2.3等差数列的前n项和

2.3等差数列的前n 项和（一）
一、教学目标
1、等差数列前n 项和公式．
2、等差数列前n 项和公式及其获取思路；
3、会用等差数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题． 二、教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用．
教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题． 三、教学过程 （一）、复习引入： 1．等差数列的定义： n a －1-n a =d ，（n≥2，n ∈N +
） 2．等差数列的通项公式：
（1）d n a a n )1(1-+= （2）=n a d m n a m )(-+ （3） n a =pn+q (p 、q 是常数) 3．几种计算公差d 的方法：① n a d =－1-n a ② 1
1--=n a a d n ③ m
n a a d m n --=
4．等差中项：,,2
b a b
a A ⇔+=
成等差数列 5．等差数列的性质： m+n=p+q ⇒q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N )
6．数列的前n 项和：数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S . “小故事”1、2、3
高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”
过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050．” 教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；
2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们：
（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西． （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．
二、讲解新课：
1．等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +=
证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②
①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=--
∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2
)
(1n n a a n S +=
． 2． 等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+
= ． 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：n a a n ,,1． 但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得： 2
)1(1d
n n na S n -+= 此公式要求n S 必须已知三个条件：d a n ,,1
总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个． 公式二又可化成式子： n d
a n d S n )2
(212-+=
，当d≠0，是一个常数项为零的二次式． 三、例题讲解
例1、(1)已知等差数列{an}中, a 1 =4, S 8 =172,求a 8和d ;
(2)等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：(1) 392
)
4(817288=⇒+=
a a 5)18(439=⇒-+=d d (2)设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S 则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a 由公式可得5442
)
1(10=⨯-+
-n n n . 解之得：3,921-==n n （舍去） ∴等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例2、教材P43面的例1
解：
例3．求集合{}100*,7|<∈==m N n n m m M 且的元素个数，并求这些元素的和．
解：由1007<n 得 7
2
147100=<
n ∴正整数n 共有14个即M 中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是为首项71=a 9814=a 等差数列．
∴ 7352
)
987(14=+⨯=
n S 答：略．
例4、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若122084,460S S ==，求28S .
（学生练→学生板书→教师点评及规范）
练习：⑴在等差数列{}n a 中，已知399200a a +=，求101S .
⑵在等差数列{}n a 中，已知15129620a a a a +++=，求20S .
例4．已知等差数列{a n }前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n. 解：依题意，得⎩⎨
⎧=+++=+++---,
67,
213214321n n n n a a a a a a a a
两式相加得,88)()()()(3423121=+++++++---n n n n a a a a a a a a 又,3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a 所以221=+n a a 又2862
)
(1=+=
n n a a n S ，所以n=26． 例5．已知一个等差数列{a n }前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数
列的前n 项的和吗？.
思考：（1）等差数列中1020103020,,S S S S S --，成等差数列吗？
（2）等差数列前m 项和为m S ,则m S 、m m S S -2.、m m S S 23-是等差数列吗？
练习：教材第118页练习第1、3题． 三、课堂小结：
1.等差数列的前n 项和公式1：2
)
(1n n a a n S +=
； 2.等差数列的前n 项和公式2：2
)1(1d
n n na S n -+=． 四、课外作业：
2.3 等差数列的前n 项和（二）
教学要求：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用
它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究
的最值.
如果A n ，B n 分别是等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，则
1
21
2--=n n n n B A b a ． 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式. 教学难点：灵活应用求和公式解决问题. 教学过程：
一、 复习准备： 1、等差数列求和公式：2
)(1n n a a n S +=
，d n n na S n 2)
1(1-+=
2、在等差数列{a n }中
(1) 若a 5=a , a 10=b , 求a 15; (2) 若a 3+a 8=m , 求a 5+a 6;
(3) 若a 5=6, a 8=15, 求a 14; (4) 若a 1+a 2+…+a 5=30, a 6+a 7+…+a 10=80,求a 11+a 12+…+a 15. 二、讲授新课：
1、探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式.
例1、已知数列{}n a 的前n 项和为2
1
2
n S n n =+
，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 【结论】数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 的关系：
由n S 的定义可知，当n=1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即n a =⎩⎨⎧≥-=-)2()
1(11n S S n S n n
.
练习：已知数列{}n a 的前n 项和212
343
n S n n =
++，
求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2
n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，
那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
（是，1a p q r =++，2d p =）.
由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1d n n na S n -+
=可化成式子：n )2
d
a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.
2. 教学等差数列前n 项和的最值问题： ① 例题讲解：
例2、数列{}n a 是等差数列，150,0.6a d ==-. （1）从第几项开始有0n a <；（2）求此数列的前n 项和的最大值.
结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：
（1） 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；
当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值.
（2）由n )2
d
a (n 2d S 12n -+=
利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 练习：在等差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.
例3、已知等差数列....,7
4
3,724
,5的前n 项的和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值。

