2020年安徽省安庆市枞阳县山中学高二数学理下学期期末试题含解析

2020年安徽省安庆市枞阳县山中学高二数学理下学期
期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（）
A.B．C．D．
参考答案：
C
2. 上图是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填的是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
略
3. 如图所示，已知四面体ABCD，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AC的中点，则
（++）化简的结果为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】向量的加法及其几何意义．
【分析】根据加法的三角形法则求出++，再由中位线的性质进行化简可得答案．【解答】解：∵G、H分别为CD、AC的中点，
∴（++）=（+）==?2=．
故选C．
4. “”是“直线与圆相交”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
参考答案：
A
5. 两定点，点P在椭圆上，且满足，则
为( )
A.－9
B. 9
C. －
12 D.12
参考答案：
B
6. 在区间[﹣3，3]上任取一个数a，则圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点的概率为( )
A．B．C．D．
参考答案：
B
考点：几何概型．
专题：计算题；概率与统计．
分析：利用圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点，可得0≤a≤2或﹣
6≤a≤﹣4，结合在区间[﹣3，3]上任取一个数a，即可求出概率．
解答：解：圆C1：x2+y2+4x﹣5=0可化为（x+2）2+y2=9，圆心为（﹣2，0），半径为3，圆C2：（x﹣a）2+y2=1，圆心为（a，0），半径为1，
∵圆C1：x2+y2+4x﹣5=0与圆C2：（x﹣a）2+y2=1有公共点，
∴2≤|a+2|≤4，
∴0≤a≤2或﹣6≤a≤﹣4，
∵在区间[﹣3，3]上任取一个数a，
∴0≤a≤2，
∴所求概率为=．
故选：B．
点评：本题主要考查了几何概型的概率，以及圆与圆有公共点的性质，解题的关键弄清概率类型，同时考查了计算能力，属于基础题．
7. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是( )
A．a，b均为负数，则 B．
C. D.
参考答案：
C
8. 已知某个几何体的三视图如右侧，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）
A． B． C． D．
参考答案：
B
如图该几何体可以看作一个正方体与一个直三棱柱组合而成。

9. 已知，，，则的大小关系是（）
A B C
D
参考答案：
C
略
10. 已知实数满足则的最大值是( )
A. B. C.
D.
参考答案：
D
略
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n，且S n，a n，1成等差数列，则a n= ．
参考答案：
2n﹣1
【考点】数列的求和．
【分析】S n，a n，1成等差数列，可得S n+1=2a n．n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，再利用等比数列的通项公式即可得出．
【解答】解：∵S n，a n，1成等差数列，
∴S n+1=2a n，即S n=2a n﹣1．
∴n=1时，a1=2a1﹣1，解得a1=1．
n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣1﹣（2a n﹣1﹣1），化为：a n=2a n﹣1，
∴数列{a n}为等比数列，首项为1，公比为2．
∴a nz=2n﹣1．
故答案为：2n﹣1．
12. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2
参考答案：
y2＝8x
略
13. 已知且满足,则的最小值为
参考答案：
18
14. 的展开式中的系数是。

参考答案：
-20
15. 若命题的逆命题是，命题是命题的否命题，则是的________命题．
参考答案：
略
16. 若点分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线上一点且满足
△的面积为5，则双曲线左焦点F1到其中一条渐近线l的距离为．
参考答案：
17. 已知函数在上是单调减函数,则实数的取值范围是___________。

参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知数列是一个等差数列，且
（1）求的通项公式和前项和
（2）设证明数列是等比数列.
参考答案：
解：（1）.
（2），，（常数）。

略
19. 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：
已知在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
（1）请将上面的列联表补充完整；
（2）是否有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由；
下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中n=a+b+c+d）
参考答案：
【考点】独立性检验．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生，即可得到列联表；
（2）利用公式求得K2，与临界值比较，即可得到结论
【解答】解：（1）根据在全部50人中随机抽取1人抽到喜爱打篮球的学生的概率为，可得喜爱打篮球的学生为30人，故可得
列联表补充如下：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
（2）∵﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴有99.5%的把握认为喜爱打篮球与性别有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
【点评】本题考查独立性检验知识，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20. 在平面直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和．
（I）求的取值范围；
（II）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求值；如果不存在，请说明理由．
参考答案：
解：（Ⅰ）由已知条件，直线的方程为，
代入椭圆方程得．
整理得①
直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，
解得或．即的取值范围为．
（Ⅱ）设，则，
由方程①，．②
又．③
而．
所以与共线等价于，
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知或，故没有符合题意的常数
略
21. （本小题满分12分）
某中学有甲乙两个文科班进行数学考试，按照大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表：
（Ⅰ）用分层抽样的方法在优秀的学生中抽6人，其中甲班抽多少人？
（Ⅱ）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名同学在乙班的概率；
（Ⅲ）计算出统计量，若按95%可靠性要求能否认为“成绩与班级有关”．
下面的临界值表代参考：
（参考公式其中）
参考答案：
（1）人……………………3分
（2）6人中甲班4人分别记为
乙班中2人分别记为在6人中选2人所有的情况为
共15种选法，其中恰有1人有乙班的选法有8种，故所求概率为………9分
（3）利用公式计算
故按95%可靠性要求认为“成绩与班级有
关”……………………12分
22. 已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）与双曲线C2：﹣=1（a＞0．b＞0）有公共焦点F，且在第一象限的交点为P（3，2）．
（1）求抛物线C1，双曲线C2的方程；
（2）过点F且互相垂直的两动直线被抛物线C1截得的弦分别为AB，CD，弦AB、CD的中点分别为G、H，探究直线GH是否过定点，若GH过定点，求出定点坐标；若直线GH不过定点，说明理由．
参考答案：
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p，求出抛物线方
程．焦点F（2，0），则，求出a，b，可得双曲线C2的方程；
（2）欲证明直线GH过定点，只需求出含参数的直线GH的方程，观察是否过定点即可．设出A，B，G，H的坐标，用A，B坐标表示G，H坐标，求出直线GH方程，化为点斜式，可以发现直线必过点（3，0）．
【解答】解：（1）P（3，2）代入抛物线C1：y2=2px（p＞0），可得p=4，∴抛物线C1：y2=8x；
焦点F（2，0），则，∴a=1，b=，∴双曲线C2的方程=1；（2）设点A（x1，y1），B（x2，y2），G（x3，y3），H（x4，y4）
把直线AB：y=k（x﹣2）代入y2=8x，得：
k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，∴x3=2+，y3=k（x3﹣2）=，
同理可得，x4=2+4k2，y4=﹣4k，
∴k GH=，
∴直线GH为y﹣=（x﹣2﹣），即y=（x﹣3），过定点P（3，0）．。