信号与系统第3章总结

第3章 连续信号的正交分解
1 基本要求
（1）了解函数正交的条件及完备正交函数集的概念
（2）能用傅立叶级数的定义、性质以及周期信号的傅立叶变换，求解周期信号的频谱、频谱宽度，画频谱图；深刻理解周期信号频谱的特点
（3）能利用傅立叶变换的定义、性质，求解非周期信号的频谱，画频谱图，求信号的频谱宽度；会对信号进行正反傅立叶变换。

（4）深刻理解功率信号与功率谱、能量信号与能量谱的概念，会在时域与频域两个域中求解功率信号的功率与能量信号的能量
2 理论提要
一 任意信号表示为完备的正交函数集
（1）两矢量21,A A 正交的条件是021=⋅A A ，或标量系数0222112=∙=
⋅A A A C （2）两个实函数)(),(21t f t f 在区间),(21t t 内正交的条件是⎰=21
0)()(21t t dt t f t f ，或相关系数
（3）正交函数集：设有n 个实函数),(),(),(21t g t g t g n 构成一个实函数集，且这些函数在区间),(21t t 内满足关系式
⎰⎩⎨⎧=≠=2
1)()(0)()(t t i i j i K j i j i K t g t g 为一正数
则此实函数集称为正交函数集 (4)两个复数函数)(),(21t f t f 在区间),(21t t 内正交的条件是⎰⎰=∙=∙**2
1210)()()()(2121t t t t dt t f t f dt t f t f ；若在区间),(21t t 内，复数函数集
{}),,2,1()(),(),(),(21n r t g t g t g t g n r =满足关系式
⎩⎨⎧=≠=⎰*
)()(0)()(2
1j i K j i dt t g t g i t t j i 则此复数函数集称为正交函数集 （5）任意信号)(t f 可表示为完备的正交函数集，即
)()()()()(2211t g C t g C t g C t g C t f n n r r +++++=
应用最广的完备正交函数集是三角函数集，其它还有复指数函数集等。

0)()()(2121222112==⎰⎰t t t t dt t f dt t f t f c
二 周期信号的频域分析
1 周期为T 的周期信号)(t f 展开为傅立叶级数
（1）三角形式
（2）指数形式
2 傅立叶级数的主要性质
3 傅立叶系数与周期信号波形对称性的关系
纵轴对称，原点对称，半周期重叠，半周期镜像对称
4 周期信号频谱的特点：离散性，谐波性，收敛性
三 非周期信号的频域分析
1 傅立叶变换
任意非周期信号)(t f ，若满足狄氏条件且在无穷区间绝对可积，则可求得其频谱函数为
（傅立叶正变换）
因()ωj F 一般是复数函数，故表示为
()t n b t n a a t f n n n 1110sin cos 2)(ωω++=∑∞=⎰+=T t t dt t f T
a 11)(20⎰⎰++==T t t n T t t n tdt n t f T
b tdt n t f T a 111111sin )(2cos )(2ωω直流分量→20a 称为基波分量，次谐波分量
称为，t b t a n t n b t n a n n n 11111sin cos 1n sin cos 11ωωωω+=+>()
n n t n j n t jn j n t jn n e e e e t f ϕωωϕω-∞-∞=-∞-∞=∞-∞=∑∑∑===111n n n A 21A 21C )([]()()dt e t f T e A C t n j T t t j n n n 111n n n n n n )(1jb -a 21sin jA -cos A 2121ωϕϕϕ-+-⎰====[]⎰=∞∞--=dt t j e t f ωω)(f(t))F(j F
)()()(ωϕωωj e j F j F =
）
（与ωϕω)(j F 分别称为信号)(t f 的振幅谱与相位谱。

若已知()ωj F ，则可求得时域函数为
⎰∞
∞-=dt e j F t f t j ωωπ)(21)( （傅立叶反变换）
2 傅立叶变换的性质
傅立叶变换的性质揭示了信号)(t f 的时域特性与频域特性之间的关系。

3 常用非周期信号)(t f 的傅立叶变换
4 周期信号的傅立叶变换
四 功率信号与功率谱，能量信号与能量谱
（1）功率信号：信号在时间区间∞∞-∞内的能量为),(，但在一个周期)2
,2T T （－内的平均功率为有限值，这样的信号称为功率信号。

周期信号即为功率信号。

（2）功率信号平均功率P 的计算公式 时域公式：⎰-=22
2)(1T
T dt t f T P 频域公式：212020222∑∑∞=∞-∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n A A A P 即平均功率P 是等于频域中直流分量与各次谐波分量平均功率之和
（3）功率谱：将各次谐波的平均功率随),2,1,0( ±±=Ω=n n ω的分布关系画成图形，即得周期信号的双边功率频谱，简称功率谱。

也可将各次谐波的平均功率202⎪⎭⎫ ⎝⎛A ，202⎪⎭
⎫ ⎝⎛A 随),2,1,0( ±±=Ω=n n ω的分布关系画成图形，从而构成单边功率谱。

（4）能量信号：信号在时间区间()∞∞-,内的能量为有限值，而在时间区间()∞∞-,内的平均功率0=P ，这样的信号称为能量信号。

非周期信号即为能量信号。

（5）能量信号能量W 的计算公式
时域公式：⎰∞
∞-=dt t f W )(2
频域公式：()()ωωπ
ωωπd j F d j F W 202121⎰⎰∞∞∞-== （6）能量谱： 令2)(1)(ωπωj F G =，则()ωωd G W ⎰∞=0
()w G 称为能量信号的能量频谱，简称能量谱。

它描述了角频率ω处单位频带内信号的能量随ω分布的规律。

（7）一个信号，只能是功率信号与能量信号两者之一，不会二者都是。