【典型题】高三数学下期中一模试卷及答案(2)

【典型题】高三数学下期中一模试卷及答案(2)
一、选择题
1．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-+≥⎩
，则2z x y =+的最大值为( )
A ．8
B ．7
C ．2
D ．1
2．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，6
B π
=，4
C π
=
，
则ABC ∆的面积为（ ） A ．223+
B ．31+
C ．232-
D ．31-
3．已知函数22
3log ,0
(){1,0
x x f x x x x +>=--≤，则不等式()5f x ≤的解集为 ( ) A ．[]1,1- B ．[]2,4-
C ．(](),20,4-∞-⋃
D ．(][]
,20,4-∞-⋃ 4．若直线()10,0x y
a b a b
+=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6
B ．8
C ．9
D ．10
5．在等差数列 {}n a 中， n S 表示 {}n a 的前 n 项和，若 363a a += ，则 8S 的值为（ ）
A ．3
B ．8
C ．12
D ．24
6．设实数,x y 满足242210
x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥⎩
，则1
y x +的最大值是（ ）
A ．-1
B ．
12
C ．1
D ．
32
7．20
,{0,0x y z x y x y x y y k
+≥=+-≤≤≤设其中实数、满足若z 的最大值为6，z 的最小值为（ ）
A ．0
B ．-1
C ．-2
D ．-3
8．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =，则
a c
b
+的值为( ) A ．2
B 2
C ．
22
D ．4
9．,x y 满足约束条件362000
x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为
12，则23
a b
+的最小值为 ( ) A ．
256
B ．25
C ．
253
D ．5
10．数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1，则122019
111a a a ++⋯+=（ ）
A ．
2020
2019
B ．
20191010 C ．20171010 D ．4037
2020
11．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC V 的面积，若
cos cos sin ,c B b C a A +=
)
222S b a c =+-，则B ∠=
A ．90︒
B ．60︒
C ．45︒
D ．30︒
12．已知数列{}n a 中，3=2a ，7=1a ．若数列1{}n
a 为等差数列，则9=a ( ) A ．
12
B ．
54
C ．
45
D ．45
-
二、填空题
13．计算：23lim 123n n n
n
→+∞-=++++L ________
14．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差d =（___）． 15．已知0a >，0b >，且31a b +=，则
43
a b
+的最小值是_______. 16．若无穷等比数列{}n a 的各项和为2，则首项1a 的取值范围为______.
17．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，
15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．
18．设数列{a n }的首项a 1＝
3
2
，前n 项和为S n ，且满足2a n ＋1＋S n ＝3(n ∈N *)，则满足2188177
n n S S <<的所有n 的和为________． 19．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则
1
12n n
a a a a a a a a +=⋅⋅⋅L _______________．
20．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且当0x ≥21,01,
()22,1,x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩
若任意的[],1x m m ∈+，不等式(1)()f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是 ____________
三、解答题
21．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知2446,10a a S +==． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式;
（Ⅱ）令2n n n b a =⋅*
()n N ∈,求数列{}n b 的前n 项和n T ．
22．在等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}
3n n a a +的前n 项和n S .
23．在等比数列{}n a 中，11a =，且2a 是1a 与31a -的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足(1)1
(1)
n n n n a b n n ++=
+（*n N ∈），求数列{}n b 的前n 项和n S .
24．等差数列{}n a 的各项均为正数，11a =,前n 项和为n S ．等比数列{}n b 中，11b =，且226b S =,238b S +=．
（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）求
12111n
S S S ++⋯+． 25．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，如果A 、B 、C 成等差数列
且3b =．
（1）当4
A π
=
时，求ABC ∆的面积S ；
（2）若ABC ∆的面积为S ，求S 的最大值． 26．已知{}n a 为等差数列，前n 项和为(
)*
n S n N
∈，{}n
b 是首项为2的等比数列，且公
比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）求数列{}221n n a b -⋅的前n 项和.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线
:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．
考点：简单的线性规划问题．
2．B
解析：B 【解析】
试题分析：根据正弦定理，
，解得
，
，并且
，所以
考点：1．正弦定理；2．面积公式．
3．B
解析：B 【解析】
分析：根据分段函数，分别解不等式，再求出并集即可．
详解：由于()223log ,0
1,0x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩
，
当x ＞0时，3+log 2x≤5，即log 2x≤2=log 24，解得0＜x≤4， 当x≤0时，x 2﹣x ﹣1≤5，即（x ﹣3）（x+2）≤0，解得﹣2≤x≤0， ∴不等式f （x ）≤5的解集为[﹣2，4]， 故选B ．
点睛：本题考查了分段函数以及不等式的解法和集合的运算，分段函数的值域是将各段的值域并到一起，分段函数的定义域是将各段的定义域并到一起，分段函数的最值，先取每段的最值，再将两段的最值进行比较，最终取两者较大或者较小的.
4．C
解析：C 【解析】 【详解】 因为直线
()10,0x y
a b a b
+=>>过点()1,1,所以11+1a b = ,因此
114(4)(+)5+59b a a b a b a b +=+≥+= ,当且仅当23b a ==时取等号,所以选
C.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
由题意可知，利用等差数列的性质，得18363a a a a +=+=，在利用等差数列的前n 项和公式，即可求解，得到答案。

