人教版高中数学选修2-2练习:第二章2.12.1.1合情推理

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[ 作]
[A基稳固]
1.以下推理是推理的是()
A . A,
B 定点,点P 足 |PA|+ |PB|= 2a> |AB|,得 P 的迹
B.由 a1= 1, a n= 3n- 1,求出 S1, S2, S3,猜想出数列的前n 和 S n的表达式
22
2222x y
C.由 x + y = r的面πr ,猜出a2+b2=1的面 S=πab
D.科学家利用的沉浮原理制造潜艇
分析:由推理的定知 B 是推理,故 B.
答案: B
2.数列 { a n} :2,5,11,20, x,47,⋯中的 x 等于 ()
A.28B.32
C.33 D .27
分析:因 5- 2= 3×1,11- 5= 6= 3×2,20-11=9= 3×3,猜 x- 20=3×4,47 -x= 3×5,推知 x= 32.故 B.
答案: B
3.某同学在上打下了一串黑白,如所示,○○○●●○○○●●○○○⋯,按种律往下排,那么第 36 个的色是 ()
A .白色
B .黑色
C.白色可能性大 D .黑色可能性大
分析:由干知,形是三白二黑的循环往复相摆列,是一个周期 5 的三白二黑的列,因 36÷5= 7 余 1,所以第36 个与第 1 个色同样,即白色.答案: A
4.察 (x2) =′ 2x,(x4) =′ 4x3,(cos x) ′=- sin x,由推理可得:若定在R 上的函数f(x)足 f(- x)=f(x),
g(x) f(x)的函数, g(- x)= ()
A . f(x)
B .- f(x)
C.g(x) D .- g(x)
分析:本考了推理明及函数的奇偶性内容,由例子可看出偶函数求后都成了
奇函数,∴ g(-x)=- g(x), D.
答案: D
5. n 个自然数按律摆列以下表:

依据律,从 2 010到2 012箭的方向挨次()
A.↓→ B .→↑
C .↑→
D .→↓
分析: 察 的 律知:地点同样的数字都是以
4 公差的等差数列,由 2,3,4 可知
从 2 010 到 2 012 ↑→,故 C.
答案: C
6.半径 r 的 的面
S(r)= πr 2,周 C(r) =2πr ,若将 r 看作 (0,+ ∞)上的 量,
2
( πr ) ′=2πr ①,
①式能够用 言表达 : 的面 函数的 数等于 的周 函数.
你写出 似于①的式子: ___________________________________________ ,
②式能够用 言表达 :
分析: 半径 R 的球的体
V(R)=
4
3
πR 3,表面 S(R)= 4πR 2, (43πR 3) =′4πR 2
.
答案: (
4
3πR 3) =′ 4πR 2
球的体 函数的 数等于球的表面 函数
7. 察以下等式: 12= 1;
12- 22=- 3; 12- 22+ 32= 6;
12- 22+ 32- 42=- 10; ⋯⋯
照此 律,第
n 个等式可
________.
分析: 察等号左 的 律 ,左 的 数挨次加
1,故第 n 个等式左 有
n ,每
所含的底数的 也增添
1,挨次
1,2,3,⋯ , n ,指数都是
2,符号成正 交替出 ,
能够用 (- 1)n +
1 表示,等式的右 数的 是左 的底数的 的和,故等式的右
能够表示 (- 1)
n +
1
n n + ,∴第 n 个式子可
2 2
2
2
n +
1 2
= (-
· 2
1 -
2 +
3 - 4
+⋯+ (-1)
·n
1) n +
1
n n +
*
).
·
2
(n ∈ N
答案: 12
2
2
2
n +
1 2
=(- 1) n +
1
n n +
*
)
-2 +3 - 4 +⋯ +(-1)
n
· 2
( n ∈ N
x
8. 函数
f( x)= x + 2(x>0),
x
察: f 1(x)=f(x)=

x
f 2(x)= f(f 1(x)) = 3x +4

x
f 3(x)= f(f 2(x)) = 7x +8

_______________________________________________.
f 4(x)= f(f 3(x)) = x

15x +16
⋯⋯
依据以上事 ,由 推理可得:当 n ∈ N * 且 n ≥2 , f n (x)= f( f n - 1(x))= ________.
分析: 依据 意知,分子都是
x ,分母中的常数 挨次是
2,4,8, 16, ⋯ 可知 f n (x)的分母
中常数
2n ,分母中 x 的系数
2n - 1,故 f n (x)=n
x n .

x +2
答案: x
n

x + 2n
9. 明以下等式,并从中 出一个一般性的 ,
π
2cos 4= 2,
π
2cos 8=
2+ 2,
π
2cos 16=
2+ 2+ 2, ⋯⋯
π 2
明: 2cos = 2· = 2,
42
π
2 π
1+ cos 4
1+ 2
= 2+ 2,
2cos = 2
2 = 2 2
8
π
1+ 1 2+ 2
π
1+ cos
8
2
2cos 16= 2 2
= 2
2
= 2+
2+ 2

