2020_2021学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教A版

2．4.2 抛物线的简单几何性质
内容标准学科素养
1.掌握抛物线的简单几何性质．
2.能运用抛物线的几何性质解决有关问题．
3.掌握直线与抛物线的位置关系.
利用直观想象
提升逻辑推理
授课提示：对应学生用书第44页
[基础认识]
知识点一抛物线的几何性质
预习教材P68－69，思考并完成以下问题
类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？
提示：X围、对称性、顶点、离心率等．
知识梳理抛物线的几何性质
设图形中的P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0) 图形
性
质
X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴x轴x轴y轴y轴
焦半径|P1F|＝
p
2
＋x1|P1F|＝
p
2
－x1|P1F|＝
p
2
＋y1|P1F|＝
p
2
－y1焦点弦
|P1P2|＝p＋(x1
＋x2)
|P1P2|＝p－(x1
＋x2)
|P1P2|＝p＋(y1
＋y2)
P1P2＝p－(y1＋
y2)
顶点 (0,0)
离心率
e ＝1
知识梳理 直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px (p >0)的交点个数决定于关于x 的方程组
⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋b ，y 2＝2px
解的个数，即二次方程k 2x 2＋2(kb －p )x ＋b 2＝0解的个数． 当k ≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有2个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有1个公共点；若Δ<0，直线与抛物线没有公共点；
当k ＝0时，直线与抛物线的轴平行或重合，此时直线与抛物线有1个公共点．
[自我检测]
1．顶点在原点，对称轴为y 轴，顶点到准线的距离为2的抛物线方程是( ) A ．x 2＝16y B ．x 2＝8y C ．x 2＝±8y D ．x 2＝±16y 答案：C
2．若点(a ，b )是抛物线x 2＝2py (p >0)上的一点，则下列点一定在抛物线上的是( ) A ．(a ，－b ) B ．(－a ，b ) C ．(－a ，－b ) D ．(b ，a ) 答案：B
3．直线y ＝2x －1与抛物线x 2＝
12
y 的位置关系是( )
A ．相切
B ．相交
C ．相离
D ．不确定 答案：C
授课提示：对应学生用书第45页
探究一 抛物线几何性质的应用
[阅读教材P 68例3]已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M (2，－2
2)，求它的标准方程．
题型：利用抛物线的几何性质，求其标准方程 方法步骤：(1)根据条件设出抛物线的标准方程． (2)将点M 代入标准方程，求出p 的值． (3)写出抛物线的标准方程． [例1] (1)已知双曲线x 2a 2－
y 2
b 2
＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准
线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则抛
物线的焦点坐标为( )
A ．(2,0)
B ．(1,0)
C ．(8,0)
D ．(4,0) [解析]因为c a ＝2，所以c 2a
2＝
a 2＋
b 2
a 2
＝4，于是b 2＝3a 2，则
b a
＝3，故双曲线的两条渐近
线方程为y ＝±
3x .
而抛物线
y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p
2
，
所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－p 2，3p 2，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫－p 2，－
3p 2， 则AB ＝
3p ，又三角形的高为p
2
，
则S △AOB ＝12·p
2
·
3p ＝
3，
即p 2＝4.因为p >0，所以p ＝2，故抛物线焦点坐标为(1,0)． [答案]B
(2)已知双曲线方程是x 28－y 2
9＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程及抛物
线的准线方程．
[解析]因为双曲线x 28－y 2
9
＝1的右顶点坐标为(2
2，0)，所以p
2
＝2
2，且抛物线的焦点
在x 轴正半轴上，所以，所求抛物线的标准方程为y 2＝82x ，其准线方程为x ＝－2
2.