【详解】
由题意可知，数列{}n a 为等差数列，所以18363a a a a +=+=， ∴由等差数列的求和公式可得1888()83
1222
a a S +⨯=== ，故选C 。

【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，及前n 项和公式的应用，其中解答中数列等差数列的性
质和等差数列的前n项和公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。

6．D
解析：D
【解析】
【分析】
由约束条件确定可行域，由
1
y
x
+
的几何意义，即可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率求得答案．
【详解】
由约束条件
24
22
10
x y
x y
x
-≤
⎧
⎪
+≤
⎨
⎪-≥
⎩
，作出可行域如图，
联立
10
220
x
x y
-=
⎧
⎨
+-=
⎩
，解得A（
1
1
2
，），
1
y
x
+
的几何意义为可行域内的动点与定点P（0，-1）连线的斜率，
由图可知，
1
13
2
12
PA
k
+
==最大．
故答案为
3
2
．
【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题型．
7．D
解析：D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，
由z=x+y,得y=−x+z,
平移直线y=−x+z ，由图象可知当直线y=−x+z 经过点A 时，直线y=−x+z 的截距最大， 此时z 最大为6.即x+y=6.经过点B 时，直线y=−x+z 的截距最小，此时z 最小． 由6
{
x y x y +=-=得A(3,3)，
∵直线y=k 过A ， ∴k=3. 由3{
20
y k x y ==+=,解得B(−6,3).
此时z 的最小值为z=−6+3=−3， 本题选择D 选项.
点睛：求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：
b z
y x a b =-
+，通过求直线的截距z b
的最值间接求出z 的最值．最优解在顶点或边界取得．
8．A
解析：A 【解析】 【分析】
由正弦定理，化简求得sin 30B B =，解得3
B π
=
，再由余弦定理，求得
()2
24b a c =+，即可求解，得到答案．
【详解】
在ABC ∆中，因为sin 3cos 0b A a B -=,且2b ac =， 由正弦定理得sin sin 3cos 0B A A B =， 因为(0,)A π∈，则sin 0A >，
所以sin 30B B =，即tan 3B =3
B π
=
，
由余弦定理得222222222cos ()3()3b a c ac B a c ac a c ac a c b =+-=+-=+-=+-， 即()2
24b a c =+，解得2a c
b
+=，故选A ． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.
9．A
解析：A 【解析】 【分析】
先画不等式组表示的平面区域，由图可得目标函数(0,0)z ax by a b =+>>何时取最大值，进而找到a b ，之间的关系式236,a b +=然后可得23123
()(23)6a b a b a b
+=++，化简变形用基本不等式即可求解。

【详解】
不等式组表示的平面区域如图，由360
20x y x y --=⎧⎨-+=⎩
得点B 坐标为
B （4,6）.由图可知当直线z ax by =+经过点B （4,6）时，Z 取最大值。

