江苏省高考数学模拟试卷含答案解析

江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）
1.设全集U=R，A={x|-3＜x≤1，x∈Z}，B={x|x2-x-2≥0，x∈R}，则A∩∁U B=______．
2.已知复数z=（m2-2）+（m-1）i对应的点位于第二象限，则实数m的范围为______．
3.高三（1）班共有56人，学号依次为1，2，3，┅，56，现用系统抽样的办法抽取
一个容量为4的样本，已知学号为6，34，48的同学在样本中，那么还有一个同学的学号应为______．
4.根据如图的算法，输出的结果是______．
5.已知函数f（x）=log2x，x∈[，2]，在区间[，2]上随机取一点x0，使得f（x0）≥0
的概率为______．
6.已知双曲线的一条渐近线为y=2x，且经过抛物线y2=4x的焦点，则双曲线的标准方
程为______．
7.给出下列等式：，，，…请从中
归纳出第n个等式：=______．
8.已知角的终边过点P（-1，-2），则sinα=______．
9.若函数y=log2x的图象上存在点（x，y），满足约束条件，则实数m
的最大值为______．
10.正四面体ABCD的一个顶点A是圆柱OA的上底面的圆心，另外三个顶点BCD在
圆柱下底面的圆周上，记正四面体ABCD的体积为V1，圆柱OA的体积为V2，则
的值是______
11.已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且满足S n=a n+1，则数列{S n}的前10项的和为
______．
12.有以下四个命题：
（1）在△ABC中，A＞B的充要条件是sin A＞sin B
（2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点的充要条件是f（1）•f（2）＜0；
（3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2），则f（x）必不是奇函数；
（4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象关于直线x=1对称；
其中正确命题的序号为______．
13.已知直角坐标系中起点为坐标原点的量向量，满足||=||=1，且=，=（m，
1-m），=（n，1-n），存在，，对于任意的实数m，n，不等式|-|+|-|≥T，则实数T的取值范围是______．
14.已知a＞0，b＞0，c＞2且a+b=1，则的最小值是______
二、解答题（本大题共6小题，共74.0分）
15.在△ABC中，设a、b、c分别为角A、B、C的对边，记△ABC的面积为S，且．
（1）求角A的大小；
（2）若c=7，，求a的值．
16.在边长为6cm的正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，M、N分别为AB、
CF的中点，现沿AE、AF、EF折叠，使B、C、D三点重合，构成一个三棱锥．（1）判别MN与平面AEF的位置关系，并给出证明；
（2）求多面体E-AFMN的体积．
17.某公园准备在一圆形水池里设置两个观景喷泉，观景喷
泉的示意图如图所示，A，B两点为喷泉，圆心O为AB
的中点，其中OA=OB=a米，半径OC=10米，市民可位
于水池边缘任意一点C处观赏．
（1）若当∠OBC=时，sin∠BCO=，求此时a的值；
（2）设y=CA2+CB2，且CA2+CB2≤232．
（i）试将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）若同时要求市民在水池边缘任意一点C处观赏喷泉时，观赏角度∠ACB的最大值不小于，试求A，B两处喷泉间距离的最小值．
18.在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（M
＞0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若θ=90°时，+=，求实数m；
（3）试问+的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．
19.已知数列{a n}，其前n项和为S n，若对于任意m，n∈N*，且m≠n，都有
．
（1）求证：数列{a n}是等差数列
（2）若数列{c n}满足，且等差数列{a n}的公差为，存在正整数p，q，使得a p+c q，求|a1|的最小值．
20.已知函数f（x）=，直线y=x为曲线y=f（x）的切线（e为自然对数的底数）．
（1）求实数a的值；
（2）用min{m，n}表示m，n中的最小值，设函数g（x）=min{f（x），x-}（x＞0），若函数h（x）=g（x）-cx2为增函数，求实数c的取值范围．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：{0，1}
