二下学期期末考试数学(理)试题(附答案)

玉溪一中2012-2013学年高二下学期期末考试数学理试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下列说法错误．．
的是 ( ) A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是：“若x ≠ 3，则x 2－4x ＋3≠0” B ．“x ＞1”是“| x |＞0”的充分不必要条件 C ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题
D ．命题p ：“∃x ∈R 使得x 2＋x ＋1＜0”，则p ⌝：“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0” 2. 已知
a ＋2i
i ＝b ＋i (a ，b ∈R)，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于 ( )
A ．－1
B ．1
C ．2
D ．3
3．某班中秋联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。

如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 ( )
A ．42
B ．30
C ．20
D ．12 4. 设4
)15(x
x -
的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，则M －N ＝( ) A ．－240 B ．150 C ．0 D ．240
5．由710 > 58，911 > 810，1325 > 9
21，…，若a > b > 0，m > 0，则b ＋m a ＋m 与b a 之间大小关系为
( )
A ．相等
B ．前者大
C ．后者大
D ．不确定
6. 如右图是湖南电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A ．84，4.84
B ．84，1.6
C ．85，4
D ．85，1.6 7. 若0>x ，则24
x
x +
的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．4
8. 以初速度40 m /s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )
A. 403m
B.803 m
C. 1603m
D.203 m
9．如果函数)(x f y =的图象如左图，那么导函数)(x f y '=的图象可能是( )
10．如右图所示的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 ( )
A ．x ＞c
B ．c ＞x
C ．c ＞b
D ．b ＞c
11．对于不等式n 2＋n < n ＋1(n ∈N *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．
(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1，则当n ＝k ＋1时，
k ＋2
＋k ＋
＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋
＋k ＋＝k ＋
2
＝(k
＋1)＋1
∴当n ＝k ＋1时，不等式成立，则上述证法 ( ) A ．过程全部正确 B ．n ＝1验得不正确
C ．归纳假设不正确
D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确
12．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )
A ．4 3
B ．8 3
C ．8
D ．16
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知＝(2，－1，2)，＝(2，2，1)，则以，为邻边的平行四边形的面积为________． 14．若将一颗质地均匀的骰子(一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是________．
15．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为________．
16．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ＋3c ＝9，求3a ＋2b ＋c 的最大值________．
三、填空题（本大题共6小题，共70分）
17（本小题满分10分）解不等式12
|12||3|+<--+x x x
18（本小题满分12分）某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为1
3，用X 表示
这5位乘客在第20层下电梯的人数，求：
（1）随机变量X 的分布列； （2）随机变量X 的期望．
19（本小题满分12分）已知函数1)(3
--=ax x x f
(1)若)(x f 在(－∞，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)是否存在实数a ，使)(x f 在(－1，1)上单调递减？若存在，求出a 的取值范围；若不存在试说明理由．
20（本小题满分12分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为PA ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，PA ＝PC ＝10. (1)设G 是OC 的中点，证明FG ∥平面BOE ；
(2)证明在△ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA ，OB 的距离．
21．（本小题满分12分）已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，且它的离心率
与双曲线x 23－y 2
＝1的离心率互为倒数．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点A 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点．点M 在椭圆上，且满足
+=，求k 的值．
‘
22（本小题满分12分）已知函数).21ln()(2
x x x f ++-= （1）求)(x f 的最大值； （2）设).1)((1
1
ln :,0++->++>>b a b a b a a b 证明
玉溪一中高2014届高二下学期期末考 数学试题（理科）（参考答案）