方法技巧 (1)注意抛物线各元素间的关系：抛物线的焦点始终在对称轴上，抛物线的顶点就是抛物线与对称轴的交点，抛物线的准线始终与对称轴垂直，抛物线的准线与对称轴的交点和焦点关于抛物线的顶点对称．
(2)解决抛物线问题要始终把定义的应用贯彻其中，通过定义的运用，实现两个距离之间的转化，简化解题过程．
跟踪探究 1.已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过点M (1，－2)．求抛物线的标准方程和准线方程．
解析：(1)当抛物线的焦点在x 轴上时， 设其标准方程为y 2＝mx (m ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得m ＝4. ∴抛物线的标准方程为y 2＝4x ；
(2)当抛物线的焦点在y 轴上时，设其标准方程为x 2＝ny (n ≠0)． 将点M (1，－2)代入，得n ＝－1
2.
∴抛物线的标准方程为
x 2＝－
1
2
y .
故所求的抛物线的标准方程为y 2＝4x 或x 2＝－12
y .
准线方程为x ＝－1或y ＝1
8.
探究二 焦点弦问题
[阅读教材P 69例4]斜率为1的直线l 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，
B 两点，求线段AB 的长．
题型：焦点弦的计算．
方法步骤：(1)写出抛物线的焦点坐标，从而由点斜式求出直线l 的方程．
(2)直线与抛物线联立方程组，消去y 得到关于x 的一元二次方程，设而不求及根与系数的关系．
(3)由焦点弦公式|AB |＝p ＋x 1＋x 2，求出弦AB 的长．
[例2] 已知抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，且|AB |＝5
2
p ，求AB 所在的直线方程．
[解析]由题意知焦点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
p 2，0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
若AB ⊥x 轴，则|AB |＝2p <5
2p ，不满足题意．
所以直线AB 的斜率存在，设为k ，
则直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫
x －p 2，k ≠0.
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，
y 2
＝2px ，
消去y ，整理得k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋
k 2p 2
4
＝0.
由根与系数的关系得x 1＋x 2＝p ＋2p k
2.
所以|AB |＝x 1＋p 2＋x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p ＝2p ＋2p k 2＝5
2
p ，
解得k ＝±2.
所以AB 所在的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2或y ＝－2⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －p 2.
方法技巧 (1)解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．
(2)设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．
跟踪探究 2.已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值；
(2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解析：(1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan 60°＝
3，
又F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
32，0.
所以直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －32.
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y 2
＝6x ，y ＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x －32，
消去y 得x 2－5x ＋
9
4
＝0. 若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，
而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线定义知
|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p
2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，
所以x 1＋x 2＝6，于是线段AB 的中点M 的横坐标是3， 又准线方程是x ＝－3
2
，
所以M 到准线的距离等于3＋32＝9
2.
探究三 直线与抛物线的位置关系
[阅读教材P 71例6]已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k .k 为何值时，直线l 与抛物线y 2＝4x ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
题型：直线与抛物线位置关系的判定． 方法步骤：(1)由点斜式写出直线l 的方程． (2)直线方程与抛物线方程联立方程组．
(3)讨论方程组解的个数来确定直线与抛物线的公共点个数．
[例3] (1)过点P (0,1)与抛物线y 2＝x 有且只有一个交点的直线有( ) A ．4条 B ．3条 C ．2条 D ．1条
(2)已知直线l ：y ＝kx ＋1，抛物线C ：y 2＝4x ，当k 为何值时，l 与C ：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．
[解析](1)数形结合法．
过P 可作抛物线的两条切线，即y 轴和l 1均与抛物线只有一个
公共点，
过P 可作一条与其轴平行的直线l 2与抛物线只有一个公共点． 故过点P 与抛物线只有一个公共点的直线共3条，故选B.