解析：解：A={-2，-1，0，1}，B={x|x≤-1，或x≥2}；
∴∁U B={x|-1＜x＜2}；
∴A∩∁U B={0，1}．
故答案为：{0，1}．
可求出集合A，B，然后进行交集、补集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，以及交集、补集的运算．
2.答案：
解析：解：∵复数z=（m2-2）+（m-1）i对应的点（m2-2，m-1）位于第二象限，∴m2-2＜0，且m -1＞0，
∴1＜m＜，
故答案为：．
由复数z=（m2-2）+（m-1）i对应的点（m2-2，m-1）在第二象限，得m2-2＜0，且m -1＞0，
从而求出实数m的范围．
本题考查复数与复平面内对应点之间的关系，解不等式m2-2＜0，且m -1＞0 是解题的关键．
3.答案：20
解析：解：从56个学生中用系统抽样抽取4个人的一个样本，
分组时要分成4个小组，
每一个小组有14人，
∵学号为6，34，48的同学在样本中，即第一个学号是6，
∴第二个抽取的学号是6+14=20，
故答案为：20
从56个学生中用系统抽样抽取4个人的一个样本，分组时要分成4个小组，每一个小组有14人，第一个学号是6，第二个抽取的学号是6+14，可以依次写出所需要的学号．本题考查系统抽样方法，考查抽样过程中的分组环节，考查分组后选出的结果有什么特点，本题是一个基础题，若出现则是一个送分题目．
4.答案：22
解析：解：程序是一个循环结构，步长是3，每循环一次就加进i，初始i=1，可循环4次，
故S=1+4+7+10=22．
故答案为：22．
先读懂程序的算法，再据算法规则依次算出结果．可以看出这是一个for循环结构，循环执行4次，依其特点求解即可．
本题主要考查算法语言的结构，此类题的做法通常是把值代入，根据其运算过程求出值，属于基础题．
5.答案：
解析：【分析】
本题考查集合概型，对数函数的性质，熟悉对数函数的图象是准确解题的关键，属于基础题.
结合对数函数的性质和概率知识进行求解．
【解答】
解：由函数的图象可知，
当），时，f（x）＜0；
当x∈[1，2]时，f（x）＞0．
∴f（x0）≥0的概率为．
故答案为：．
6.答案：
解析：解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为=λ（λ≠0），
∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），
∴1=λ，
∴双曲线方程为，
故答案为：．
设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为=λ（λ≠0），再由双曲线经过抛物线y2=4x
焦点F（1，0），能求出双曲线方程．
本题考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题．7.答案：
解析：解：因为：，，，
等式的右边系数是2，角是等比数列，公比为角的余弦值，角满足：，
所以=；
故答案为：．
通过已知的三个等式，找出规律，归纳出第n个等式即可．
本题考查归纳推理，注意已知表达式的特征是解题的关键．
8.答案：
解析：【分析】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得sinα=sin[（α+）-]的
值．
【解答】
解：∵角的终边过点P（-1，-2），∴sin（α+）==-，cos（α+）==-，∴sinα=sin[（α+）-]=sin（α+）cos-cos（α+）sin=-•-（-）•=，
故答案为．
9.答案：1
解析：解：作出约束条件
表示的平面区域，得
到如图的三角形，
再作出对数函数y=log2x的图象，可
得该图象与直线x+y-3=0交于点M
（2，1），
当该点在区域内时，图象上存在点
（x，y）满足不等式组，且此时m
达到最大值，
∴即m的最大值为1
故答案为：1．
作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形，观察图形可得函数y=log2x的图象与直线x+y-3=0交于点（2，1），当该点在区域内时，图象上存在点（x，y）满足不等式组，且此时m达到最大值，由此即可得到m的最大值．
本题给出二元一次不等式组，求能使不等式成立的m的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和函数图象的作法等知识，属于中档题．
10.答案：
解析：解：设正四面体的棱长为a，
则底面积为，底面外接圆的半径为，
高为．
∴正四面体的体积，
圆柱OA的体积π．
则=．
故答案为：．
设正四面体的棱长为a，求出底面外接圆的半径与高，代入体积公式求解．
本题考查多面体与旋转体体积的求法，考查计算能力，是中档题．
11.答案：512
解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且满足S n=a n+1，①
当n≥2时，S n-1=a n②