三、填空题（本大题共6小题，共70分）
17解：（1）当3-<x 时，原不等式化为12
)21()3(+<
--+-x
x x ， 解得10<x ，3-<∴x ；…………3分 （2）当213<
≤-x 时，原不等式化为12
)21()3(+<--+x
x x ， 解得52-
<x ，5
2
3-<≤-∴x ； …………6分
（3）当21≥
x 时，原不等式化为12
)12()3(+<--+x
x x ， 解得2>x ， 2>∴x …………9分
综上可知：原不等式的解集为}25
2|{>-<x x x 或 …………10分
18解：解法一：(1)X 的所有可能值为0，1，2，3，4，5. …………1分 由等可能性事件的概率公式得
P (X ＝0)＝2535＝32243， P (X ＝1)＝C 15·
2435＝80243，
P (X ＝2)＝C 25·2335＝80243， P (X ＝3)＝C 35·
2235＝40243，
P (X ＝4)＝C 45·
235＝10243， P (X ＝5)＝135＝1243.…………7分
从而，X 的分布列为：…………8分
(2)由(1)得X 的期望为：
EX ＝0×32243＋1×80243＋2×80243＋3×40243＋4×10243＋5×1243＝405243＝5
3.…………12分 解法二：(1)考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故 X ～B (5，1
3
)，…………3分
即有P (X ＝k )＝C k 5(13)k (23)5－k
，k ＝0，1，2，3，4，5.由此计算X 的分布列如解法一．………10分
(2)EX ＝5×13＝5
3.…………12分
19解：(1)f ′(x )＝3x 2－a ………… 1分
由Δ≤0，即12a ≤0，解得a ≤0，…………5分
因此当f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增时，a 的取值范围是(－∞，0]．…………6分 (2)若f (x )在(－1,1)上单调递减，
则对于任意x ∈(－1,1)不等式f ′(x )＝3x 2－a ≤0恒成立…………8分 即a ≥3x 2，又x ∈(－1,1)，则3x 2<3因此a ≥3…………11分
函数f (x )在(－1,1)上单调递减，实数a 的取值范围是[3，＋∞)．…………12分
20(1)证明：如图，连结OP ，以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O －xyz ，则O (0，0，0)，A (0，8-,0)，B (8，0，0)，C (0，8，0)，P (0，0，6)，E (0，－4，3)，F (4，0，3)．…………2分 由题意，得G (0,4,0)．
因为OB →＝(8，0，0)，OE →＝(0，－4，3)，所以平面BOE 的法向量n ＝(0，3，4)，…………4分
由=FG (－4，4，－3)，得n ·FG → ＝0.又直线FG 不在平面BOE 内， 所以FG ∥平面BOE . …………6分
(2)解：设点M 的坐标为(x 0，y 0,0)，则FM →
＝(x 0－4，y 0，－3)．…………7分 因为FM ⊥平面BOE ，所以FM →∥n ，因此x 0＝4，y 0＝－9
4， 即点M 的坐标是⎝⎛⎭
⎫4，－9
4，0.…………10分 在平面直角坐标系xOy 中，△AOB 的内部区域可表示为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＞0，y ＜0，
x －y ＜8.
经检验，点M 的坐标满足上述不等式组，所以在△AOB 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE .
由点M 的坐标，得点M 到OA ，OB 的距离分别为4，9
4.…………12分
21．解：(1)∵双曲线x 23－y 2＝1的离心率为233， ∴椭圆的离心率为3
2.…………2分 又∵b ＝1，∴a ＝2.∴椭圆的方程为x 24＋y 2
＝1. …………4分 (2)设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (m ，n )．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋1，x 24＋y 2
＝1，得(1＋4k 2)x 2＋8kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－
8k
1＋4k 2
，x 1·x 2＝0. …………6分
∵OM → ＝12OA →＋32OB →，∴m ＝12(x 1＋3x 2)，n ＝1
2(y 1＋3y 2)，…………7分
∵点M 在椭圆上 ，∴m 2＋4n 2＝4，
∴14(x 1＋3x 2)2＋(y 1＋3y 2)2＝14[(x 21＋4y 21)＋3(x 22＋4y 2
2)＋23x 1x 2＋83y 1y 2] ＝1
4[4＋12＋83y 1y 2]＝4. ∴y 1y 2＝0. …………10分
∴(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝k ·⎝
⎛⎭
⎫－8k 1＋4k
22＋1＝0， 即k 2＝14，∴k ＝±1
2. 此时Δ＝(8k )2－4(1＋4k 2)×0＝64k 2＝16>0
∴k 的值为±1
2.…………12分
22（1）解：),21ln()(2
x x x f ++-= .021>+∴x
,21->∴x 即函数)(x f 的定义域为}.2
1,|{->∈x R x x
又x
x x f 212
2)('++-= ,212242x x x ++--=…………2分
由0)(>'x f 且21
-
>x 得02242>+--x x 又.2
121,21<<-∴->x x )(,2
1
21x f x 函数时当<<-
∴是增函数.…………4分 由.0224210)('2<+---><x x x x f 得且又.
21
,21>∴->x x
)(,21
x f x 函数时当>∴是减函数.…………6分
)(,21x f x 函数时当=∴取得最大值..2ln 4
1
)21(+-=f
)(x f ∴的最大值等于.2ln 4
1
+-…………7分
（2）证明：,0>>a b .
21
2121>+>+∴a b
根据（1）知：当)(,2
1
x f x 函数时>是减函数.
).21
()21(+<+∴a f b f 1…………9分
)].21
(21ln[)21()]21(21ln[)21(22++++-<++++-∴a a b b
化简得).1)((11ln ++->++b a b a b a ).1)((1
1
ln ++->++∴b a b a b a …………12分。