2020届湖南省永州市高三年级上学期第二次高考模拟考试数学(文)答案
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13． 14． 15． 16．
三、解答题：本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解：（1）
……………………………………………………………………3分
在 中,由余弦定理可得
…………………………………………………………………6分
（2）
………………8分
,
, ,………………………………………9分
当 时， 的最大值为 .……………………………10分
23.（本小题满分10分）
解：（1）当 时，原不等式即 ，解得 ；…………………………2分
当 时，原不等式即 ，解得 ，……………………4分
不等式 的解集为 .……………………………………5分
（2） ………………7分
（当且仅当 时等号成立）
.……………………………9分
即 在 时恒成立,………………………………………2分
所以 时, ……………………………………………3分
由于 ,所以 ……………………5分
（2）设 =
,…………………6分
当 时, , 在 是单调递增,
, ,
所以存在唯一的 使 ,即方程 只有一个根.……8分
当 时,则 ,令 ,有 或 .
所以 在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是增函数
20.（本小题满分12分）
解：（1）显然直线 的斜率存在,设直线 ： ,设 ,
联立 得 ,……………………………………………2分
, , ………………………………3分
,……………………………4分
…………………………………………………………………5分
（2）
,
切线 ： 即
同理可得切线 ： ……………………………………………6分
48
12
60
女
22
18
40
合计
70
30
100
………………………………………………………………8分
（注：按表格前两行,一行数据全对时得1分）
,…………………………………………10分
因为
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关.………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1） 平面 , 平面 ,
, ,……………………………………………7分
点 为线段 中点,
.………………………………………………………………………8分
平面 , 平面 ,
, ,…………………………………………………………9分
.
平面 , 平面
平面
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离…………………10分
平面 ,
平面 .
设 ,则
,即 长为 .…………………………………………………………12分
………………………………………………………………………1分
在 中, , , ,
由 得
……………………………………………………………………………3分
,即 ………………………………………………………5分
, 平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………6分
（2）取 的中点 , 的中点 ,连接 , ,
令 ,则 ,
联立 得,点 ……………………………………………8分
设 的外接圆的方程为：
令 ,则
由韦达定理可得 , ,………………………10分
, 且
,………………………………………………………………………11分
则圆的方程为： 即 ,…12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）定义域：
由题意知 在 时恒成立,………1分
绝密★启用前
湖南省永州市
2020届高三年级上学期第二次高考模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
B
D
B
A
C
C
A
D
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
…………………………………………………………10分
在 中,由正弦定理可得 ,
………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）消费不低于1000元的共有 人,……………………………1分
其中女职工3人设为 ,男职工2人,设为 .从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：
当且仅当 ，即 时等号成立.…………………10分
22.（本小题满分10分）
解：（1）直线 的直角坐标方程为 ，……………………………………2分
将 , 代入方程得
，即 .……………………………5分
（2）依题意可设直线 的极坐标方程为 ，
设 ，…………………………………………………………6分
则 ，……………………8分
由 ,有 ,……………………………………………9分
（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）（ ）,（ ）,（ ）共10种情况.………………3分
其中至少有两名女职工包括7种情况.…………………………………………4分
所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率 .…………6分
（2）应抽取男职工： 人,抽取女职工： 人,
理性购物者
购物狂
合计
男
的极大值为 .……………9分
设 ,其中
则
所以 在 上是增函数,
所以 ,即 ,
所以 在 上无零点.………………………………………………………10分
又 ， ，
所以 ，
又 在 单调递增，所以存在唯一的 使 .
即方程 只有一个根.…………………………………………………11分
综上所述，当 时，方程 有且只有一个根.……………12分
三、解答题：本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
解：（1）
……………………………………………………………………3分
在 中,由余弦定理可得
…………………………………………………………………6分
（2）
………………8分
,
, ,………………………………………9分
当 时， 的最大值为 .……………………………10分
23.（本小题满分10分）
解：（1）当 时，原不等式即 ，解得 ；…………………………2分
当 时，原不等式即 ，解得 ，……………………4分
不等式 的解集为 .……………………………………5分
（2） ………………7分
（当且仅当 时等号成立）
.……………………………9分
即 在 时恒成立,………………………………………2分
所以 时, ……………………………………………3分
由于 ,所以 ……………………5分
（2）设 =
,…………………6分
当 时, , 在 是单调递增,
, ,
所以存在唯一的 使 ,即方程 只有一个根.……8分
当 时,则 ,令 ,有 或 .
所以 在 上是增函数,在 上是减函数,在 上是增函数
20.（本小题满分12分）
解：（1）显然直线 的斜率存在,设直线 ： ,设 ,
联立 得 ,……………………………………………2分
, , ………………………………3分
,……………………………4分
…………………………………………………………………5分
（2）
,
切线 ： 即
同理可得切线 ： ……………………………………………6分
48
12
60
女
22
18
40
合计
70
30
100
………………………………………………………………8分
（注：按表格前两行,一行数据全对时得1分）
,…………………………………………10分
因为
所以有99%的把握认为“是不是购物狂”与性别有关.………………………12分
19．（本小题满分12分）
解：（1） 平面 , 平面 ,
, ,……………………………………………7分
点 为线段 中点,
.………………………………………………………………………8分
平面 , 平面 ,
, ,…………………………………………………………9分
.
平面 , 平面
平面
点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离…………………10分
平面 ,
平面 .
设 ,则
,即 长为 .…………………………………………………………12分
………………………………………………………………………1分
在 中, , , ,
由 得
……………………………………………………………………………3分
,即 ………………………………………………………5分
, 平面 , 平面
平面 …………………………………………………………………6分
（2）取 的中点 , 的中点 ,连接 , ,
令 ,则 ,
联立 得,点 ……………………………………………8分
设 的外接圆的方程为：
令 ,则
由韦达定理可得 , ,………………………10分
, 且
,………………………………………………………………………11分
则圆的方程为： 即 ,…12分
21．（本小题满分12分）
解：（1）定义域：
由题意知 在 时恒成立,………1分
绝密★启用前
湖南省永州市
2020届高三年级上学期第二次高考模拟考试
数学（文）试题参考答案
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
B
D
B
D
B
A
C
C
A
D
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
…………………………………………………………10分
在 中,由正弦定理可得 ,
………………………………………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（1）消费不低于1000元的共有 人,……………………………1分
其中女职工3人设为 ,男职工2人,设为 .从5名职工中选取3名职工的可能情况如下：
当且仅当 ，即 时等号成立.…………………10分
22.（本小题满分10分）
解：（1）直线 的直角坐标方程为 ，……………………………………2分
将 , 代入方程得
，即 .……………………………5分
（2）依题意可设直线 的极坐标方程为 ，
设 ，…………………………………………………………6分
则 ，……………………8分
由 ,有 ,……………………………………………9分
（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）,（ ）（ ）,（ ）,（ ）共10种情况.………………3分
其中至少有两名女职工包括7种情况.…………………………………………4分
所以抽取的3名职工中至少有两名女职工的概率 .…………6分
（2）应抽取男职工： 人,抽取女职工： 人,
理性购物者
购物狂
合计
男
的极大值为 .……………9分
设 ,其中
则
所以 在 上是增函数,
所以 ,即 ,
所以 在 上无零点.………………………………………………………10分
又 ， ，
所以 ，
又 在 单调递增，所以存在唯一的 使 .
即方程 只有一个根.…………………………………………………11分
综上所述，当 时，方程 有且只有一个根.……………12分