①-②得：a n=a n+1-a n，
整理得：（常数），
故：数列{a n}是以a2=1为首项，2为公比的等比数列．
所以：（首项不符合通项）．
故：，
所以：=512，
故答案为：512
数显求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和的公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
12.答案：（1）
解析：【分析】
本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断，考查判断能力和推理能力，属于基础题．
由三角形的正弦定理和边角关系可判断（1）；
由零点存在定理和二次函数的图象可判断（2）；
由f（2）=f（-2）=0，结合奇函数的定义，可判断（3）；
由函数图象对称的特点可判断（4）．
【解答】
解：（1）在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔2R sin A＞2R sin B⇔sin A＞sin B，故（1）正确；（2）函数y=f（x）在区间（1，2）上存在零点，比如f（x）=（x-）2在（1，2）存在零点，
但是f（1）•f（2）＞0，故（2）错误；
（3）对于函数y=f（x），若f（2）=f（-2）=0，满足f（-2）=-f（2），
则f（x）可能为奇函数，故（3）错误；
（4）函数y=f（1-x）与y=f（1+x）的图象，可令1-x=t，即x=1-t，
即有y=f（t）和y=f（2-t）的图象关于直线t=1对称，即x=0对称，故（4）错误．
故答案为（1）．
13.答案：（-∞，]
解析：解：||=||=1，且=，
可设=（1，0），=（，），
=（m，1-m），=（n，1-n），
可得|-|+|-|=+，
可得，的终点均在直线x+y=1上，
由于m，n为任意实数，可得m=1时，|-|+|-|的最小值即为点（，）到直线x+y=1的距离d，
可得d==，
对于任意的实数m，n，不等式|-|+|-|≥T，可得T≤，
故答案为：（-∞，]．
由题意可设=（1，0），=（，），由向量的坐标运算，以及恒成立思想可设m=1，|-|+|-|的最小值即为点（，）到直线x+y=1的距离d，求得d，可得T不大于d．
本题考查向量的模的求法，以及两点的距离的运用，考查直线方程的运用，以及点到直线的距离，考查运算能力，属于基础题．
14.答案：24
解析：解：=c（+）+=c•+，
因为a+b=1，所以（a+b）2=1，
所以=c•+=c•+≥c•+=6c+=6（c-2）++12≥2+12=24．
当且仅当a=，b=，c=3时等号成立．
故填：24．
先将前两项利用基本不等式去掉a，b，再处理只含c的算式即可．
本题考查了基本不等式的应用，但是由于有3个变量，导致该题不易找到思路，本题属中档题．
15.答案：解：（1）由，得bc sin A=bc cos A，
因为A∈（0，π），
所以tan A=1，
可得：A=．……（6分）
（2）△ABC中，cos B=，
所以sin B=，
所以：sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=，..（10分）
由正弦定理，得=，解得a=5，…（14分）
（评分细则：第一问解答中不交代“A∈（0，π）”而直接得到“A=”的，扣（1分）；
第二问解答中不交代“由正弦定理得的”，扣（1分）．）
解析：（1）由三角形面积公式，平面向量数量积的运算可得bc sin A=bc cos A，结合范围A∈（0，π），可求tan A=1，进而可求A的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin B=，利用两角和的正弦函数公式可求sin C
的值，由正弦定理可求得a的值．
本题主要考查了三角形面积公式，平面向量数量积的运算，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.答案：证明：（1）因翻折后B、C、D重合（如图），
所以MN应是△ABF的一条中位线，
则．
（2）解：因为⇒AB⊥面BEF
且AB=6，BE=BF=3，
∴V A-BEF=9，
又，
∴．
解析：（1）由题意及图形的翻折规律可知MN应是△ABF的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）利用条件及线面垂直的判定定理可知⇒AB平面BEF，在利用锥体的体积公式
即可．
此题考查了图象的翻折规律，线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式．
17.答案：解：（1）在△OBC中，由正弦定理得，，
易得．
（2）（i）易知AC2=100+a2-20a cos∠AOC，BC2=100+a2-20a cos∠BOC，
故CA2+CB2=200+2a2，
又因为CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，解得0＜a≤4，