察上述等式能够 ,第
n 个等式右端有 n 个根号, n 个 2,左端 “角 ”的分母
22,23,24,⋯ ,故第 n 个等式的左端
2cos
π
π
n +1 ,由此可 出一般性的 :
2cos n + 1=
2
2
10.点 P 2,
2
在 C : x 2+ y 2= 1 上, 点
P 的 的切 方程
2 2
2
2
2 x + 2 y = 1,
1, 1
又点 Q(2,1)在 C 外面,简单 明直 2x +y =1 与 订交,点 R 2 2 在 C 的内部.直
1 1 2
2
2
的地点关
x + y = 1 与 相离. 比上述 ,你能 出对于一点
P(a ,b)与 x + y = r 2 2
系与相 直 与 的地点关系的 ?
分析:点 P(a,b)在⊙ C: x2+ y2= r 2上,直ax+ by= r2与⊙ C 相切;点 P 在⊙ C 内,直 ax+ by= r 2与⊙ C 相离;点P 在⊙ C 外面,直ax+ by= r2与⊙ C订交.简单明此是正确的.
[B能力提高]
1.把 1,3,6,10,15,21,⋯些数叫作三角形数,是因些数的点能够排成一个正三
角形 (以下 ),
求第七个三角形数是()
A.27B.28
C.29 D .30
分析:察可知第n 个三角形数共有点数:1+ 2+ 3+4+⋯+n=n
n+个,∴
2
第七个三角形数7×+
= 28.
2
答案: B
2S
a、b、c,△ ABC 的面 S,内切半径 r , r=;a+ b+ c
比个可知:四周体P-ABC 的四个面的面分S1、S2、S3、S4,内切球的半径r ,四周体 P-ABC 的体V, r = ()
V2V
A.
S1+ S2+ S3+ S4B.
S1+S2+S3+ S4
C.
3V
D.
4V +S +S +S+S +S +S S1234S1234
分析:将△ ABC 的三条 a、 b、 c 比到四周体P-ABC 的四个面面S1、 S2、 S3、S4,将三角形面公式中系数
1,比到三棱体公式中系数1,进而可知 C.
23
明以下:以四周体各面底,内切球心O 点的各三棱体的和V.
1111
∴V=3S1r +3S2r +3S3r +3S4r ,
3V
∴r=
S1+ S2+ S3+S4
.
答案: C
3. (2014 高·考西卷 )察剖析以下中的数据:
多面体面数 (F)点数(V)棱数 (E)
三棱柱569
五棱 6 6 10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中,
F , V ,E 所 足的等式是 ________.
分析: 三棱柱中 5+ 6- 9=2;五棱 中
6+ 6- 10= 2;立方体中
6+ 8- 12= 2,由此
可得 F + V - E = 2.
答案: F +V -E = 2
4.已知 算和 有以下正确的不等式:
3+ 17< 2 10, 7.5+
12.5< 2 10,
8+ 2+
12- 2< 2 10,依据以上不等式的 律, 写出一个 正 数
m ,n 都建立的
条件不等式 ________.
分析: 察所 不等式能够 :不等式左 两个根式的被开方数的和等于
20,不等
式的右 都是 2 10,所以 正 数
m ,n 都建立的条件不等式是:若

, 当 m +
m ,n ∈ R n = 20 ,有
m + n < 2
10.
答案: 若 m ,n ∈ R +
, 当 m + n = 20 ,有
m + n < 2 10
1 + 1 + 1 9 ABCD 中,不等式 1 + 1 + 1 + 1 16
5.在△ ABC 中,不等式 B ≥ 建立,在四 形 A B C ≥
A C π
D 2π 建立,在五 形 ABCD
E 中,不等式 1 + 1 + 1 + 1 + 1 25
建立,猜想在 n 形 A 1 2⋯ A n 中, ≥ A B C D E 3π A
有怎 的不等式建立?
9、
16、
25
,⋯ , 出一般性的 律:
2 分析:依据已知特别的数 :
n
(n ≥3).
π 2π 3π
n -
∴在 n 形 A 1A 2 ⋯A n 中: 1 + 1
+ ⋯+ 1

n 2 (n ≥3) .
A 1 A 2
A n
n -
2
2
6.如 , 有双曲 x -
y
= 1,F 1,F 2 是其两个焦点,点 M 在双曲
4
9
上.
(1)若∠ F 1MF 2= 90°,求△ F 1MF 2 的面 .
(2)若∠ F 1MF 2= 60°,
△ F 1MF 2 的面 是多少?若∠
F 1MF 2= 120°,△ F 1MF 2 的面 又是多少?
(3) 察以上 算 果,
你能看出随∠ F 1MF 2 的 化, △ F 1MF 2 的面 将怎 化 ?
明你的 .
分析: (1)由双曲 方程知
a = 2,
b = 3,
c = 13,
|MF 1|= r 1, |MF 2|= r 2(r 1>r 2).
由双曲 定 ,有
r 1 -r 2=2a = 4,两 平方得
r 21+ r 22- 2r 1·r 2= 16,
即 |F 1F 2|2- 4S △F 1MF 2= 16,
也即 52- 16= 4S △ F 1MF 2,求得 S △ F 1 MF 2=9.
(2)若∠ F 1MF 2= 60°,在△ MF 1F 2 中,由余弦定理得 |F 1F 2|2=r 21+ r 22- 2r 1r 2cos 60 ,°
22
+ r1r2,所以 r 1r 2= 36.
|F1F2|= (r 1- r 2)
1
求得 S△ F 1MF 2=2r1r2sin 60 =°9 3.
同理可求得若∠F1MF 2= 120°,
S△F1MF2=3 3.
(3)由以上结果猜想,跟着∠F1 MF2的增大,△ F1MF 2的面积将减小.证明以下:
1
令∠ F1MF 2=θ,则 S△ F 1MF 2=2r 1·r2sin θ.
由双曲线定义及余弦定理,有
r 1- r 22= 4a2①
r 12+ r22- 2r1·r2cos θ= 4c2②
②-①得 r 1·r2=
4c2- 4a2
- cos ,
θ
所以 S△ F 1MF 2=c2- a2θ1- cos θ
= b2,
tan θ
2
θ π
由于 0<θ<π, 0<2<2,
πθ
在 (0, )内, tan是增函数.
22
所以当θ增大时, S△ F1 MF2=
b2
将减小 . tan
θ
2。

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