高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题及解析

高考数学一轮复习数学导数及其应用多选题试题及解析
一、导数及其应用多选题
1．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ）
A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥
B ．若23a b e a e b +=+，则a b >
C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立
D ．
2ln a a b b
e e
-<恒成立 【答案】AD 【分析】
对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩
22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等
式等价变型()ln ln ln
1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过1
0,ln 1∀>>-x x x
恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当1
1a b e =⎧⎪
⎨=⎪⎩
时取等号，故D 错误.
【详解】
A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b
由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b
设()2x
f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确
C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b
a a
b a b b a
又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b
b a
，C 正确
D. max 1
=
⇒=x x y y e e
当且仅当1x =；
min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1
=x e
；
所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当1
1a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩
时取等号，D 错误.
故选：AD 【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.
2．已知(0,1)x ∈，则下列正确的是（ ） A ．cos 2
x x π
+<
B ．22x
x <
C
．sin 2
x >
D ．1
ln 1x x <- 【答案】ABC 【分析】
构造函数()sin f x x x =-证明其在0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
单调递减，即可得sin 22
x x ππ
⎛⎫-<-
⎪⎝⎭即可判断选项A ；作出2y
x 和2x y =的函数图象可判断选项B ；作出()sin
2
x
f x =，(
)h x =
的图象可判断选项C ；构造函数()1ln 1x g x x =+-利用导数判断其在
()0,1x ∈上的单调性即可判断选项D ，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A ：因为()0,1x ∈，所以02
2
x π
π
<
-<
，令()sin f x x x =-，
()cos 10f x x '=-≤，()sin f x x x =-在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，所以()()00f x f <=，
即sin x x <，所以sin 22
x x ππ
⎛⎫-<- ⎪⎝⎭即cos 2x x π<-，可得cos 2x x π+<，故A 正
确， 对于选项B ：
由图象可得()0,1x ∈，22x x <恒成立，故选项B 正确；
对于选项C ：要证2
2
sin 2
4
x
x x >
+ 令()sin 2x f x =，()2
2
4
x
h x x =+()()f x f x -=-，()sin
2
x
f x =是奇函数， ()()h x h x -=，()2
2
4
x h x x =
+是偶函数， 令222
4
144
x t x x ==-++ ，则y t = 因为24y x =+在()0,∞+单调递增，所以24
14
t x =-+在()0,∞+单调递增，而y t =调递增，由符合函数的单调性可知()2
2
4
x h x x =+在()0,∞+单调递增， 其函数图象如图所示：
由图知当()0,1x ∈时2
2
sin 2
4
x
x x >
+C 正确； 对于选项D ：令()1ln 1x g x x =+-，()01x <<，()22111
0x g x x x x
-'=-=<， 所以()1
ln 1x g x x
=+-在()0,1单调递减，所以()()1ln1110g x g >=+-=， 即1ln 10x x
+
->，可得1
ln 1x x >-，故选项D 不正确.
故选：ABC 【点睛】
思路点睛：证明不等式恒成立（或能成立）
一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.
3．下列不等式正确的有（ ） A 32ln 3< B ．ln e
ππ<
C ．15
2
15< D ．3ln 242e <
【答案】CD 【分析】 构造函数()ln x
f x x
=
，利用导数分析其单调性，然后由()(23f f >、
f
f e π>、15)(4)f f >、8)()f f e <得出每个选项的正误.
【详解】 令()ln x f x x =
，则()21ln x
f x x
-'=，令()0f x '=得x e = 易得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减
所以①(
)2f f
>
，即ln 22>
22ln ln 3>=，故A 错误；
②
f
f >
>
，所以可得ln π>
B 错误；
③(4)f f >
ln 4ln 2
42>=
，即ln152ln 2=>
所以ln15ln >
15<，故C 正确；
④()f f e <
ln e e <
3
ln 21e
<
，即3ln 22e <
所以3eln 2<，故D 正确； 故选：CD 【点睛】
关键点点睛：本题考查的是构造函数，利用导数判断函数的单调性，解题的关键是函数的构造和自变量的选择.
