闵行区2012学年第二学期九年级综合练习

闵行区2012学年第二学期九年级综合练习
数 学 试 卷
（考试时间100分钟，满分150分）
考生注意：
1．本试卷含三个大题，共25题．
2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 题一律无效．
3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 明或计算的主要步骤．
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1
一定是同类二次根式的是 （A
（B
（C
（D
2．一次函数23y x =-+的图像不经过
（A ）第一象限； （B ）第二象限； （C ）第三象限； （D ）第四象限． 3．已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么下列等式成立的是 （A ）a b a b +=+； （B ）a b a b +=-；
（C ）11b b -=-； （D ）11a a -=-．
4．数据97，101，103，98，104，103的众数、中位数分别是
（A ）104、103； （B ）103、101； （C ）103、102；
（D ）103、103．
5．如果某人沿坡度为1∶3的斜坡向上行走a 米，那么他上升的高度为
（A ）
a 1010米； （B ）a 10米； （C ）3
a
米； （D ）3a 米．
6．矩形、菱形、正方形都具有的性质是
（A ）两条对角线相等；
（B ）两条对角线互相平分；
（C ）两条对角线互相垂直； （D ）两条对角线分别平分一组对角．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．计算：32a =（） ▲ .
8．在实数范围内分解因式：221x x --= ▲ . 9．不等式组220,20x x ->⎧⎨->⎩
的解集为 ▲ .
10．已知：反比例函数2
k y x
-=
，当0x <时，函数值y 随自变量x 值的增大而减小，那么k 的取值范围是 ▲ . 11．已知：一次函数y k x b =+的图像平行于直线1y x =-+，且经过点（0，-4），那么这个一次函数的解析式为 ▲ . 12．将二次函数22y x =+的图像沿y 向下平移3个单位，那么平移后所得图像的函数解析式为 ▲ ． 13．如果从小杰等5名学生中任选1名担任学校升旗仪式
的护旗手，那么小杰被选中的概率为 ▲ ．
14．某校九（1）班数学标准化试题测试成绩分布情况如图所示（试题共20题，每题5分，满分100分），如果成绩为60分及60分以上为及格，那么该班学生的及格率为 ▲ ．
D ．设AB a = ，BC b =
，那
15．如图，在△ABC 中，AB = AC ，AD ⊥BC ，垂足为点
么AD = ▲ （结果用a 、b
的式子表示）.
（第14题图）
（分）
O a b 1 -1 (第3题图)
16．已知：点G 为Rt △ABC 的重心，D 为斜边AB
的中点，如果AC =
BC =GD 的长等于 ▲ ． 17．已知：两圆的半径长分别为6和2，圆心距为1，那么这两圆的位置关系是 ▲ ．
18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，BC = 1，tan B = 2，将△ABC 绕点B 顺时针旋转90°后得△BDE ，其中点A 、C 分
别运动到点D 、E ，联结AE ，AE 、CB 的延长线相交于点F ，那么线段AF 的长等于 ▲ ．
三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．（本题满分10分）
计算：1
2
1323-
⎛⎫
-
++
⎪
⎝⎭
（
20．（本题满分10分）
解方程：
2132021
x x
x x --+=-．
21．（本题共2小题，满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）
已知：如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，E 、F 分别是BD 、AC 的中点，且AB = AD ，
AC = 10，4
sin 5
C =
． 求：（1）线段EF 的长；
（2）∠B 的余弦值．
22．（本题共2小题，满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）
为了预防流感，某学校在用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （毫克）
与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系为t a
y =（a 为常数，k ≠ 0）．如图所示，据图中提供的信息，
解答下列问题：
（1）分别求出从药物释放开始，y 与t 之间的两个函数关系式；
（2）据测定，当空气中每立方米和含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多
少小时后，学生才能进入教室？
23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）
已知：如图，△ABC 是等边三角形，点D 在边BC 上，且△ADE 是等边三角形．过点E 作EF // BC ，EF 分别与线段AB 、AC 、AD 相交于点F 、G 、H ，联结