即y=200+2a2，a∈（0，4]；
（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得
，
即
由题意可知，解此不等式得，
经验证，，即．
解析：本题考查解三角形知识的运用，考查余弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
（1）当∠OBC =时，sin∠BCO =，由正弦定理求此时a的值；
（2）（i）利用余弦定理，结合CA2+CB2≤232，即200+2a2≤232，可将y表示为a的函数，并求出a的取值范围；
（ii）当观赏角度∠ACB的最大时，cos∠ACB取得最小值，由余弦定理可得结论．18.答案：解：（1）由题意，c=4m ，=0.8，∴a=5m，b=3m，∴椭圆C 的标准方程为
；
（2）θ=90°时，N（4m ，），NF=MF =
∵+=，∴=，∴m =；
（3）+=，证明如下：
由（2）知，当斜率不存在时，+=
当斜率存在时，设1：y=k（x-4m）代入椭圆方程得（9+25k2）x2-200mk2x+25m2（16k2-9）=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则MF=e （）=5m -，NF=5m -，
∴+==与θ无关．
解析：（1）利用椭圆的性质，可得椭圆的标准方程；
（2）求出MF、NF ，利用+=，即可求实数m；
（3）分类讨论，利用焦半径公式，结合韦达定理，可知+的值与θ的大小无关．
本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
19.答案：解：令m=2，n=1，则，
即，
∴a1+a3=2a2，∴a1，a2，a3成等差数列，
下面用数学归纳法证明数列{a n}是等差数列，
假设a1，a2，…，a k成等差数列，其中k≥3，公差为d，
令m=k，n=1，，
∴2S k+1=（k+1）（a k+a1+d）=k（a k+a1）+a k+（k+1）d
=2S k+a1+a k+（k+1）d，
∴2S k+1=a1+a k+（k+1）d=2（a1+kd），
即a k+1=a1+kd，
∴a1，a2，…，a k，a k+1成等差数列，
∴数列{a n}是等差数列；
（2），
=，
若存在正整数p，q，使得a p+c q是整数，
则
=，
设，
∴18a1=3（3m-p-q+1）+1是一个整数，
∴|18a1|≥1，从而，
又当时，有a1+c3=1∈Z，
综上，|a1|的最小值为．
解析：（1）用数学归纳法证明即可；
（2）根据条件可得c n ═，然后将a p+c q用a1，p，q表示出来，根据18a1=3（3m-p-q+1）
+1是一个整数，可得结果．
本题主要考查由递推关系得通项公式和等差数列的性质，关键是利用数学归纳法证明数列是等差数列，属难题．
20.答案：解：（1）函数f（x）=的导数为f′（x）=，
设切点为（m，n），即有n =，n =m，
可得ame=e m，①
由直线y =x为曲线y=f（x）的切线，可得
=，②
由①②解得m=1，a=1；
（2）函数g（x）=min{f（x），x -}（x＞0），
由f（x）=的导数为f′（x）=，
当0＜x＜2时，f（x）递增，x＞2时，f（x）递减．
对x -在x＞0递增，设y=f（x）和y=x -的交点为（x0，y0），
由f（1）-（1-1）=＞0，f（2）-（2-）=-＜0，即有1
＜x0＜2，
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当0＜x＜x0时，g（x）=x -，
h（x）=g（x）-cx2=x --cx2，h′（x）=1+-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，
即有2c ≤+，由y =+在（0，x0）递减，
可得2c ≤+①
当x≥x0时，g（x）=，
h（x）=g（x）-cx2=-cx2，h′（x）=-2cx，
由题意可得h′（x）≥0在x≥x0时恒成立，
即有2c ≤，由y =，可得y′=，
可得函数y在（3，+∞）递增；在（x0，3）递减，
即有x=3处取得极小值，且为最小值-．
可得2c≤-②，
由①②可得2c≤-，解得c≤-．
解析：（1）求出f（x）的导数，设出切点（m，n），可得切线的斜率，由切线方程可得a，m的方程，解方程可得a=1；
（2）y=f（x）和y=x -的交点为（x0，y0），分别画出y=f（x）和y=x -在x＞0的图象，
可得1＜x0＜2，再由新定义求得最小值，求得h（x）的解析式，由题意可得h′（x）≥0在0＜x＜x0时恒成立，运用参数分离和函数的单调性，即可得到所求c的范围．
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查新定义的理解和运用，单调性的运用，考查分类讨论的思想方法以及恒成立问题的解法，属于中档题．。