因为目标函数
(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12，所以4612,a b +=即236,a b +=
所以
2312316616625
()(23)(13)(132)6666
a b a b a b a b a b b a b a +=++=++≥+⨯=。

当且仅当66236
a b
b a a b ⎧=⎪
⎨⎪+=⎩即65a b ==时，上式取“=”号。

所以当65a b ==时，23a b +取最小值25
6。

故选A 。

【点睛】
利用基本不等式2a b ab +≥可求最大（小）值，要注意“一正，二定，三相等”。

当
a b ，都取正值时，（1）若和+a b 取定值，则积ab 有最大值；（2）若积ab 取定值时，
则和 +a b 有最小值。

解析：B 【解析】 【分析】
由题意可得n ≥2时，a n -a n -1=n ，再由数列的恒等式：a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -
1），运用等差数列的求和公式，可得a n ，求得
1n a =()21n n +=2（1n -11
n +），由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和． 【详解】
解：数列{a n }满足a 1=1，对任意n ∈N *都有a n +1=a n +n +1， 即有n ≥2时，a n -a n -1=n ，
可得a n =a 1+（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n -1） =1+2+3+…+n =
1
2
n （n +1），1n =也满足上式 1n a =()21n n +=2（1n -11
n +）， 则
122019111a a a ++⋯+=2（1-12+12-13
+…+12019-12020） =2（1-12020
）=2019
1010．
故选:B ． 【点睛】
本题考查数列的恒等式的运用，等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消求和，考查化简运算能力，属于中档题．
11．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得sin A ＝1，即A ＝900，由余弦定理、三角形面积公式可求角C ，从而得到B 的值． 【详解】
由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2
sin cos sin cos sin ,C B B C A +=
()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；
由余弦定理、三角形面积公式及)
222S b a c =
+-
，得1sin 2cos 2ab C ab C =,
整理得tan C =，又00090C <<,所以060C =,故030B =. 故选D
本题考查正、余弦定理、两角和的正弦公式、三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
12．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知条件计算出等差数列的公差，然后再求出结果 【详解】
依题意得：732,1a a ==，因为数列1{}n
a 为等差数列，
所以73111
11273738
--===--a a d ，所以
()9711159784a a =+-⨯=，所以945
=a ，故选C ． 【点睛】
本题考查了求等差数列基本量，只需结合题意先求出公差，然后再求出结果，较为基础
二、填空题
13．【解析】【详解】结合等差数列前n 项和公式有：则： 解析：6
【解析】 【详解】
结合等差数列前n 项和公式有：()11232
n n n +++++=
L ，则：
()()2
2
6231362lim lim lim lim
61
123111n n n n n n n n n n n n n n n
→+∞→+∞→+∞→+∞-
---====+++++++L . 14．【解析】【分析】根据两个和的关系得到公差条件解得结果【详解】由题
意可知即又两式相减得【点睛】本题考查等差数列和项的性质考查基本分析求解能力属基础题 解析：1-
【解析】 【分析】
根据两个和的关系得到公差条件，解得结果. 【详解】
由题意可知，10551015S S -=--=-，即67891015a a a a a ++++=-， 又1234510a a a a a ++++=，两式相减得2525d =-，1d =-.
【点睛】
本题考查等差数列和项的性质，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．【解析】【分析】利用1的代换将求式子的最小值等价于求的最小值再利用基本不等式即可求得最小值【详解】因为等号成立当且仅当故答案为：【点睛】本题考查1的代换和基本不等式求最值考查转化与化归思想的运用求解 解析：25
【解析】 【分析】
利用1的代换，将求式子43
a b +的最小值等价于求43()(3)a b a b
++的最小值，再利用基本不等式，即可求得最小值. 【详解】
因为
4343123()(3)491325b a a b a b a b a b +=++=+++≥+， 等号成立当且仅当21
,55
a b ==. 故答案为：25. 【点睛】
