2020年安徽省亳州市示范高级中学高三数学理上学期期末试题含解析

2020年安徽省亳州市示范高级中学高三数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 正方形ABCD的四个顶点都在椭圆上，若椭圆的焦点在
正方形的内部，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
2.
参考答案：
C
3. 已知数列的各项均不等于0和1，此数列前项的和为，且满足
，则满足条件的数列共有
A. 2个
B. 6个
C. 8个
D. 16个
参考答案：
B
略
4. （x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数为（）
A．60 B．50 C．40 D．20
参考答案：A
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理．
分析：把（1+）5按照二项式定理展开，可得（x2﹣2）（1+）5的展开式中x﹣1的系数．
解：（x2﹣2）（1+）5=（x2﹣2）
[+?+?+?+?+?]，
故展开式中x﹣1的系数为23?﹣2?2=60，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．
5. 设全集U是实数集R，已知集合，，则（）A．B．C．D ．
参考答案：
C
本题选择C选项.
6. 下列算法中，含有条件分支结构的是（）
A．求两个数的积 B．求点到直线的距离
C．解一元二次不等式 D．已知梯形两底和高求面积
参考答案：
C 解，A、B、D不含条件分支，解一元二次不等式要用到条件分支故选C．
7. 已知为平行四边形，若向量，，则向量为
（A）（B）
（C）（D）
参考答案：
C
略
8. 设，则等于（）
A B C D
参考答案：
D
略
9. 钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的（）
A．充分条件B．必要条件
C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件
参考答案：
B
略
10. 椭圆M: 左右焦点分别为，，P为椭圆M上任一点且最大值取值范围是，其中，则椭圆离心率e取值范
围（）
A. B. C.
D.
参考答案：
B
解析：设为点P的横坐标，则，
， (-a≤≤a)
所以取值范围是[],
而最大值取值范围是，所以
于是得到，
故椭圆的离心率的取值范围是，选B。

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 将正整数1，2，3，…，n，…，排成数表如表所示，即第一行3个数，第二行6个数，且后一行比前一行多3个数，若第i行，第j列的数可用（i，j）表示，则2015可表示为．
第1列第2列第3列第4列第5列第6列第7列第8列…
第1行123
第2行987654
第3行1011121314151617…
…
参考答案：
（37，17）
【考点】等差数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由等差数列可得第36行的第1个数为1998，第37行共111个数，第一个为1999，可得2015为第37行的第17个数，可得答案．
【解答】解：∵第一行有a1=3个数，第二行有a2=6个数，
∴每一行的数字个数组成3为首项3为公差的等差数列，
∴第n行有a n=3+3（n﹣1）=3n个数，
由求和公式可得前n行共个数，
经验证可得第36行的第1个数为=1998，
按表中的规律可得第37行共3×37=111个数，第一个为1999，
∴2015为第37行的第17个数，
故答案为：（37，17）
【点评】本题考查等差数列的求和公式和通项公式，从表中得出规律是解决问题的关键，属中档题．12. 求值：=
参考答案：
13. 求抛物线与直线所围成的平面图像的面积是.参考答案：
18
略
14. △ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC，则A的取值范围为
参考答案：
（0，60°]
略
15. 已知向量=(1，)，=（1，），若与垂直，则的值为．
参考答案：
2
16. 的展开式中的系数为．（用数字作答）
参考答案：
【解析】，令，
因此展开式中的系数为．
17. 在平面直角坐标系中，，分别是与x，y轴正方向同向的单位向量，平面内三点A，B，C满足， =+2， =3+m．若A，B，C三点构成以∠B为直角的直角三角形，则实数m的值
为．
参考答案：1
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．
【专题】平面向量及应用．
【分析】写出两个向量的坐标，利用向量的运算法则求出的坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出m的值．
【解答】解：∵ =+2， =3+m，
∴=（1，2），=（3，m），
∴=﹣=（2，m﹣2），
∵A，B，C三点构成以∠B为直角的直角三角形，
∴⊥，
∴?=0，
∴2+2（m﹣2）=0，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查向量坐标的定义、考查向量的运算法则、考查向量垂直的充要条件．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知{}是公比为q的等比数列，且成等差数列.
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）设{}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn 与bn的大小，并说明理由.
参考答案：
解析：(Ⅰ)由题意得：2a3=a1+a2,即2a1q2=a1+a1q,,∵a1≠0,∴2q2-q-1=0,∴q=1或q=
(Ⅱ)若q=1,则.
当n≥2时,,故
若q=,则,
当n≥2时, ,
故对于n∈N+,当2≤n≤9时,Sn>bn；当n=10时, Sn=bn；当n≥11时, Sn<bn
19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，，，且
，．
(1) PA⊥平面ABCD；
(2)在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角大小为60°？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
(1)见证明(2)见解析
【分析】
（1）推导出AB⊥AC，AP⊥AC，AB⊥PC，从而AB⊥平面PAC，进而PA⊥AB，由此能证明PA⊥平面ABCD；
（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在线段PD上，存在一点M，使得二面角M﹣AC﹣D的大小为60°，4﹣2．
【详解】（1）∵在底面中，，
且
∴，∴
又∵，，平面，平面
∴平面又∵平面∴∵，∴
又∵，，平面，平面
∴平面
（2）方法一：在线段上取点，使则
又由（1）得平面∴平面
又∵平面∴作于
又∵，平面，平面
∴平面又∵平面∴
又∵∴是二面角的一个平面角
设则，
这样，二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在，且
方法二：取的中点，则、、三条直线两两垂直
∴可以分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系且由（1）知是平面的一个法向量
设则，
∴，
设是平面的一个法向量
则∴
令，则，它背向二面角
又∵平面的法向量，它指向二面角
这样，二面角的大小为
即
即
∴满足要求的点存在，且
【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查满足二面角的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
20. 某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。

（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。

（I）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（II）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论。

参考答案：
21. 已知过点P（a，0）的直线l的参数方程是（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．
（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，试问是否存在实数a，使得且？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由．
参考答案：
【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）利用参数的几何意义，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：（Ⅰ）消t得，∴直线l的普通方程为…（2分）
由ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0…（4分）
（Ⅱ）假设存在实数a，使得且成立，将代入x2+y2﹣4x=0中，
【解析】则，
∴
由△＞0?﹣2＜a＜6…（6分）
由①
②…（8分）
①﹣②：，即，
∴或a2﹣4a=﹣5（舍）
∴a=﹣1或5．…（10分）
【点评】本题考查极坐标方程和直角坐标方程、参数方程与普通方程的互化，同时考查直线参数方程
的运用，考查运算能力，属于中档题．
1. 已知，，求曲线在矩阵MN对应的变换作用下得到
的曲线方程．
参考答案：
本题考查矩阵的乘法，MN==，………………4分
设是曲线上任意一点，点在矩阵MN对应的变换下变为点
，则有
于是，. ……………………………………8分
代入得，
所以曲线在MN对应的变换作用下
得到的曲线方程为．……………………………10分。