高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数知

3.2 二倍角的三角函数
知识梳理
一、倍角公式
1.公式：sin2α=2sinαcosα；tan2α=
α
α
2
tan 1tan 2-； cos2α=cos 2
α-sin 2
α=2cos 2
α-1=1-2sin 2
α.
2.公式的推导：在两角和的三角函数公式S α+β、C α+β、T α+β中，令α=β，就可以得到二倍角的三角函数公式S 2α、C 2α、T 2α，如在sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ中，如果α=β，则sin2α=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosα，其他两个同理可得，在余弦中，再应用平方关系式，可得另外的两种形式.推导过程也说明倍角公式是两角和的三角函数公式的特例.
知识导学
要学好本节内容，可以从两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，通过例题的解答，对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想. 疑难突破
1.二倍角公式成立的条件是何，应当如何理解两倍角公式？
剖析：(1)公式成立的条件：在公式S 2α、C 2α中，角α可以为任意角，T2α则只有当α≠kπ+2
π
且α≠
2πk +4
π
(k∈Z )时才成立，即首先保证tan2α和tanα的存在. (2)二倍角的理解：倍角公式不仅限于2α是α的二倍形式，其他如4α是2α的二倍、2
α
是
4
α
的二倍、3α是23α的二倍等等都是适用的.要熟悉这些多种形式的两个角的倍数关系，
才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键.
2.对二倍角公式应如何灵活的进行变式应用？ 剖析：对二倍角公式的应用不能只是局限于记忆，还需要对公式进行进一步的分析和深化理解，比如对公式两边的式子结构、次数、各公式之间的内在联系等多方面要进行细致考虑.。