本题考查1的代换和基本不等式求最值，考查转化与化归思想的运用，求解时注意一正、二定、三等的运用，特别是验证等号成立这一条件.
16．【解析】【分析】首先根据无穷等比数列的各项和为2可以确定其公比满足利用等比数列各项和的公式得到得到分和两种情况求得的取值范围得到结果【详解】因为无穷等比数列的各项和为2所以其公比满足且所以当时当时所
解析：(0,2)(2,4)U . 【解析】 【分析】
首先根据无穷等比数列{}n a 的各项和为2，可以确定其公比满足01q <<，利用等比数列各项和的公式得到
1
21a q
=-，得到122a q =-，分01q <<和10q -<<两种情况求得1
a 的取值范围，得到结果. 【详解】
因为无穷等比数列{}n a 的各项和为2， 所以其公比q 满足01q <<，且1
21a q
=-， 所以122a q =-， 当01q <<时，1(0,2)a ∈，
当10q -<<时，1(2,4)a ∈，
所以首项1a 的取值范围为(0,2)(2,4)U ， 故答案是：(0,2)(2,4)U . 【点睛】
该题考查的是有关等比数列各项和的问题，涉及到的知识点有等比数列存在各项和的条件，各项和的公式，注意分类讨论，属于简单题目.
17．【解析】【分析】△ACD 中求出AC △ABD 中求出BC △ABC 中利用余弦定理可得结果【详解】解：由已知△ACD 中∠ACD ＝15°∠ADC ＝150°∴∠DAC=15°由正弦定理得△BCD 中∠BDC ＝15
解析：
【解析】 【分析】
△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】
解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，
∴∠DAC=15
°由正弦定理得80sin15040
sin15AC ==
=o
o
，
△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°， 由正弦定理，
CD BC
sin CBD sin BDC
=∠∠，
所以
BC 80sin151601540
12
CD sin BDC sin sin CBD
⋅∠⨯︒
=
==︒=∠；
△ABC 中，由余弦定理，
AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB
＝
(
(
081
1600816021600
2
-+++⨯⨯
⨯
16001616004160020=⨯+⨯=⨯
解得：
AB =
则两目标A ，B
间的距离为．
故答案为． 【点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．
18．7【解析】由2an ＋1＋Sn ＝3得2an ＋Sn －1＝3(n≥2)两式相减得2an ＋1－
2an ＋an ＝0化简得2an ＋1＝an(n≥2)即＝(n≥2)由已知求出a2＝易得＝所以数列{an}是首项为a1
解析：7 【解析】
由2a n ＋1＋S n ＝3得2a n ＋S n －1＝3(n≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＋a n ＝0，化简得2a n ＋1＝a n (n≥2)，即
1n n a a +＝12(n≥2)，由已知求出a 2＝3
4，易得21
a a ＝12，所以数列{a n }是首项为a 1＝32，公比为q ＝12的等比数列，所以S n ＝311221
12
n
⎡⎤⎛⎫
-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢
⎥⎣⎦-=3[1－(12)n ]，S 2n ＝3[1－(12
)2n ]
代入
1817<2n n
S S <8
7，可得117<(12)n <17，解得n ＝3或4，所以所有n 的和为7. 19．【解析】【分析】根据等比数列通项公式求出计算即可得解【详解】由题故答案为：4【点睛】此题考查等比数列通项公式的应用涉及等比数列求和关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式准确进行指数幂的运算化简
解析：【解析】 【分析】
根据等比数列通项公式，求出()
()
1
211
2122
212
n n n n a
a a a ++--++=-
-+=L ，计算
()
2211
1111222222
n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L 即可得解. 【详解】
由题2n
n a =， ()
()
1
211
2122212
n n n n a a a a ++--++=-
-+=L
()
2211
1111222222n n n n n
n a a a a a a a a a a a a a a a a +++-+++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L
()
21
12224n n a
a a a +-+++===L .
故答案为：4 【点睛】
此题考查等比数列通项公式的应用，涉及等比数列求和，关键在于熟练掌握等比数列的通项公式和求和公式，准确进行指数幂的运算化简.
20．【解析】【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性再化简不等式分类讨论分离不等式最后根据函数最值求m 取值范围即得结果【详解】因为当时为单调递减函数又所以函数为偶函数因此不等式恒成立等价于不等式
解析：1
3
-
【解析】 【分析】