4．对于函数2ln ()x
f x x
=，下列说法正确的有（ ） A ．()f x
在x =12e
B ．()f x 有两个不同的零点 C
．(2)f f f <<
D ．若21
()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，则2
e k <
【答案】ACD 【分析】
利用导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的极值可判断A ；利用函数的单调性和函数值的范围判断B ；利用函数的单调性比较出函数值的大小关系判断C ；利用不等式有解问题的应用判断D ． 【详解】
函数2ln ()x f x x =，所以2
431ln 212ln ()(0)x x x
x x f x x x x
⨯-⨯-'==>， 令()0f x '=，即2ln 1x =
，解得x =
当0x <<()0f x '>，故()f x
在上为单调递增函数．
当x >
()0f x '<，故()f x
在)+∞上为单调递减函数．
所以()f x
在x =
1
2f e
=
，故A 正确；
当0x <<
()0f x '>，()f x 在上为单调递增函数，
因为()10f =，所以函数()f x 在上有唯一零点，
当x ≥
2ln ()0x
f x x
=
>恒成立，即函数()f x 在)
+∞上没有零点， 综上，()f x 有唯一零点，故B 错误．
由于当x >
()0f x '<，()f x 在)+∞上为单调递减函数，
因为2>>>(2)f f f <<，故C 正确；
由于2
1()f x k x
>-
在(0,)+∞上有解，故221ln 1()x k f x x x +<+=有解， 所以2ln 1()max x k x +<，设2
ln 1()x g x x +=，则32ln 1
()x g x x --'=，
令()0g x '=，解得x
=
当x
>
()0f x '<，故()f x 在)+∞上为单调递减函数． 当0x
<<
时，()0f x '>，故()f x 在
上为单调递增函数． 所以()
22
max e e
g x g e ==-
=． 故2
e
k <
，故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
方法点睛：本题通过对多个命题真假的判断，综合考查导数的应用，这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.
5．已知函数()1
ln f x x x x
=-+
，()()1ln x x x x g --=，则下列结论正确的是（ ） A ．()g x 存在唯一极值点0x ，且()01,2x ∈ B ．()f x 恰有3个零点
C ．当1k <时，函数()g x 与()h x kx =的图象有两个交点
D ．若120x x >且()()120f x f x +=，则121=x x 【答案】ACD 【分析】
根据导数求得函数()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A 正确；利用导数求得函数 ()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递减，进而得到函数 ()f x 只有2个零点，可判定B 不正确；由()g x kx =，转化为函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象的交点个数，可判定C 正确；由()()120f x f x +=，化简得到 ()12
1
()f x f x =，结合单调性，可判定D 正确. 【详解】
由函数()()1ln x x x x g --=，可得 ()1ln ,0g x x x x '=-+>，则()211
0g x x x
''=--<，
所以()g x '在(0,)+∞上为单调递减函数，又由 ()()1
10,12ln 202
g g '=>=-+<， 所以函数()g x 在区间(1,2)内只有一个极值点，所以A 正确； 由函数()1ln f x x x x
=-+
， 当0x >时，()1ln f x x x x
=-+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=， 因为2
2131()024
x x x -+-=---<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；
又由()10f =，所以函数在(0,)+∞上只有一个零点， 当0x <时，()1ln()f x x x x =--+，可得 ()22
1
x x f x x -+-'=，
因为2
2
13
1()02
4
x x x -+-=---
<，所以 ()0f x '<，函数()f x 在(,0)-∞单调递减； 又由()10f -=，所以函数在(,0)-∞上只有一个零点， 综上可得函数()1
ln f x x x x
=-+
在定义域内只有2个零点，所以B 不正确； 令()g x kx =，即()1ln x x x kx --=，即 ()1ln (1)x x k x -=-， 设()()1ln x x x ϕ-=， ()(1)m x k x =-， 可得()1ln 1x x x ϕ'=+-
，则 ()211
0x x x
ϕ''=+>，所以函数()x ϕ'(0,)+∞单调递增， 又由()01ϕ'=，可得当(0,1)x ∈时， ()0x ϕ'<，函数()x ϕ单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'>，函数 ()x ϕ单调递增， 当1x =时，函数()x ϕ取得最小值，最小值为()10ϕ=， 又由()(1)m x k x =-，因为1k <，则 10k ->，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数()()1ln x x x ϕ-=和 ()(1)m x k x =-的图象有两个交点，所以C 正确；
