高考数学二轮复习小题分类补偿练6文试题

补偿练6 数 列
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。

(限时：40分钟)
一、选择题
1.数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，那么a 7＝( ) A.53 B.54 C.55
解析 a 7＝(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋(a 5－a 4)＋(a 4－a 3)＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(7＋6＋5＋4＋3＋2)＋1＝55. 答案 C
2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设6a 3＋2a 4－3a 2＝5，那么S 7＝( ) A.28 B.21 C.14
解析 6a 3＋2a 4－3a 2＝6(a 1＋2d )＋2(a 1＋3d )－3(a 1＋d )＝5a 1＋15d ＝5a 4， ∴a 4＝1，∴S 7＝7a 4＝7. 答案 D
3.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 6
S 3＝3，那么S 9S 6
＝( ) A.2 B.73 C.8
3
解析 ∵数列{a n }是等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列， 那么(S 6－S 3)2
＝S 3(S 9－S 6)， 令S 6＝3，S 3＝1， 解得：S 9＝7，
∴S 9S 6＝73
.
S n 为等差数列{a n }的前n 项和，假设a 1＝1，公差d ＝2，S n ＋2－S n ＝36，那么n ＝( )
A.5
B.6
C.7 解析 由S n ＋2－S n ＝36，得：a n ＋1＋a n ＋2＝36， 即a 1＋nd ＋a 1＋(n ＋1)d ＝36， 又a 1＝1，d ＝2， ∴2＋2n ＋2(n ＋1)＝36. 解得n ＝8. 答案 D
5.设{a n }是等比数列，那么“a 1＜a 2＜a 4”是“数列{a n }是递增数列〞的( ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
解析 当a 1＜0，q ＜－1时，满足a 1＜a 2＜a 4，但此时的数列a 1，a 3，a 5，…＜0，a 2，a 4，a 6，…＞0，是摆动数列，所以a 1＜a 2＜a 4时，数列{a n }不一定是递增数列，充分性不成立；假设数列{a n }是递增数列，那么一定有a 1＜a 2＜a 4，必要性成立. 答案 B
6.数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，那么a 3等于( ) A.15 B.10 C.9
解析 由a 2＝(2－λ)a 1，可得2－λ＝3，解得λ＝－1，∴a 3＝(2×2＋1)×3＝15. 答案 A
7.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，那么S n 获得最小值时，n 的值是( ) A.4 B.5 C.6
解析 设{a n }的公差为d .由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＋a 10＝9，S 14－S 3＝77，得⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝2，因此等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
11，令a n ＞0，解得n ＞11
2
，故前5项和最小.
8.在正项等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，且－a 3，a 2，a 4成等差数列，那么S 7的值是( ) A.125 C.127
解析 设正项等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，且a 1＝1， 由－a 3，a 2，a 4成等差数列，得2a 2＝a 4－a 3，即2a 1q ＝a 1q 3
－a 1q 2
. 因为qq 2
－qq ＝－1(舍)，或者q ＝2.
那么S 7＝a 1〔1－q 7〕1－q ＝1·〔1－27〕
1－2
＝127.
答案 C
9.各项不为0的等差数列{a n }满足a 4－2a 2
7＋3a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，那么b 2b 8b 11等于( )
A.1
B.2
C.4 解析 由a 4－2a 2
7＋3a 8＝0得：2a 2
7＝a 4＋3a 8＝4a 7， ∴a 7＝2，∴b 7＝2，
又∵b 2b 8b 11＝b 1q ·b 1q 7
·b 1q 10
＝b 3
1·q 18
＝(b 7)3
＝8. 答案 D
10.设等差数列{a n }和等比数列{b n }的首项都是1，公差与公比都是2，那么ab 1＋ab 2＋ab 3＋ab 4＋ab 5＝( )
A.54
B.56
C.58 解析 由题意，a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，b n ＝1×2n －1
＝2
n －1
，∴ab 1＋…＋ab 5＝a 1＋a 2＋a 4＋a 8＋a 16＝1
＋3＋7＋15＋31＝57. 答案 D
f (x )＝x 2
＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线斜率为3，数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1f 〔n 〕的前n 项和为S n ，那么S 2 014的值是( )
A.
2 0122 01
3 B.2 0132 01
4 C.2 0142 01
5 D.2 015
2 016
解析 函数的导数f ′(x )＝2x ＋b ， ∵点A (1，f (1))处的切线的斜率为3，
∴f ′(1)＝2＋b ＝3，解得b ＝1.∴f (x )＝x 2
＋x ＝x (x ＋1)， ∴
1f 〔n 〕＝1n 〔n ＋1〕＝1n －1
n ＋1
， ∴S 2 014＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015.
答案 C
12.等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 1，a 3，a 13成等比数列，假设a 1＝1，S n 是数列{a n }前n 项的和，那么
2S n ＋16a n ＋3(n ∈N *
)的最小值为( )
A.4
B.3
C.23－2
D.9
2
解析 据题意由a 1，a 3，a 13成等比数列可得(1＋2d )2
＝1＋12d ，解得d ＝2，故a n ＝2n －1，S n ＝n 2
，因此2S n ＋16a n ＋3＝2n 2
＋162n ＋2＝n 2
＋8n ＋1＝〔n ＋1〕2
－2〔n ＋1〕＋9n ＋1＝(n ＋1)＋9n ＋1－2，据根本不等式知2S n ＋16a n ＋3＝(n ＋1)＋9
n ＋1
－2≥2〔n ＋1〕×
9
n ＋1
－2＝4，当n ＝2时获得最小值4. 答案 A 二、填空题
13.等差数列{a n }的公差d 不为0，且a 1，a 3，a 7成等比数列，那么a 1d
的值是________. 解析 ∵a 1，a 3，a 7成等比数列，∴a 2
3＝a 1a 7， 即(a 1＋2d )2
＝a 1(a 1＋6d )，∴4d 2
＝2a 1d ，∴a 1d
＝2. 答案 2
14.数列{a n }，a n ＝2n
，那么1a 1＋1a 2＋…＋1a n
＝________.
解析 由题意得数列{a n }为首项是2，公比为2的等比数列，
∴数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为12，公比为1
2的等比数列，
那么1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝1－12
n .
答案 1－1
2
n
15.{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝1
4
，那么a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝________.
解析 由a 5＝14＝a 2·q 3＝2·q 3
，解得q ＝12.数列{a n a n ＋1}仍是等比数列，其首项是a 1a 2＝8，公比为14
，
所以a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝
8⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n 1－
14
＝
323
(1－4－n
). 答案
323
(1－4－n
) 16.数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝3，a n ＝2S n －1＋3n
(n ≥2)，那么该数列的通项公式a n ＝________. 解析 ∵a n ＝2S n －1＋3n
，∴a n －1＝2S n －2＋3n －1
(n ≥3)，相减得：a n －a n －1＝2a n －1＋2×3
n －1
，即a n ＝3a n －1
＋2×3
n －1
，∴a n 3n ＝a n －13n －1＋23(n ≥3).又a 2＝2S 1＋32＝2a 1＋32
＝15，a 232＝53，a 13＋23＝53，即a 232＝a 13＋23
，∴数
列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n 3n 是以1为首项，23为公差的等差数列，∴a n 3n ＝1＋(n －1)×23，∴a n ＝(2n ＋1)3n －1
.
答案 (2n ＋1)·3
n －1
制卷人：打自企； 成别使； 而都那。

审核人：众闪壹； 春壹阑； 各厅…… 日期：2022年二月八日。