先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式()()1f x f x m -≤+，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m 取值范围，即得结果. 【详解】
因为当0x ≥时 ()21,01,
22,1,
x
x x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩为单调递减函数，又()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，因此不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，等价于不等式
()()1f x f x m -≤+恒成立，即1x x m -≥+，平方化简得()2211m x m +≤-，
当10m +=时，x R ∈； 当10m +>时，12
m
x -≤
对[],1x m m ∈+恒成立，111
11233
m m m m -+≤
∴≤-∴-<≤-； 当10m +<时，12m x -≥
对[],1x m m ∈+恒成立，11
23
m m m -≥
∴≥（舍）； 综上113m -≤≤-，因此实数m 的最大值是13
-. 【点睛】
解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为()()()()
f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内.
三、解答题
21．（1）n a n =（2）1
(1)22n n T n +=-⋅+
【解析】
试题分析：(Ⅰ)因为数列是等差数列，所以根据等差数列的通项公式建立关于首项和公差
的方程组11246
{43
410
2a d a d +=⨯+=，即可解得11{1a d ==，从而写出通项公式n a n =； (Ⅱ)由题意22n n n n b a n =⋅=⋅，因为是等差数列与等比数列相乘的形式，所以采取错位相减的方法，
注意错位相减后利用等比数列前n 项和公式，化简要准确得1
(1)22n n T n +=-⋅+．
试题解析：(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,由2446,10a a S +==,
可得11246
{43
410
2a d a d +=⨯+=, 即1123{235a d a d +=+=, 解得
11{1
a d ==, ∴()111(1)n a a n d n n =+-=+-=, 故所求等差数列{}n a 的通项公式为n a n =
(Ⅱ)依题意,22n n
n n b a n =⋅=⋅,
∴12n n T b b b =+++L
231122232(1)22n n n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅L ,
又2n T =234
1122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯+
+-⋅+⋅L ,
两式相减得2311
(22222)2n n n n T n -+-=+++++-⋅L
(
)1
2122
12
n n n +-=
-⋅-1(1)22n n +=-⋅-,
∴1
(1)22n n T n +=-⋅+
考点：1、等差数列通项公式；2、等差数列的前n 项和；3、等比数列的前n 项和；4、错位相减法． 22．（1）1
4n n a -=；（2）n S 4121n n =-+-.
【解析】 【分析】
（1）由数列{}n a 是等比数列，及125a a +=，且2320a a +=，两式相除得到公比q ，再代入125a a +=可求1a ，则通项公式可求.
（2
）利用分组求和求出数列{3n a 的前n 项和n S . 【详解】
解：（1）因为等比数列{}n a 中，125a a +=，且2320a a +=. 所以公比23
12
4a a q a a +=
=+， 所以12155a a a +==， 即11a =， 故1
4
n n a -=.
（2）因为1
4
n n a -=
所以1
1334
2n n n a --=⋅+，
所以141231412
n n
n S --=⨯+--
4121n n =-+- 422n n =+-. 【点睛】
本题考查等比数列的通项公式的计算与等比数列前n 项和公式的应用，属于基础题.
23．(1)1
2n n a -=.
(2)121
n
n S n =-+. 【解析】
试题分析：（1）设等比数列
的公比为，运用等差数列的性质和等比数列的通项公
式，解方程可得公比，即可得到所求通项公式； （2）化简，运用分组求和和裂项相消求和，化简即可得到所求
和．
试题解析：（1）设等比数列的公比为，
是与
的等差中项，即有，
即为，解得，
即有；
（2）），
数列
的前项和
.
考点：（1）数列的求和；（2）等比数列的通项公式.
【方法点晴】本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题.由等差中项的意义可得可求出公比，可求出数列通项公式；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于
，其中
和
分别为特殊数列，裂项相消发类似于
，错位相减法类似于
，其中
为等差数列，
为等比数列等.
24．（1）n a n =，1
2n n b -=；（2）
21
n
n + 【解析】 【分析】
