//AD……………………………………………………………………….２分
又AE、DF是圆柱的两条母线，∴
// AE DF
∴ADFE是平行四边形，所以//
AD EF，又BC//AD
BC EF…………………………………………………………………….５分∴//
（2）AE是圆柱的母线，
⊥…………………………….７分∴AE⊥下底面，又BC⊂下底面，∴AE BC。