CE ．
（1）求证：四边形BCEF 是平行四边形；
A
B C
E F (第21题图) D
D
E
（第23题图）
A B D
（第15题图） C
A
C
（第18题图）
（2）如果AD ⊥BC ，求证：BC = 2FG ． 24．（本题共2小题，满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）
已知：在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x b x c =++经过A （1，1）、B （0，4）两点，M 为抛物线的顶点． （1）求这条抛物线的表达式及顶点M 的坐标； （2）设由（1）求得的抛物线的对称轴为直线l ，点A 关于直线l 的对称点为点C ，AC 与直线l 相交于点D ，联结OD 、OC ．请直接写出C 与D 两点的坐标，并求
∠COM +∠DOM 的度数．
25．（本题共3小题，满分14分，其中第（1）小题4
分，第（2）、（3）小题每小题5分，）
C 是
AB 上任意一点，OC 与弦AB 已知：如图，A 、B 是⊙O 上两点，OA = 5，AB = 8，相交于点D ，过点C 作CE ⊥OB ，交射线BO 于点E ，CE 的延长线交⊙O 于点F ，联结BC 、BF 、OF ．
（1）如图1，当点E 是线段BO 的中点时，求弦BF
的长；
（2）当点E 在线段BO 上时，设AD = x ，BOD BOC S
y S ∆∆=，
求y 关于x 的函数解析式，并写出这
个函数的定义域；
（3）当CD = 1时，求四边形OCBF 的面积．
闵行区2012学年第二学期九年级综合练习数学试卷
参考答案以及评分标准
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．B ；2．C ；3．D ；4．C ；5．A ；6．B ．
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7．6a ；8
．(11x x --；9．12x <<；10．2k >；11．4y x =--；12．21y x =-；
13．15
；14．93.75%；15．12a b + ；16．13
6；17．内含；18
．
A
B
O C
E
D F
（第25题图）
x
y
O （第24题图）
A B C
O
D E F （图1） A
B
O
（备用图）
三、解答题：（本大题共7题，满分78分）
19．解：原式1(22(2=- ………………………………………（8分）
3=．……………………………………………………………………（2分）
20．解法一：设21
x y x
-=．…………………………………………………………（1分）
则方程化为 3
20y y
-+=．…………………………………………（2分）
即得 2230y y +-=．
解得 11y =，23y =-．………………………………………………（2分）
由 1y =，得 21
1x x -=．解得 11x =．…………………………（2分）
由 3y =-，得 213x x -=-．解得 21
5x =．……………………（2分）
经检验：11x =，21
5
x =是原方程的根．………………………………（1分）
所以，原方程的根是11x =，21
5
x =．
解法二：方程两边同时乘以(21)x x -，
得 22(21)32(21)0x x x x --+-=．………………………………（2分）
整理后，得 25610
x x -+=．………………………………………（3分） 解得 11x =，21
5x =．…………………………………………………（4分）
经检验：11x =，21
5
x =是原方程的根．………………………………（1分）
所以，原方程的根是11x =，21
5
x =．
21．解：（1）联结AE ．
∵ AB = AD ，E 为BD 的中点，∴ AE ⊥BD ．……………………（2分） 即得 ∠AEC = 90°．
又∵ F 是AC 的中点，AC = 10，∴ 1
52
E F A C ==．……………（2分）
（2）在Rt △AEC 中，4
sin 5
AE C AC ==．
∴ 44
108AE AC ==⨯=．…………………………………………（1分）
∴ 26C E ==．………………………………（1分）
∵ D 是边BC 的中点，∴ B D C D =．……………………………（1分）
又∵ E 为BD 的中点，∴ 1
2
B E E D B D
==．……………………（1分） 于是，由 26CE CD ED BE BE =+=+=，得 BE =2．……………（1分）
∴ AB =
在Rt △AEC 中，cos
BE B AB ==．………………………（1分）
22．解：（1）根据题意，函数a
y t
=
的图像经过点A （3，0.5）． ∴ 0.53a =．解得 3
1.52a ==．
∴ 3
2y t
=．……………………………………………………………（2分）
当 y = 1时，得 3
12t =．
解得 3
2
t =．即得 B （32，1）．……………………………………（2分）
设函数y k t =（0k ≠）．
由函数y k t =的图像经过点B ，得 3
12
k =． 解得 23k =
．∴ 2
3
