控制工程_2拉氏变换

拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
典型时间函数
1. 单位阶跃函数 u(t)=1
2. 单位脉冲函数δ(t) 3. 单位斜坡函数f(t)=t
(t ≥0)
(t≥0)
4. 单位抛物线函数f(t)= 1 t2 (t≥0) 2 5. 指数函数eat
6. 正弦函数sinωt
7. 余弦函数cos ωt
8. 幂函数 tn
t0 t0
根据拉普拉斯变换的定义，其拉普拉斯变换为：
1 2 1 2 st 1 F s L[ t ] t e dt 3 2 2 s 0

拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
•
指数函数e-at
e
at
1 sa
0 f ( t ) at e

t0 t0
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
1 • 单位阶跃函数 u( t ) 1 s
1 u( t ) 0
t0 t0
u(t) 1 t
根据拉普拉斯变换的定义，其拉普拉斯变换为：
1 st e F s Lu( t ) u( t )e dt e dt s 0 0
拉氏变换及其性质的应用
例1：求函数f(t)=(t-t2-3)e-2t+2e-3t+4的拉氏变换
F ( s) ( 1 2 3 1 1 ) 2 4 ( s 2) 2 ( s 2)3 s 2 s3 s
例2：求图示方波的拉氏变换
1/T f(t) f(t)= T t
1 T
2
K1 K 2 K 3 14 5 K1 4 K 2 3K 3 55 6 K 3K 2 K 51 2 3 1
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
复数
复数及其表示方法
对复数s=a+jb，点表示法 向量表示法 代数式表示法 三角函数式表示法 指数式表示法 极坐标表示法
复变函数及其零极点
以复数s为自变量的函数G(s)=u+jv即为复变函数 零点——使G(s)＝0的点,即使G(s)分子为0的s值 极点——使G(s)＝∞的点,即使G(s)分母为0的s值
其余系数同无重极点时一样。
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
举例：
1) F(s)=
14 s 2 55 s 51 14 s 2 55 s 51 1 5 3 6 [ ] 2s 3 12 s 2 22 s 12 2( s 1)( s 2)( s 3) 2 s 1 s 2 s 3
待定系数法求Ki 1 [ K1 K 2 K3 ] 2 s 1 s 2 s 3 则可求出原函数为： f(t)=
1 ( K1 K 2 K 3 ) s 2 (5K1 4 K 2 3K 3 ) s 6 K1 3K 2 2 K 3 1 2 t s [5e 3e 2t 6e 3t(] 1)( s 2)( s 3)
0

( t )e st dt ( t )e st dt
0 0
0

t
( t )e s0 dt 1
0
0
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
• 单位斜坡函数f(t)=t
1 t 2 s
根据拉普拉斯变换的定义， 其拉普拉斯变换为：
0 f (t ) t
拉普拉斯变换及其反变换的定义 拉 普 拉 拉氏变换 拉氏反变换 斯 定义 定义 变 1 j 1 st L[ f (t )] F (s) f (t ) e dt f (t ) L [ F (s)] j F (s) e st ds 0 换 2j 及 f(t)——原函数 F(s)——象函数 其 反 f (t ) F (s) 变 换
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
概述
系统分析的过程或方法： 系统微分方程
拉氏变换 系统传递函数 拉氏反变换 系统输出时域表达式
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
主要内容: 复数及复数表示方法，复变函数及其零极点的概念 拉氏变换定义 常用函数拉氏变换 拉氏变换性质 拉氏反变换
基本要求: 了解复变量的表示方法，复变函数及其零极点的概念 了解拉氏变换定义，并用定义求常用函数的拉氏变换 了解拉氏变换性质及其应用 会用部分分式法，求拉氏反变换。
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
查表法应用
例1：F(s)= 例2： F(s)= 例3： F(s)=
1 s2 4
es s 1
f(t)= sin2t
1 2
f(t)= e t-1
1 f(t)= 3
s 1 s2 9
sin3t+cos3t
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
•
f (0) lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
12. 终值定理 若L[f(t)]= F(s)，且 lim f (t ) 存在，则 t
f () lim f (t ) lim sF ( s )
t s 0
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
f(t)
t0 t0
F s Lt te st dt
0

t st e s
t

0
1 st e dt s0

1 2 s
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
1 2 • 单位抛物线函数f(t)= 2 t
1 2 1 t 3 2 s
0 f (t ) 1 2 2 t
(t≥0)

2. 单位脉冲函数δ(t)