归纳：（1）当等差数列{a n }首项为正数，公差小于零时，它的前n 项的和为n S 有最大值，可以通过
⎩⎨⎧≤≥-01
n n a o
a 求得n
（2）当等差数列{a n }首项不大于零，公差大于零时，它的前n 项的和为n S 有最小值，可以通过
⎩⎨⎧≥≤-01
n n a o
a 求得n
三、课堂小结：
求＂等差数列前n 项和的最值问题＂常用的方法有： （1）满足001<>+n n a a 且的n 值；
（2）由,)2
(22)1(121n d
a n d d n n na S n -+=-+
=利用二次函数的性质求n 的值； （3）利用等差数列的性质求．
四、课外作业： 作业：《习案》作业十四。

补充题：（依情况而定）
1．(1)已知等差数列{a n }的a n ＝24－3n ，则前多少项和最大？ (2)已知等差数列{b n }的通项b n ＝2n-17,则前多少项和最小?
解：(1)由a n ＝24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0<n a ，∴前8项或前7项的和取最大值. (2)由bn ＝2n －17n 知当8≤n 时，0<n a ，当9≥n 时，0>n a ， ∴前8项的和取最小值. 2. 数列{a n }是首项为正数a 1的等差数列,又S 9= S 17.问数列的前几项和最大? 解:由S 9= S 17得9a 5=17 a 9,
.
.0,0,0.0,0,
0252131413114131最大又所以相邻两项之和为S a a a a a d a ∴<>∴>=+∴=+∴
说明:000014131711109171413=+⇒=+++⇒=-=+a a a a a S S a a 也可以这样得出． 3．首项为正数的等差数列{a n },它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多少项之和最大? 解法一:由S 3=S 11 得:,2
10
1111223311d a d a ⨯+=⨯+
解之得 01321<-=a d d n n n na S n )1(1-+=∴n a n a 1211314131+-=12113
49)7(131a n a +--=
故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.
解法二:由 ⎪⎩
⎪⎨⎧
<-=+=>-=-+=+0
)213(131
0)215(131)1(11111n a nd a a n a d n a a n n
解得:2
15213<<n ，所以n=7,即前7项之和最大.
解法三:由013
2
1<-=a d 知: {a n }是递减的等差数列.
又S 3=S 11,
0871110987654=+∴=+++++++∴a a a a a a a a a a ∴必有0,087>>a a ，∴前7项之和最大．
4．已知等差数列{a n },满足a n =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?
解法一:由2
19)219(23824402
22
+--=+-=⇒-=n n n S n a n n
180
2192191021092
210=+--===∴）（最大，最大值：时，或当S S n n n
解法二:
,
440n a n -=
令
10900
1
≤≤⇒⎩⎨
⎧≤+≥+n a a n n
180,10910===∴S S S n n n n 最大值：最大，或．
5．已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12， a 1<0，设前n 项和为S n ,求S n 取最小值时n 的值．
[分析]求等差数列前n 项的和最小,可以用函数的方式去求,亦可以用数列单调性,也可以由
A
B A B n A S n 4)2(2
2-+=完成.
解法一:.5
76
),11(8)4(3,83111125d a d a d a a a -
=+=+∴=即 ,0,01>∴<d a 由 ,)2
(22)1(121n d
a n d d n n na S n -+=-+
=∴ 点(n,S n )是开口向上抛物线上一些孤立的点,即在函数x d
a x d y )2
(212-+=的图象上,其对称轴
,7.15257621=--=-
-=d
d d d d
a x 距离x=15.7最近的整数点(16,S 16), .16=∴n S n
最小时 解法二: .5
76
,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴<d a 由
,02
22,02,4)2(1
22=⨯-+
=+-+=d d a n A
B n A B A B n A S n 即令 .
16),(7.155762*最小时，n S n N n d
d
d n =∴∈=+=∴。