（1）由题意,要求数列{}n a 与{}n b 的通项公式,只需求公差，公比,因此可将公差,公比分别设为d ，q ,然后根据等差数列的前项和公式,代入226b S =,238b S +=,求出d ，q 即可写出数列{}n a 与{}n b 的通项公式．
（2）由（1）可得()1
1212n S n n n =++⋯+=
+,即()121n
s n n =
+,而要求12111n S S S ++⋯+,故结合1n s 的特征可变形为11
121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,代入化简即可． 【详解】
（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，d ＞0，{}n b 的等比为q
则1(1)n a n d =+- ,1n n b q -=,
依题意有()26338
q d q d ⎧+=⎨++=⎩，解得12d q =⎧⎨=⎩或439d q ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩
（舍去）
故1
,2n n n a n b -==,
（2）由（1）可得()1
1212
n S n n n =++⋯+=+ ∴
11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
∴
1211111111212231n S S S n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯+=-+-+⋯+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ =122111
n
n n ⎛⎫-
=
⎪++⎝
⎭． 【点睛】
本题第一问主要考查了求数列的通项公式,较简单,只要能写出n S 的表达式,然后代入题中的条件正确计算即可得解,但要注意d ＞0．第二问考查了求数列的前n 项和，关键是要分
析数列通项的特征,将()121n s n n =+等价变形为11121n s n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭
,然后代入计算，这也是求数列前n 项和的一种常用方法--裂项相消法！ 25．（1
2
【解析】 【分析】
（1）由A 、B 、C 成等差数列可求得60B =︒，再由正弦定理和余弦定理分别求出a 和c 的值，最后利用三角形面积公式计算即可；
（2）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，可求得3ac ≤，进而求得S 的最大值． 【详解】
（1）因为A 、B 、C 成等差数列，
则：2A+C =B ，又A B C π++=，所以60B =︒，
因为：
sin sin b a
a B A
=⇒=
2222212cos 32102b a c ac B c c c ∴=+-⇒=+-⨯⇒-=⇒，（负值舍）；
ABC ∆∴
的面积1
1sin 22S ac B ==； （2）2222cos b a c ac B =+-Q ；
即：2232a c ac ac ac ac =+-≥-=，当且仅当a c =时等号成立；
1sin 2ABC S ac B ∆∴=≤
； 即S
【点睛】
本题考查正余弦定理的应用，考查三角形面积公式的应用，考查不等式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.
26．（1）32n a n =-，2n
n b =，*n N ∈；（2）
()143283
n n +-+，*n N ∈.
【解析】 【分析】
（1）由等差数列和等比数列的基本量法求数列的通项公式； （2）用错位相减法求和． 【详解】
（1）数列{}n b 公比为q ，则2
232212b b q q +=+=，∵0q >，∴2q =，
∴2n
n b =，
{}n a 的公差为d ，首项是1a ，
则41328a a b ==-，4
11411112176S b ==⨯=，
∴111328
1110
111762a d a a d +-=⎧⎪
⎨⨯+⨯=⎪⎩
，解得113a d =⎧⎨=⎩． ∴13(1)32n a n n =+-=-．
（2）21
221(62)2n n n a b n --⋅=-⋅，数列{}221n n a b -⋅的前n 项和记为n T ，
352142102162(62)2n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅L ，①
23572121242102162(68)2(62)2n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅L ，②
①－②得：3521
2138626262
(62)2n n n T n -+-=+⨯+⨯++⨯--⨯L
1218(14)
86(62)214n n n -+-=+⨯--⨯-14(23)8n n +=--，
∴14(32)83
n n n T +-+=．
【点睛】
本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查等差数列的前n 项和及错位相减法求和．在求等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和公式时，基本量法是最基本也是最重要的方法，务必掌握，数列求和时除公式法外，有些特殊方法也需掌握：错位相减法，裂项相消法，分组（并项）求和法等等．。