由120x x >，若120,0x x >>时，因为 ()()120f x f x +=，
可得()()1222222221111
1ln ln
1f x f x x x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-=--+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即
()121
(
)f x f x =，因为()f x 在(0,)+∞单调递减，所以 12
1x x =，即121=x x ， 同理可知，若120,0x x <<时，可得121=x x ，所以D 正确. 故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从()f x 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
6．设函数3()(,)f x x ax b a b R =++∈，下列条件中，使得()y f x =有且仅有一个零点的是（ ） A ．1,2a b == B ．3,3a b =-=- C ．0,2a b >< D ．0,0a b <>
【答案】ABC 【分析】
求导2
()3f x x a '=+，分0a ≥和0a <进行讨论，当0a ≥时，可知函数单调递增，有且只有一个零点；当0a <时，讨论函数的单调性，要使函数有一个零点，则需比较函数的极大值与极小值与0的关系，再验证选项即可得解. 【详解】
3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+
当0a ≥时，()0f x '≥，()f x ∴单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞；由零点存在性定理知，函数()f x 有且只有一个零点，故A ，C 满足题
意；
当0a <时，令()0f x '=，即230x a +=，解得13a
x -=-
，23
a x -= 当x 变化时，()'
f x ，()f x 的变化情况如下表：
x
,3a ⎛⎫--∞- ⎪ ⎪⎝⎭
3
a
-- ,33a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭
3
a
- ,3a ⎛⎫
-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭
()'f x
+
-
+
()f x
极大值 极小值
故当3
a
x -=-
，函数()f x 取得极大值2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
， 当3
a x -=，函数()f x 取得极小值
2333333a a a a a a f a b b ⎛⎫-----=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭
又当x →-∞时，()f x →-∞；当x →+∞时，()f x →+∞； 要使函数()f x 有且只有一个零点，作草图
或
则需0303a f a f ⎧
⎛--<⎪ ⎪⎝⎨
-⎪<⎪⎩，即203320
33a a b a a b ⎧-<⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，即2033a a
b -<<，
B 选项，3,3a b =-=-，满足上式，故B 符合题意；
则需0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨
-⎪>⎪⎩
，即203320
33a a b a a b ⎧->⎪⎪⎨-⎪>⎪⎩，即2033a a
b ->>，
D 选项，0,0a b <>，不一定满足，故D 不符合题意； 故选：ABC 【点睛】
思路点睛：本题考查函数的零点问题，如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(),a b 内有零点，即存在(),c a b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题.
7．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔
离直线”，已知函数()()2
f x x R x =∈，()()1
0g x x x
=
<，()2eln h x x =（e 为自然对数的底数），则下列结论正确的是（ ） A ．()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增 B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线，且b 的最小值为4 C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是(]4,1-
D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”e y =- 【答案】AD 【分析】
求出()()()m x f x g x =-的导数，检验在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内的导数符号，即可判断选项A ；选项B 、C 可设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，2x kx b ≥+对一切实数x 都成立，即有10∆≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，20∆≤，0k ≤，0b ≤，根据不等式的性质，求出k 、b 的范围，即可判断选项B 、C ；存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k ，则隔离直线的方程为
(
y e k x -=，构造函数求出函数的导数，根据导数求出函数的最值.