1 1 s2 1 s3
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
典型时间函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 u(t)=1
(t ≥0)
1 s
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
拉氏变换的性质
1.
2. 3. 4. 5.
线性性质（叠加性质和比例性质）
Lf (t ) LK1f1 (t ) LK 2 f 2 (t ) K1F1 (s) K 2 F2 (s)
B( pi ) 1 ' A ( pi ) s pi
，
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
2. F(s)有重极点 设s=p1为r重根，其余极点均不相同，则F(s)可表示为 K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) F(s)= ( s p ) r ( s p ) ( s p )
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
6. 7. 8. 9.
时域积分定理
L

复数域微分定理
L[ tf ( t )]
1 L[ f ( t )] t
t 0
F ( s) f (t )dt f (t )dt s s

t 0
复数域积分定理 时域卷积定理
dF(s) ds
F(s)ds


s cos t 2 s 2


1 1 1 ( s jt ) 1 ( s jt ) e dt e dt s j s j 2j 0 2j 0 2 s 2
s 同理也可得： Lcos t 2 s 2()d L[f (t ) g(t )] F(s)G(s)
10. 复数域卷积定理
1 c j L[f1 ( t )f 2 ( t )] c j F1 (s )F2 ()d 2j
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
11. 初值定理 若L[f(t)]= F(s)，且 lim sF ( s) 存在，则 s
st st

0
1 s
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
• 单位脉冲函数δ(t)
t0 0 ( t ) t0 ( t )dt 1
δ(t)
(t ) 1
根据拉普拉斯变换的定义， 其拉普拉斯变换为：
F s L ( t ) ( t )e st dt
sin t
sint 2 s 2
1 jt e e jt 由欧拉公式： 2j 1 jt cos t e e jt 2 1 Lsin t sin t e st dt e jt e jt e st dt 2j 0 0

u n e u du
0
Γ(n 1)
n! s n 1

8. 幂函数 tn

7. 余弦函数cos ωt

6. 正弦函数sinωt
s2+ω2 s s2+ω2 n! sn+1

4. 单位抛物线函数f(t)= 1 t2 (t≥0) 2 1 at 5. 指数函数e s-a


3. 单位斜坡函数f(t)=t
时移性质（延时定理或实数域位移定理） L[f(t-)]=e-s F(s) （ 0） 频移性质（复数域位移定理） L[e at f (t )] F ( s a) 相似性质（尺度变换性质）
L[ f (at)] 1 s F a a a0
时域微分定理
d L f (t ) sF ( s) f (0) dt
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
• 幂函数 t
n
n! t n1 s
n

L[t n ] t n e st dt
0
u 1 令u st t , dt du s s u n u 1 L[t n ] n e du s 0 s 1 s n 1 1 s n 1
根据拉普拉斯变换的定义，其拉普拉斯变换为：
F s L[e at ] e at e st dt
e
0

0
( a s )t
1 ( s a )t dt e sa

0
1 sa
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
• 正弦函数sinωt • 余弦函数cos ωt
1 2 n r 1
=
Kn K11 K12 K K r 1 1r ( s p1 ) r ( s p1 ) r 1 s p1 s pr 1 s pn
1 d r 1 [ F ( s)( s p1 ) r ] s p1 其中Kir= (r 1)! r 1 ds
部分分式法应用
一般F(s)为复数s的有理代数式，可表示为
F(s)=
B(s) A( s )
=
bm s m bm 1s m 1 b0 an s n an 1s n 1 a0
=
K ( s z1 )( s z2 ) ( s zm ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
1. F(s)无重极点，即pi≠pj(i ≠j)
F(s)=
B(s) A( s )
=
K K1 K - s 2p - - s np s p1 2 n
其中Ki=
B(s) (s-pi) A( s )
s pi
B( pi ) ＝ A' ( p ) i
n
得到各系数后，F(s)= i 1 再用查表法即可求得。
-
1 ×u(t-T) T
1 1 -sT F(s)=L[f(t)]= Ts - Ts e 1 = Ts (1-e-sT)
拉 普 拉 斯 变 换 及 其 反 变 换
拉氏反变换的数学方法
已知象函数F(s)，求原函数f(t)的方法有： 1. 查表法——对比较简单的象函数可利用拉普拉斯变 换表直接查得或利用拉氏变换的性质推得其原函数； （简单举例） 2. 有理函数法——用复变函数中的留数定理，根据拉 氏反变换公式求解；（不介绍） 3. 部分分式法——将复杂的象函数通过代数运算化为 多个简单的部分分式之和，再分别求出每个分式的 原函数，总的原函数即为所求。（重点介绍）