y t =．…………………………………………（2分） （2）根据题意，当 0.25y =时，由 32y t =，得 3
0.252t
=．………（2分）
解得 t =6．……………………………………………………………（1分） 答：从药物释放开始，至少经过6小时后，学生才能进入教室．…（1分）
23．证明：（1）∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB = AC ，∠BAC =∠B = 60°．…………………………………（1分） 同理可知，AD = AE ，∠DAE = 60°． 即得 ∠BAC =∠DAE ．
∴ ∠BAC -∠DAC =∠DAE -∠DAC ．
即得 ∠BAD =∠CAE ．……………………………………………（1分） ∴ 在△BAD 和△CAE 中， ,,,AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
∴ △BAD ≌△CAE （S ．A ．S ）．…………………………………（2分） ∴ ∠B =∠ACE = 60°． ∴ ∠ACE =∠BAC ．
∴ BF // CE ．………………………………………………………（1分） 又∵ EF // BC ，
∴ 四边形BCEF 是平行四边形．…………………………………（1分） （2）∵ AD ⊥BC ，∴ ∠ADC = 90°．
又∵ EF // BC ，∴ ∠AHE =∠ADC = 90°．……………………（2分） 即得 EH ⊥AD ．
又由 △ADE 是等边三角形，得 EA = ED ．
∴ AH = DH ．………………………………………………………（2分）
∵ EF // BC ，∴ 1AF AH
FB DH
==．
∴ AF = BF ．………………………………………………………（1分） 同理可得 AG = CG ．
∴ BC = 2FG ．………………………………………………………（1分）
24．解：（1）由抛物线2y x b x c =++经过A （1，1）、B （0，4）两点，
得 11,
4.b c c ++=⎧⎨=⎩
………………………………………………………（2分）
解得 4,
4.
b c =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………（1分）
∴ 所求抛物线的表达式为244y x x =-+． ………………………（1分） 由 244y x x =-+，得 2(2)y x =-． 即得该抛物线的顶点M 的坐标为（2，0）．…………………………（1分） （2）由（1）得抛物线的对称轴是直线2x =．
根据题意，C 与D 两点的坐标分别是C （3，1）、D （2，1）．……（2分） 设点D 关于x 轴的对称点为点E ，联结OE ，CE ． 则点E 的坐标为E （2，-1），且∠DOM =∠EOM ．…………………（1分） 利用两点间距离公式，得
OC
OE =
CE 2分） ∴ OE = CE ，210OC =，225510OE CE +=+=． 即得 222OE CE OC +=．
∴ 90OEC ∠=︒． ……………………………………………………（1分） 于是，由 OE = CE ，得 ∠COE = 45°． 即得 ∠COM +∠DOM =∠COE = 45°．……………………………（1分）
25．解：（1）∵ 点C 、B 、F 在⊙O 上，∴ OC = OB = OF = 5． ……………（1分）
∵ CE ⊥OB ，点E 是线段BO 的中点， ∴ OC = BC ，OF = BF ． 即得 OC = BC = BF = OF ．
∴ 四边形OCBF 是菱形，且△OBC 是等边三角形．………………（2分） ∴ BF = 2CE ，∠COB = 60°．
∴
sin 5sin 60CE OC COB =⋅∠=⋅︒=．
∴
BF =1分） （2）过点O 作OH ⊥AB ，垂足为点H ．
∵ OA = OB ，OH ⊥AB ，∴ 11
8422
AH AB ==⨯=．……………（1分）
在Rt △OAH 中，利用勾股定理，得
3OH =．……………………………………（1分） 由 AD = x ，得 BD = 8 -x ，4DH x =-．
在Rt △ODH 中，利用勾股定理，得
OD ．…………………………………（1分）
于是，由 △BOD 与△BOC 同高，
得
B O D B O
C S OD
S OC ∆∆=． 即得
y =．……………………………………………（1分）
函数定义域为7
84
x ≤<．………………………………………………（1分）
（3）由 CD = 1，得 OD = 4．
∴
2
D H ． ∴
4BD =
41分）
由 OC = OF ，BC = BF ，OB = OB ， 得 △OBC ≌△OBF （S ．S ．S ）． ∴ O B C O B S S ∆∆=． 即得 2OBC OCBF S S ∆=四边形．……………………………………………（1分）
当
4BD =
得
113
3(4)(7)222
O B D
S B D O H ∆=⋅=⨯=． 由 CD = 1，OD = 4，得
515
(4)48
OBC OBD S S ∆∆==+．
∴
15
2(44
OBC OCBF S S ∆==四边形．
当
4BD =
同理可得
15
2(44
OBC OCBF S S ∆==四边形．………………………（3分）
∴ 四边形OCBF
的面积等于15(44
或15
(44。