【详解】
对于选项A ：()()()2
1m x f x g x x x =-=-
，()212m x x x
'=+， 当
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭时，()2120m x x x '=+>， 所以函数()()()m x f x g x =-在
x ⎛
⎫
∈ ⎪⎝⎭内单调递增；故选项A 正确 对于选项BC ：设()f x 、()g x 的隔离直线为y kx b =+，则2x kx b ≥+对一切实数x 都成
立，即有10∆≤，即240k b +≤，又
1
kx b x
≤+对一切0x <都成立，则210kx bx +-≤，即 20∆≤，240b k +≤，0k ≤，0b ≤，即有24k b ≤-且24b k ≤-，421664k b k ≤≤-，
可得40k -≤≤，同理可得：40b -≤≤，故选项B 不正确，故选项C 不正确；
对于选项D ：函数()f x 和()h x
的图象在x =
()f x 和()h x 的
隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k
，则隔离直线的方程为
(y e k x -=
，即y kx e =-，由(
)f x kx e ≥-，可得
20x kx e -+≥对于x ∈R 恒成立，则0∆≤
，只有k =
y e =-
，下面证明()h x e ≤-
，令
()2n ()l G x e h x e x e =--=--，
()x G x x
'=
，当x =
()0'=G x
，当0x <<时，()0'
<G x
，当
x >()0G x '
>
，则当x =()G x 取到极小值，极小值是0，也是最小值.所
以
()()0G x e h x =--≥
，则()h x e ≤-当0x >时恒成立.所以()f x 和()
g x 之间存在唯一的“隔离直线
”e y =-，故选项D 正确. 故选：AD 【点睛】
本提以函数为载体，考查新定义，关键是对新定义的理解，考查函数的导数，利用导数求最值，属于难题.
8．已知函数()e sin x
f x a x =+，则下列说法正确的是（ ）
A ．当1a =-时，()f x 在0,
单调递增
B ．当1a =-时，()f x 在()()
0,0f 处的切线为x 轴
C ．当1a =时，()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，且()010f x -<<
D ．对任意0a >，()f x 在()π,-+∞一定存在零点 【答案】AC 【分析】
结合函数的单调性、极值、最值及零点，分别对四个选项逐个分析，可选出答案. 【详解】
对于A ，当1a =-时，()e sin x f x x =-，()e cos x
f x x '=-， 因为()0,x ∈+∞时，e 1,cos 1x
x >≤，即0f
x
，所以()f x 在0,
上单调递
增，故A 正确；
对于B ，当1a =-时，()e sin x
f x x =-，()e cos x
f x x '=-，则
()00e sin01f =-=，()00e cos00f '=-=，即切点为0,1，切线斜率为0，故切线
方程为1y =，故B 错误；
对于C ，当1a =时，()e sin x f x x =+，()e cos x f x x '+=，()e sin x
f x x '=-'， 当()π,0x ∈-时，sin 0x <，e 0x >，则()e sin 0x
x f x -'=>'恒成立，即
()e cos x f x x '+=在()π,0-上单调递增，
又ππ2
2ππe cos e 220f --⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+>，
3π3π4
4
3π3πe cos e
442f -
-
⎛⎫⎛⎫'-=-= ⎪ ⎪⎝⎭
⎝-
⎭
+，因为1
2
3π3π421e e 2e ---⎛⎫=<⎪⎭
< ⎝
，所以3π43πe 024f -⎛⎫'-= ⎪-⎭
<⎝，所以存在唯一03ππ,42x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，使得()00f x '
=成立，
所以()f x 在()0π,x -上单调递减，在()0,0x 上单调递增，即()f x 在()π,0-存在唯一极小值点0x ，
由()000e cos 0x
f x x +'==，可得
(
)000000πe sin cos sin 4x f x x x x x ⎛
⎫=+=-+=- ⎪⎝
⎭，
因为03ππ,4
2x ⎛⎫
∈-
- ⎪⎝⎭，所以0π3ππ,44x ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，则(
)00π4f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭()1,0∈-，故C 正确；
对于选项D ，()e sin x
f x a x =+，()π,x ∈-+∞，
令()e sin 0x
f x a x =+=，得1sin e
x x
a -
=， ()sin e
x x
g x =，()π,x ∈-+∞，则(
)πcos sin 4e e x x
x x x g x ⎛
⎫- ⎪-⎝⎭'==， 令0g x ，得πsin 04x ⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭，则ππ4x k =+()1,k k ≥-∈Z ，
令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-> ⎪⎝
⎭，则π5π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递减，
令0g x
，得πsin 04x ⎛
⎫-< ⎪⎝
⎭，则5π9π2π,2π44x k k ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭()1,k k ≥-∈Z ，此时函
数()g x 单调递增， 所以5π
2π4
x k =+
()1,k k ≥-∈Z 时，()g x 取得极小值，极小值为5π5π
2π2π44
5π5π2π5π4s 42in si πe e 4n k k g k k ++⎛
⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭++()1,k k ≥-∈Z ， 在()g x 的极小值中，3π
4
sin 3π45π
5π42π4e
g g -
⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪
⎝
⎭
⎝
+⎭
-最小，
当3ππ,4x ⎛⎫
∈--
⎪⎝⎭
时，()g x 单调递减，所以函数()g x
的最小值为3π
3π4
4
5πsin 3π144e
g -
-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭
，
当3π4
11a
--
<-
时，即3π40a -
<<
时，函数()g x 与1
=-
y a
无交点，即()f x 在()π,-+∞不存在零点，故D 错误.
故选：AC. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的极值、零点、最值，及切线方程的求法，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.
9．已知函数()()()2
21x f x x e a x =-+-有两个零点，则a 的可能取值是（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2
【答案】CD 【分析】
求出()f x 的导数，讨论a 的范围，结合函数的单调性和零点存在性定理可判断求出. 【详解】
解：∵函数()()()221x f x x e a x =-+-， ∴()()()()()
12112x
x f x x e a x x e a '=-+-=-+，
①若0a =，那么()()0202x
f x x e x =⇔-=⇔=，
函数()f x 只有唯一的零点2，不合题意；
②若0a >，那么20x e a +>恒成立， 当1x <时，()0f x '<，此时函数为减函数； 当1x >时，()0f x '>，此时函数为增函数； 此时当1x =时，函数()f x 取极小值e -，
由()20f a =>，可得：函数()f x 在1x >存在一个零点； 当1x <时，x e e <，210x -<-<，
∴()()()()()2
2
2121x f x x e a x x e a x =-+->-+-
()()2
11a x e x e =-+--，
令()()2
110a x e x e -+--=的两根为1t ，2t ，且12t t <， 则当1x t <，或2x t >时，()()()2
110f x a x e x e >-+-->， 故函数()f x 在1x <存在一个零点；
即函数()f x 在R 上存在两个零点，满足题意； ③若02
e
a -
<<，则()ln 2ln 1a e -<=， 当()ln 2x a <-时，()1ln 21ln 10x a e -<--<-=，
()ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()ln 21a x -<<时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(
)
120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()
(1)20x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当()ln 2x a =-时，函数取极大值，
由()()
()()()2
ln 2ln 222ln 21f a a a a a ⎡⎤⎡⎤-=---+--⎣⎦⎣⎦
(){
}
2
ln 2210a a ⎡⎤⎣⎦=--+<
得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； ④若2
e
a =-
，则()ln 21a -=， 当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当1x >时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，
即()()()
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故函数()f x 在R 上单调递增，
函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意；
⑤若
2
e
a <-，则()ln 2ln 1a e ->=， 当1x <时，10x -<，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=， 即()()()120x
f x x e a '=-+<恒成立，故()f x 单调递减，
当()ln 2x a >-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=， 即()()(
)
120x
f x x e a '=-+>恒成立，故()f x 单调递增，
故当1x =时，函数取极大值，
由()10f e =-<得：函数()f x 在R 上至多存在一个零点，不合题意； 综上所述，a 的取值范围为()0,∞+， 故选：CD. 【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题.
10．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】ABC 【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫
<
++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=+
+>，
则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=
-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()1
0x x x
ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0
00min 00
ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=
<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>，
所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 000
231
21x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈. 因为00
1
1t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.。