(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，
y 2＝4x ，
消去y ，
得k 2x 2＋(2k －4)x ＋1＝0.(*) 当k ＝0时，(*)式只有一个解x ＝1
4，
∴y ＝1，
∴直线l 与C 只有一个公共点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14，1，此时直线l 平行于x 轴．
当k ≠0时，(*)式是一个一元二次方程，Δ＝(2k －4)2－4k 2＝16(1－k )． ①当Δ>0，即k <1，且k ≠0时，
l 与C 有两个公共点，此时直线l 与C 相交；
②当Δ＝0，即k ＝1时，l 与C 有一个公共点，此时直线l 与C 相切； ③当Δ<0，即k >1时，l 与C 没有公共点，此时直线l 与C 相离． 综上所述，当k ＝1或0时，l 与C 有一个公共点； 当k <1，且k ≠0时，l 与C 有两个公共点； 当k >1时，l 与C 没有公共点． [答案](1)B (2)见解析
方法技巧 设直线l ：y ＝kx ＋b ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立消元得：k 2x 2＋(2kb －2p )x ＋b 2＝0.
(1)若k 2＝0，此时直线与抛物线有一个交点，该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
(2)若k 2≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无公共点．
跟踪探究 3.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
－12，12B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4] 解析：由题意Q (－2,0)， 设l ：y ＝k (x ＋2)．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x ＋2，y 2＝8x ，
得k 2x 2＋4k 2x ＋4k 2－8x ＝0，
即k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0. 当k 2＝0，即k ＝0时，x ＝0，y ＝0， ∴l 与抛物线只有一个公共点． 当k 2≠0时，k ≠0，Δ≥0， 即(4k 2－8)2－16k 4≥0， 解得－1≤k ≤1， ∴－1≤k ≤1且k ≠0
综上，知k 的取值X 围是[－1,1]，故选C. 答案：C
授课提示：对应学生用书第46页
[课后小结]
(1)讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程．
(2)直线与抛物线的相交弦问题共有两类，一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解
决弦的问题，大多涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点．尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用．
(3)判断直线与抛物线位置关系的两种方法
①几何法：利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果．
②代数法：设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x (或y )的一元二次方程形式：Ax 2＋Bx ＋C ＝0(或Ay 2＋By ＋C ＝0)．
相交：a.有两个交点：⎩⎪⎨⎪⎧
A ≠0，
Δ>0；
b ．有一个交点：A ＝0(直线与抛物线的对称轴平行或重合，即相交)；
相切：有一个公共点，即⎩⎪⎨⎪⎧
A ≠0，
Δ＝0；
相离：没有公共点，即⎩
⎪⎨⎪⎧
A ≠0，
Δ<0.
直线与抛物线有一个交点，是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
[素养培优]
1．定点问题
已知抛物线y 2＝－8x 的顶点为O ，点A ，B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，求证：直线AB 经过一个定点．
证明：设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为－1
k
，则直线OA 的方程为y ＝kx ，
由⎩
⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝－8x ，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k 2，－8k ， 同理可得B (－8k 2,8k )，
于是直线AB 的方程为y －8k ＝8k
＋8k
8k 2
－8k 2(x ＋8k 2)，整理可得
y ＝k 1－k 2(x ＋8)，因此直线AB 经过定点(－8,0)．
方法技巧 定点问题的常见解法
(1)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．
(2)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点．
2．定值问题
如图所示，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线
AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．
证明：设直线AB 的斜率为k (k ≠0)．
因为直线AB ，AC 的倾斜角互补，所以直线AC 的斜率为－k (k ≠0)．
又直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，
消去y 整理得， k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0.
因为A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解，
所以4·x B ＝16k 2－16k ＋4k 2，得x B ＝4k 2－4k ＋1k
2，
以－k 代替x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k 2， 所以k BC ＝y B －y C
x B －x C
＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]
x B －x C
＝
k x B ＋x C －8k
x B －x C
＝k ·8k 2＋2k
2－8k －8k k
2＝－14， 故直线BC 的斜率为定值．
方法技巧 求定值问题常见的方法
解析几何的定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．其证明过程可总结为“变量⇒函数⇒定值”，具体操作程序如下：
变量——选择适当的量作为变量；
函数——把要证明为定值的量表示成上述变量的函数；
定值——把得到的函数解析式化简，消去变量，得到定值．。